. Le B-Arbre

Le b-arbre: Algorithme d’insertion Algorithme Insersion_BAbre (Clé k) Début Chercher le nœud L qui doit contenir la clé k Si (L est plein) Alors Diviser L en promouvant la clé médiane au nœud père P Si (P est plein) Répéter la division récursivement Fin si Sinon Ajouter la clé k au nœud L –et maintenir l’ordre dans le nœud L Fin Insertion_Barbre

Le b-arbre On veut inserer les elements suivants: 20, 40, 10, 30, 15, 35, 7, 26, 18, 22, 5, 42, 13, 46, 27, 8, 32, 38, 24, 45, 25 L’arbre est d’ordre 5

Le b-arbre: Etat initial 20, 40, 10, 30, 15, 35, 7, 26, 18, 22, 5, 42, 13, 46, 27, 8, 32, 38, 24, 45, 25

Le b-arbre: Insertion 20 20, 40, 10, 30, 15, 35, 7, 26, 18, 22, 5, 42, 13, 46, 27, 8, 32, 38, 24, 45, 25 20

Le b-arbre: Insertion 40 20, 40, 10, 30, 15, 35, 7, 26, 18, 22, 5, 42, 13, 46, 27, 8, 32, 38, 24, 45, 25 20 40

Le b-arbre: Insertion 10 20, 40, 10, 30, 15, 35, 7, 26, 18, 22, 5, 42, 13, 46, 27, 8, 32, 38, 24, 45, 25 10 20 40

Le b-arbre: Insertion 10 20, 40, 10, 30, 15, 35, 7, 26, 18, 22, 5, 42, 13, 46, 27, 8, 32, 38, 24, 45, 25 10 20 40

Le b-arbre: Insertion 30 20, 40, 10, 30, 15, 35, 7, 26, 18, 22, 5, 42, 13, 46, 27, 8, 32, 38, 24, 45, 25 30 10 20 40

Le b-arbre: Insertion 30 20, 40, 10, 30, 15, 35, 7, 26, 18, 22, 5, 42, 13, 46, 27, 8, 32, 38, 24, 45, 25 10 20 30 40

Le b-arbre: Insertion 15 20, 40, 10, 30, 15, 35, 7, 26, 18, 22, 5, 42, 13, 46, 27, 8, 32, 38, 24, 45, 25 15 10 20 30 40

Le b-arbre: Insertion 15 20, 40, 10, 30, 15, 35, 7, 26, 18, 22, 5, 42, 13, 46, 27, 8, 32, 38, 24, 45, 25 10 15 20 30 40

Le b-arbre: Insertion 15 20, 40, 10, 30, 15, 35, 7, 26, 18, 22, 5, 42, 13, 46, 27, 8, 32, 38, 24, 45, 25 20 10 15 30 40

Le b-arbre: Insertion 15 20, 40, 10, 30, 15, 35, 7, 26, 18, 22, 5, 42, 13, 46, 27, 8, 32, 38, 24, 45, 25 20 10 15 30 40

Le b-arbre: Insertion 35 20, 40, 10, 30, 15, 35, 7, 26, 18, 22, 5, 42, 13, 46, 27, 8, 32, 38, 24, 45, 25 20 10 15 30 40 35

Le b-arbre: Insertion 35 20, 40, 10, 30, 15, 35, 7, 26, 18, 22, 5, 42, 13, 46, 27, 8, 32, 38, 24, 45, 25 20 10 15 30 35 40

Le b-arbre: Insertion 7 20, 40, 10, 30, 15, 35, 7, 26, 18, 22, 5, 42, 13, 46, 27, 8, 32, 38, 24, 45, 25 20 10 15 30 35 40 7

Le b-arbre: Insertion 7 20, 40, 10, 30, 15, 35, 7, 26, 18, 22, 5, 42, 13, 46, 27, 8, 32, 38, 24, 45, 25 20 7 10 15 30 35 40

