Chapitre 3 : EQUATiON DU 2ème DEGRE EQUATiONS DU 2ème DEGRE Comment résoudre une équation du 2ème degré ? Comment factoriser une expression du 2ème degré ? Comment trouver le signe d’un trinôme du 2ème degré ? Comment résoudre une inéquation du 2ème degré ? … 3 x 2 + x – 1 = 0 … ? … 2 x 2 – 15 x = - 30 …

a , b et c sont les coefficients Chapitre 3 : EQUATiON DU 2ème DEGRE COURS …COURS …COURS …COURS …COURS …COURS UN PEU DE VOCABULAiRE Exemple : 3 x 2 + 4 x – 5 = 0 Cas général : a x 2 + b x + c = 0 2ème membre toujours = 0 sinon le ramener à = 0 équation 2ème degré 1er membre : expression du 2ème degré appelée : polynôme ou trinôme du 2ème degré a , b et c sont les coefficients ( ici a = 3 b = 4 et c = - 5 )

Calculer le discriminant D : Chapitre 3 : EQUATiON DU 2ème DEGRE COMMENT RESOUDRE UNE EQUATiON DU 2ème DEGRE a x 2 + b x + c = 0 Déterminer a , b et c a = …… b = …… c = …… attention : ne pas oublier les signes Calculer le discriminant D : D = b 2 – 4 a c D > 0 D = 0 D < 0 2 solutions ou racines : x1 = x2 = 1 solution double : x1 = x2 = Aucune solution

Chapitre 3 : EQUATiON DU 2ème DEGRE 1ère application : 2 x 2 + 5 x – 3 = 0 Détermination des coefficients : 2 x 2 + 5 x – 3 = 0 a b c = 2 = 5 = - 3 ne pas oublier le signe Calcul du discriminant : D = b 2 – 4 a c D = 5 2 – 4 × 2 × ( - 3) D = 25 + 24 D = 49 On est dans la situation : D > 0 donc 2 solutions ou racines = 7 = - 3 Les solutions de l’équation sont :

Chapitre 3 : EQUATiON DU 2ème DEGRE 2ème application : - 4 x 2 - 4 x – 1 = 0 Détermination des coefficients : - 4 x 2 - 4 x – 1 = 0 a = b = c = - 4 - 4 - 1 Calcul du discriminant : D = b 2 – 4 a c D = ( - 4 ) 2 – 4 × ( - 4 ) × ( - 1) D = 16 - 16 D = 0 On est dans la situation : D = 0 donc 1 solution double La solution de l’équation est :

Chapitre 3 : EQUATiON DU 2ème DEGRE 3ème application : 2 x 2 - 3 x + 4 = 0 Détermination des coefficients : a = b = c = 2 - 3 4 Calcul du discriminant : D = b 2 – 4 a c D = ( - 3 ) 2 – 4 × 2 × 4 D = 9 - 32 D = - 23 On est dans la situation : D < 0 donc pas de solution

a x 2 + b x + c Chapitre 3 : EQUATiON DU 2ème DEGRE 3. COMMENT FACTORISER UN TRiNÔME DU 2ème DEGRE a x 2 + b x + c Déterminer a : a = …… attention : ne pas oublier le signe Résoudre l’équation : a x 2 + b x + c = 0 si 2 solutions x1 et x2 si 1 solution double x1,2 si pas de solution a x 2 + b x + c = a ( x - x1 ) ( x - x2 ) en tenant compte des signes a x 2 + b x + c = a ( x - x1,2 ) 2 en tenant compte des signes pas de factorisation possible

Chapitre 3 : EQUATiON DU 2ème DEGRE 1ère application : P( x) = x 2 – x – 6 Résolution de l’équation du 2ème degré correspondante : x 2 – x – 6 = 0 a = 1 b = - 1 c = - 6 D = b 2 – 4 a c D = ( - 1 ) 2 – 4 × 1 × ( - 6) = 1 + 24 = 25 D’où 2 solutions : = 3 x1 = 3 = - 2 x2 = - 2 Factorisation du trinôme du 2ème degré : a x 2 + b x + c = a ( x - x1 ) ( x - x2 ) avec a = x1 = x2 = 1 3 - 2 x 2 – x – 6 = 1 ( x – 3 ) [ x – ( - 2 )] x 2 – x – 6 = ( x – 3 ) ( x + 2 ) P(x) = ( x – 3 ) ( x + 2 )

Chapitre 3 : EQUATiON DU 2ème DEGRE 2ème application : P( x) = - 5 x 2 – 10 x – 5 Résolution de l’équation du 2ème degré correspondante : - 5 x 2 – 10 x – 5 = 0 a = - 5 b = - 10 c = - 5 D = b 2 – 4 a c D = ( - 10 ) 2 – 4 × ( - 5 ) × ( - 5 ) = 100 - 100 = 0 D’où 1 solution : = -1 x1,2 = - 1 Factorisation du trinôme du 2ème degré : a x 2 + b x + c = a ( x - x1,2 ) 2 avec a = x1,2 = - 5 - 1 - 5 x 2 – 10 x – 5 = - 5 [ x – ( - 1)] 2 - 5 x 2 – 10x – 5 = - 5 ( x + 1 ) 2 P(x) = -5 ( x + 1 ) 2

3ème application : P( x) = - 5 x 2 – 2 x – 3 Résolution de l’équation du 2ème degré correspondante : - 5 x 2 – 2 x – 3 = 0 a = - 5 b = - 2 c = - 3 D = b 2 – 4 a c D = ( - 2 ) 2 – 4 × ( - 5 ) × ( - 3) = 4 - 60 = - 56 D < 0 donc pas de solution pour l’équation du 2ème degré donc pas de factorisation possible du trinôme correspondant