Dénombrer des quantités Rappel Point de vigilance : Distinction collection/quantité/nombre

Qu’est-ce que « Dénombrer une quantité » ? ERMEL Apprentissages numériques et résolution de problèmes, Hatier, 2005 Le mot dénombrement est associé à la technique du comptage : « Utilisation de la comptine numérique en associant (oralement ou mentalement) un objet nouveau à chaque mot récité » Rémy BRISSIAUD Premier pas vers les maths, Retz, 2007 Nous appellerons ici « dénombrement » tout procédé (les psychologues disent toute « procédure ») permettant d’accéder au nombre. Les mots compter, dénombrer, calcler, eux-aussi sont polysémique et s’emploient souvent de façon indéterminer, ce qui peut ne pas être gênant dans certains contextes, et gênant dans d’autres. En repartant des ouvrages sur lesquels que je m’appuie, à la fois pour les aspects théoriques, mais aussi pour les activités, on peut repérr aussi quelques divergences. Dans l’ouvrage ERMEL, …. Dans l’ouvrage de Rémy Brissiaud, … Dans l’ouvrage de Dominique Valentin, … Dominique VALENTIN Découvrir le monde avec les mathématiques, Situations pour la petite et moyenne section. Situations pour la grande section. Hatier 2004-2005. « Dénombrer » désigne une procédure, quelle qu’elle soit, qui permet de déterminer le nombre d’éléments d’une collection.

Quelques indices pour se retrouver (ou se perdre) : Compter : Réciter la comptine ? Dire combien il y a … ? Utiliser une technique particulière « de comptage » pour dire combien il y a … ? Dénombrer : de très grandes quantités en CP pour faire entrer les élèves dans le système de numération décimale (groupements par 10)

Choix : Dénombrer une quantité c’est répondre à la question « combien », indépendamment de la procédure utilisée « Dénombrer » désigne une procédure, quelle qu’elle soit, qui permet de déterminer le nombre d’éléments d’une collection.  « Il serait préférable de réserver le terme « compter » au fait de réciter la suite numérique à partir de 1, alors que « dénombrer », parfois remplacé par« nombrer », désigne une procédure, quelle qu’elle soit, qui permet de déterminer le nombre d’éléments d’une collection. […] Nous réservons le terme « calculer » au travail sur les nombres et non sur les objets ; ce terme s’oppose ainsi aux termes « dénombrer » ou « compter » qui ne peut se faire que sur les objets, qu’ils soient effectivement présents ou évoqués. » J’ai choisi de me prendre appui sur ce que propose Dominique Valentin pour clarifier l’usage de ces trois verbes. Lire … Nous pouvons maintenant aborder la seconde partie Extrait de : Valentin D. (2004) Découvrir le monde avec les mathématiques, Hatier.

Dénombrer : répondre à la question combien, indépendamment de la procédure utilisée Sens Un lien entre - une collection d’objets - un attribut de cette collection : sa quantité - un mot de la suite des nombres Techniques (procédures) Troisième aspect fondamental dans la construction des nombres pour les élèves (donc en plus des questions représentations, et de fonctions), c’est le lien entre les nombres et la fameuse question inaugurée par le petit mot « combien … ». Il y a deux choses à bien comprendre dans ce lien. En premier lieur : la différence entre sens et technique. La compréhension du sens de la question est indépendant de la technique que l’on utilise pour y répondre. La compréhension du sens de la question relève de la comprenehsion du lien entre collection / quantité (un attribut spécifique) / et des most particuliers ceux de la chanson des nombres. Maintenant au niveau des techniques qui êrmettent de dire une réponse, on en a plusieurs à disposition. - Par reconnaissance globale de très petites quantités (subitizing) - Par le comptage  Par reconnaissance globale de petites quantités organisées en configurations connues (doigts de la main, constellations du dé) Par reconnaissance globale de quantités et groupements

La technique du comptage - Correspondance : un mot de la suite numérique avec un objet ; ne pas en oublier, ne pas en recompter ; - dire la suite des mots nombres dans l’ordre ; - savoir que le dernier mot prononcé est le mot qui répond à la question « combien ? ». TPS-PS-MS PS-MS-GS MS-GS Par imitation, et reproduction, travailler la correspondance mots et objets ENUMERATION Travail plus spécifique sur l’organisation du dénombrement (pour ne pas en oublier ni en recompter) Le dernier mot répond à la question combien Toutes les étapes du dénombrement (suite, association mot/objet, organisation, cardinalité quantité) en place. Car si on y regard e près, la technique du comptage met en œuvre des compétences multiples : (lire la diapo.) Le mot que l’on dit, désigne à la fois un objet, mais correspond aussi au cardinal de l’ensemble déjà compté. Extrait document d’accompagnement aux programmes de 2002 « Vers les mathématiques, quel travail en maternelle »

Le principe d’énumération « Énoncer un à un les éléments d’un tout » Extrait CM – M1 – Maternelle (YT, 2011-2012) Briand, Loubet, Salin (2003) Apprentissages numériques en maternelle. Hatier, CDRom. Situation « Tri de graines ».