Le b-arbre: Insertion 26 20, 40, 10, 30, 15, 35, 7, 26, 18, 22, 5, 42, 13, 46, 27, 8, 32, 38, 24, 45, 25 20 7 10 15 30 35 40 26

Le b-arbre: Insertion 26 20, 40, 10, 30, 15, 35, 7, 26, 18, 22, 5, 42, 13, 46, 27, 8, 32, 38, 24, 45, 25 20 7 10 15 26 30 35 40

Le b-arbre: Insertion 18 20, 40, 10, 30, 15, 35, 7, 26, 18, 22, 5, 42, 13, 46, 27, 8, 32, 38, 24, 45, 25 20 7 10 15 26 30 35 40 18

Le b-arbre: Insertion 18 20, 40, 10, 30, 15, 35, 7, 26, 18, 22, 5, 42, 13, 46, 27, 8, 32, 38, 24, 45, 25 20 7 10 15 18 26 30 35 40

Le b-arbre: Insertion 22 20, 40, 10, 30, 15, 35, 7, 26, 18, 22, 5, 42, 13, 46, 27, 8, 32, 38, 24, 45, 25 20 7 10 15 18 26 30 35 40 22

Le b-arbre: Insertion 22 20, 40, 10, 30, 15, 35, 7, 26, 18, 22, 5, 42, 13, 46, 27, 8, 32, 38, 24, 45, 25 20 7 10 15 18 22 26 30 35 40

Le b-arbre: Insertion 22 20, 40, 10, 30, 15, 35, 7, 26, 18, 22, 5, 42, 13, 46, 27, 8, 32, 38, 24, 45, 25 20 30 7 10 15 18 22 26 35 40

Le b-arbre: Insertion 22 20, 40, 10, 30, 15, 35, 7, 26, 18, 22, 5, 42, 13, 46, 27, 8, 32, 38, 24, 45, 25 30 20 30 7 10 15 18 22 26 35 40

Le b-arbre: Insertion 22 20, 40, 10, 30, 15, 35, 7, 26, 18, 22, 5, 42, 13, 46, 27, 8, 32, 38, 24, 45, 25 20 30 7 10 15 18 22 26 35 40

Le b-arbre: Insertion 5 20, 40, 10, 30, 15, 35, 7, 26, 18, 22, 5, 42, 13, 46, 27, 8, 32, 38, 24, 45, 25 20 30 7 10 15 18 22 26 35 40 5

Le b-arbre: Insertion 5 20, 40, 10, 30, 15, 35, 7, 26, 18, 22, 5, 42, 13, 46, 27, 8, 32, 38, 24, 45, 25 20 30 5 7 10 15 18 22 26 35 40

Le b-arbre: Insertion 5 20, 40, 10, 30, 15, 35, 7, 26, 18, 22, 5, 42, 13, 46, 27, 8, 32, 38, 24, 45, 25 20 30 10 5 7 15 18 22 26 35 40

Le b-arbre: Insertion 5 20, 40, 10, 30, 15, 35, 7, 26, 18, 22, 5, 42, 13, 46, 27, 8, 32, 38, 24, 45, 25 10 20 30 10 5 7 15 18 22 26 35 40

Le b-arbre: Insertion 5 20, 40, 10, 30, 15, 35, 7, 26, 18, 22, 5, 42, 13, 46, 27, 8, 32, 38, 24, 45, 25 10 20 30 5 7 15 18 22 26 35 40

Le b-arbre: Insertion 42 20, 40, 10, 30, 15, 35, 7, 26, 18, 22, 5, 42, 13, 46, 27, 8, 32, 38, 24, 45, 25 10 20 30 5 7 15 18 22 26 35 40 42

Le b-arbre: Insertion 42 20, 40, 10, 30, 15, 35, 7, 26, 18, 22, 5, 42, 13, 46, 27, 8, 32, 38, 24, 45, 25 10 20 30 5 7 15 18 22 26 35 40 42

Le b-arbre: Insertion 13 20, 40, 10, 30, 15, 35, 7, 26, 18, 22, 5, 42, 13, 46, 27, 8, 32, 38, 24, 45, 25 10 20 30 5 7 15 18 22 26 35 40 42 13

Le b-arbre: Insertion 13 20, 40, 10, 30, 15, 35, 7, 26, 18, 22, 5, 42, 13, 46, 27, 8, 32, 38, 24, 45, 25 10 20 30 5 7 13 15 18 22 26 35 40 42

Le b-arbre: Insertion 46 20, 40, 10, 30, 15, 35, 7, 26, 18, 22, 5, 42, 13, 46, 27, 8, 32, 38, 24, 45, 25 10 20 30 5 7 13 15 18 22 26 35 40 42 46

Le b-arbre: Insertion 46 20, 40, 10, 30, 15, 35, 7, 26, 18, 22, 5, 42, 13, 46, 27, 8, 32, 38, 24, 45, 25 10 20 30 5 7 13 15 18 22 26 35 40 42 46

Le b-arbre: Insertion 27 20, 40, 10, 30, 15, 35, 7, 26, 18, 22, 5, 42, 13, 46, 27, 8, 32, 38, 24, 45, 25 10 20 30 5 7 13 15 18 22 26 35 40 42 46 27

Le b-arbre: Insertion 27 20, 40, 10, 30, 15, 35, 7, 26, 18, 22, 5, 42, 13, 46, 27, 8, 32, 38, 24, 45, 25 10 20 30 5 7 13 15 18 22 26 27 35 40 42 46

Le b-arbre: Insertion 8 20, 40, 10, 30, 15, 35, 7, 26, 18, 22, 5, 42, 13, 46, 27, 8, 32, 38, 24, 45, 25 10 20 30 5 7 13 15 18 22 26 27 35 40 42 46 8

Le b-arbre: Insertion 8 20, 40, 10, 30, 15, 35, 7, 26, 18, 22, 5, 42, 13, 46, 27, 8, 32, 38, 24, 45, 25 10 20 30 5 7 8 13 15 18 22 26 27 35 40 42 46

Le b-arbre: Insertion 32 20, 40, 10, 30, 15, 35, 7, 26, 18, 22, 5, 42, 13, 46, 27, 8, 32, 38, 24, 45, 25 10 20 30 5 7 8 13 15 18 22 26 27 35 40 42 46 32

Le b-arbre: Insertion 32 20, 40, 10, 30, 15, 35, 7, 26, 18, 22, 5, 42, 13, 46, 27, 8, 32, 38, 24, 45, 25 10 20 30 5 7 8 13 15 18 22 26 27 32 35 40 42 46

Le b-arbre: Insertion 32 20, 40, 10, 30, 15, 35, 7, 26, 18, 22, 5, 42, 13, 46, 27, 8, 32, 38, 24, 45, 25 10 20 30 40 5 7 8 13 15 18 22 26 27 32 35 42 46

Le b-arbre: Insertion 32 20, 40, 10, 30, 15, 35, 7, 26, 18, 22, 5, 42, 13, 46, 27, 8, 32, 38, 24, 45, 25 40 10 20 30 40 5 7 8 13 15 18 22 26 27 32 35 42 46

Le b-arbre: Insertion 32 20, 40, 10, 30, 15, 35, 7, 26, 18, 22, 5, 42, 13, 46, 27, 8, 32, 38, 24, 45, 25 10 20 30 40 5 7 8 13 15 18 22 26 27 32 35 42 46

Le b-arbre: Insertion 32 20, 40, 10, 30, 15, 35, 7, 26, 18, 22, 5, 42, 13, 46, 27, 8, 32, 38, 24, 45, 25 10 20 30 40 5 7 8 13 15 18 22 26 27 32 35 42 46