La « technique » du subitizing : reconnaissance directe de constellations En second lieu, il est important de distinguer pour une collection donnée, si son organisation spatiale, donne à voir une certaine organisation ou non. C’est alors le mot configuration qui sera associé à l’organisation d’un ensemble d’éléments. Nous pouvons distinguer trois types d’organisation qui vont influencer les apprentissages numériques : les configuration stéréotypées, que sont les certains positions de doigts, les constellations du dé, celles des jeux de cartes. les configurations que j’appelle pseudo stéréotypées : elles correspondent à des associations de stéréotypes, ou aux configurations de doigts moins classiques. Les configurations sans organisation spécifique Ici encore, la configuration d’une collection n’est a priori pas une notion numérique. Elle sera utile dans les apprentissages numériques, mais une collection d’objets organisée selon certaines configuration restent une collection d’objet, c’est-à-dire sans lien a priori avec les nombres. organisation stéréotypée organisation pseudo-stéréotypée doigts groupement de stéréotypes sans organisation spécifique

La technique : par reconnaissance globale de petites quantités et/ou utilisation d’une collection intermédiaire Pa reconnaissance globale de petites quantité organiées. Cela s’ppuie sur la reconnaissance globale précédente, mais nous allons ajouter une autre aspects ici qui correpsond à ce que Brissiaud développement dans sont ouvrage « Premier pas vers les maths », c’est l’usage des doigts comme collections témoin. Nous regardons un exemple et en redicuton de manière générale ensuite. Passer la vidéo de nadine. Il y a une et une voiture, il y a deux voitures. Brissiaud parle de (lire le titre). Cela ssocie de l’ENUMERATION, et de la reconnaisnce globale de configuration de doigts. C’est une piste interessante, qui évite de focaliser trop sur la technique du comptage, que nous allosn voir maintenant. Qu’il préconise, avec D. Valentin d’ailleurs, comme premier approche du dénombrement en PS, en laissant l’apprentisage de la technique du comptage pour un travail venant plus tard.

La technique : par reconnaissance globale de configurations, groupements et utilisation de résultats mémorisés Quatre et quatre huit et un neuf Cinq, six sept Cinq et deux sept Deux, quatre, six, huit, dix, … Enfin, une dernière technique de dénombrement qui fait un peu un mixte de certaines précédente : c’est l’association entre des regroupements, et des reconnaissances globales des quantités de chaque groupe. Par exemple pour les gommettes oranges, la reconnaissance de quayre t quatre, pour avoir quatre et quatre huit, et un neuf. Ou bien pour ls viollettes, … Là encore, l’usage de cette techique dépend des connaisqnaces, et des habilités, et des éléments déjà mémoirisé ede celui qui effectue le dénombrement. Prcisions que ce principe de groupements et de reconnaissnace grloabel des groupes, et de réunion des nombres, est à la base de tout ce qui sera le claucl réfléchi au CP, et les bases du calcul mental.

- une collection d’objets Dénombrer : répondre à la question combien, indépendamment de la procédure utilisée Sens Un lien entre - une collection d’objets - un attribut de cette collection : sa quantité - un mot de la suite des nombres Techniques (procédures) Troisième aspect fondamental dans la construction des nombres pour les élèves (donc en plus des questions représentations, et de fonctions), c’est le lien entre les nombres et la fameuse question inaugurée par le petit mot « combien … ». Il y a deux choses à bien comprendre dans ce lien. En premier lieur : la différence entre sens et technique. La compréhension du sens de la question est indépendant de la technique que l’on utilise pour y répondre. La compréhension du sens de la question relève de la comprenehsion du lien entre collection / quantité (un attribut spécifique) / et des most particuliers ceux de la chanson des nombres. Maintenant au niveau des techniques qui êrmettent de dire une réponse, on en a plusieurs à disposition. - Par reconnaissance globale de très petites quantités (subitizing) - Par le comptage  Par reconnaissance globale de petites quantités organisées en configurations connues (doigts de la main, constellations du dé) Par reconnaissance globale de quantités et groupements

Conséquence : formulations des consignes par l’enseignant Une consigne invitant à utiliser la technique par comptage : « Peux-tu dire combien il y a d’objets sur cette table, en (les) comptant [c'est-à-dire en utilisant la suite des nombres] ? » Une consigne invitant à utiliser la technique par reconnaissance globale : « Peux-tu dire combien il y a d’objets sur cette table, directement, très rapidement, sans réfléchir, [en reconnaissant tout de suite le nombre de cette quantité, parce que c’est une très petite quantité et qu’on a l’habitude de la rencontrer] ? » Une consigne invitant à utiliser la technique par calcul : « Peux-tu dire combien il y a d’objets sur cette table, sans compter les objets un par un, mais en utilisant des choses que tu sais sur les nombres [des relations ou des résultats qu’on a mémorisés] ? » Si la consigne reste large « Peux-tu dire combien il y a d’objets sur cette table ? », alors toute technique est utilisable.