Le b-arbre: Insertion 38 20, 40, 10, 30, 15, 35, 7, 26, 18, 22, 5, 42, 13, 46, 27, 8, 32, 38, 24, 45, 25 10 20 30 40 38 5 7 8 13 15 18 22 26 27 32 35 42 46

Le b-arbre: Insertion 38 20, 40, 10, 30, 15, 35, 7, 26, 18, 22, 5, 42, 13, 46, 27, 8, 32, 38, 24, 45, 25 10 20 30 40 5 7 8 13 15 18 22 26 27 32 35 38 42 46

Le b-arbre: Insertion 24 20, 40, 10, 30, 15, 35, 7, 26, 18, 22, 5, 42, 13, 46, 27, 8, 32, 38, 24, 45, 25 10 20 30 40 5 7 8 13 15 18 22 26 27 32 35 38 24 42 46

Le b-arbre: Insertion 24 20, 40, 10, 30, 15, 35, 7, 26, 18, 22, 5, 42, 13, 46, 27, 8, 32, 38, 24, 45, 25 10 20 30 40 5 7 8 13 15 18 22 24 26 27 32 35 38 42 46

Le b-arbre: Insertion 45 20, 40, 10, 30, 15, 35, 7, 26, 18, 22, 5, 42, 13, 46, 27, 8, 32, 38, 24, 45, 25 10 20 30 40 5 7 8 13 15 18 22 24 26 27 32 35 38 42 46 45

Le b-arbre: Insertion 45 20, 40, 10, 30, 15, 35, 7, 26, 18, 22, 5, 42, 13, 46, 27, 8, 32, 38, 24, 45, 25 10 20 30 40 5 7 8 13 15 18 22 24 26 27 32 35 38 42 45 46

Le b-arbre: Insertion 45 20, 40, 10, 30, 15, 35, 7, 26, 18, 22, 5, 42, 13, 46, 27, 8, 32, 38, 24, 45, 25 10 20 30 40 5 7 8 13 15 18 22 24 26 27 32 35 38 25 42 45 46

Le b-arbre: Insertion 45 20, 40, 10, 30, 15, 35, 7, 26, 18, 22, 5, 42, 13, 46, 27, 8, 32, 38, 24, 45, 25 10 20 30 40 5 7 8 13 15 18 22 24 25 26 32 35 38 27 42 45 46

Le b-arbre: Insertion 45 20, 40, 10, 30, 15, 35, 7, 26, 18, 22, 5, 42, 13, 46, 27, 8, 32, 38, 24, 45, 25 10 20 30 40 25 5 7 8 13 15 18 22 24 26 32 35 38 27 42 45 46

Le b-arbre: Insertion 45 20, 40, 10, 30, 15, 35, 7, 26, 18, 22, 5, 42, 13, 46, 27, 8, 32, 38, 24, 45, 25 25 10 20 30 40 25 5 7 8 13 15 18 22 24 26 32 35 38 27 42 45 46

Le b-arbre: Insertion 45 20, 40, 10, 30, 15, 35, 7, 26, 18, 22, 5, 42, 13, 46, 27, 8, 32, 38, 24, 45, 25 10 20 25 30 40 5 7 8 13 15 18 22 24 26 32 35 38 27 42 45 46

Le b-arbre: Insertion 45 20, 40, 10, 30, 15, 35, 7, 26, 18, 22, 5, 42, 13, 46, 27, 8, 32, 38, 24, 45, 25 25 10 20 30 40 5 7 8 13 15 18 22 24 26 32 35 38 27 42 45 46

Le b-arbre: Insertion 45 20, 40, 10, 30, 15, 35, 7, 26, 18, 22, 5, 42, 13, 46, 27, 8, 32, 38, 24, 45, 25 25 10 20 30 40 5 7 8 13 15 18 26 27 32 35 38 22 24 42 45 46

Le b-arbre: Algorithme de suppression Algorithme SuppressionBArbre (Clé k) Début Localiser la clé k dans le nœud N Si (N est non feuille) Alors Supprimer k de N Trouvez la clé k’ la plus grande qui est immédiatement inférieure à k, Copier k’ dans l’ancienne position de k Supprimer k’ du nœud feuille L Sinon -- N est un nœud feuille Si (Violation de la contrainte sur N) Alors Soit N1 le frère gauche ou droit du nœud N Si (N1 est riche) – peut prêter une clé à N Alors Emprunter une clé de N1 – à travers le nœud père Sinon -- N1 est pauvre, à une clé de la violation de la contrainte Fusionner Si (Violation de la contrainte sur P) Alors Répéter récursivement Fin si Fin SuppressionBArbre dans le sous-arbre gauche, cette clé k’ doit être sûrement dans un nœud feuille Pousser une clé du père P et la fusionner avec N et N1 dans un nouveau nœud

Le b-arbre: Algorithme de suppression Nous avons 4 cas: Supprimer dans un noeud interne Permutation Supprimer dans un noeud feuille Sans violation Avec vilation Au moins un frere riche Aucun frere riche

Le b-arbre: Algorithme de suppression Nous avons 4 cas: Supprimer dans un noeud interne Permutation Supprimer dans un noeud feuille Sans violation Avec vilation Cas 1 Au moins un frere riche Aucun frere riche

Le b-arbre: Algorithme de suppression Nous avons 4 cas: Supprimer dans un noeud interne Cas 2 Permutation Supprimer dans un noeud feuille Sans violation Avec vilation Au moins un frere riche Aucun frere riche

Le b-arbre: Algorithme de suppression Nous avons 4 cas: Emprunter une cle ‘a travers le pere Supprimer dans un noeud interne Permutation Supprimer dans un noeud feuille Sans violation Avec vilation Au moins un frere riche Aucun frere riche Cas 3

Le b-arbre: Algorithme de suppression Nous avons 4 cas: Fusionner les deux freres pauvres (la feuille avec un de ses freres pauvres) avec L’element du Parent qui les separent Supprimer dans un noeud interne Permutation Supprimer dans un noeud feuille Sans violation Avec vilation Au moins un frere riche Aucun frere riche Cas 4

Le b-arbre: Algorithme de suppression Cas 1: Supprimer dans un noeud interne Permutation Supprimer dans un noeud feuille Sans violation Avec vilation Cas 1 Au moins un frere riche Aucun frere riche

Le b-arbre: Algorithme de suppression Cas 1: (arbre d’ordre 3) : Supprimer 3 6 9 1 3 7 13 6 9 1 7 13

Le b-arbre: Algorithme de suppression Cas 2: Supprimer dans un noeud interne Cas 2 Permutation Supprimer dans un noeud feuille Sans violation Avec vilation Au moins un frere riche Aucun frere riche

Le b-arbre: Algorithme de suppression Cas 2: (arbre d’ordre 3) : Supprimer 6 Ca ne respecte Pas le B-arbre 6 9 3 9 1 3 7 13 1 6 7 13 3 9 1 7 13

Le b-arbre: Algorithme de suppression Nous avons 4 cas: Emprunter une cle ‘a travers le pere Supprimer dans un noeud interne Permutation Supprimer dans un noeud feuille Sans violation Avec vilation Au moins un frere riche Aucun frere riche Cas 3

Le b-arbre: Algorithme de suppression Cas 3: (arbre d’ordre 3) : Supprimer 7 6 9 6 9 1 3 7 13 1 3 7 13 Riche Pauvre 3 9 1 3 6 13

Attention, c’est faut, il faut passer par le pere Le b-arbre: Algorithme de suppression Cas 3: (arbre d’ordre 3) : Supprimer 7 6 9 6 9 1 3 7 13 1 3 7 13 Riche Pauvre 6 9 1 3 13 Attention, c’est faut, il faut passer par le pere

Le b-arbre: Algorithme de suppression Nous avons 4 cas: Fusionner les deux freres pauvres (la feuille avec un de ses freres pauvres) avec L’element du Parent qui les separent Supprimer dans un noeud interne Permutation Supprimer dans un noeud feuille Sans violation Avec vilation Au moins un frere riche Aucun frere riche Cas 4

Le b-arbre: Algorithme de suppression Cas 4: (arbre d’ordre 3) : Supprimer 13 6 9 6 9 1 3 7 1 3 7 13 Pauvre 6 1 3 7 9

Le b-arbre: Suppression Soit le B-Arbre suivant. On veut supprimer les cles suivantes: 25, 24, 22, 20 25 10 20 30 40 5 7 8 13 15 18 26 27 32 35 38 22 24 42 45 46

Le b-arbre: Suppression de 22 25, 24, 22, 20 25 10 20 30 40 5 7 8 13 15 18 26 27 32 35 38 22 24 42 45 46

Le b-arbre: Suppression de 22 25, 24, 22, 20 25 10 20 30 40 5 7 8 13 15 18 26 27 32 35 38 22 24 42 45 46 24 10 20 30 40 5 7 8 13 15 18 26 27 32 35 38 22 25 42 45 46

Attention, c’est faut, il faut passer par le pere Le b-arbre: Suppression de 22 25, 24, 22, 20 24 10 20 30 40 5 7 8 13 15 18 26 27 32 35 38 22 42 45 46 Riche Vilation Attention, c’est faut, il faut passer par le pere

Le b-arbre: Suppression de 22 25, 24, 22, 20 24 10 18 30 40 5 7 8 13 15 26 27 32 35 38 20 22 42 45 46

Le b-arbre: Suppression de 24 25, 24, 22, 20 24 10 18 30 40 5 7 8 13 15 26 27 32 35 38 20 22 42 45 46

Le b-arbre: Suppression de 24 25, 24, 22, 20 22 10 18 30 40 5 7 8 13 15 26 27 32 35 38 20 24 42 45 46

Le b-arbre: Suppression de 24 25, 24, 22, 20 22 10 18 30 40 5 7 8 13 15 26 27 32 35 38 20 42 45 46 Pauvre Vilation Pauvre

Le b-arbre: Suppression de 24 25, 24, 22, 20 22 10 18 30 40 5 7 8 13 15 26 27 32 35 38 20 42 45 46 Fusionner

Le b-arbre: Suppression de 24 25, 24, 22, 20 22 10 30 40 5 7 8 13 15 18 20 26 27 32 35 38 42 45 46 Fusionner

Le b-arbre: Suppression de 24 25, 24, 22, 20 22 Vilation Pauvre 10 30 40 5 7 8 13 15 18 20 26 27 32 35 38 42 45 46

Le b-arbre: Suppression de 24 25, 24, 22, 20 22 Vilation Pauvre 10 30 40 5 7 8 13 15 18 20 26 27 32 35 38 42 45 46 Fusionner

Le b-arbre: Suppression de 24 25, 24, 22, 20 10 22 30 40 5 7 8 13 15 18 20 26 27 32 35 38 42 45 46

Le b-arbre: Suppression de 22 25, 24, 22, 20 10 22 30 40 5 7 8 13 15 18 20 26 27 32 35 38 42 45 46 10 20 30 40 5 7 8 13 15 18 22 26 27 32 35 38 42 45 46

Le b-arbre: Suppression de 22 25, 24, 22, 20 10 20 30 40 5 7 8 13 15 18 26 27 32 35 38 42 45 46

Le b-arbre: Suppression de 20 25, 24, 22, 20 10 20 30 40 5 7 8 13 15 18 26 27 32 35 38 42 45 46 10 18 30 40 5 7 8 13 15 20 26 27 32 35 38 42 45 46

Le b-arbre: Suppression de 20 25, 24, 22, 20 10 18 30 40 5 7 8 13 15 26 27 32 35 38 42 45 46