Plan 1. Probabilités conditionnelles 2. Indépendance en probabilité 3. Formule des probabilités composées 4. Formule de multiplication des probabilités 5. Formule des probabilités totales 6. Théorème de Bayes

1. Probabilité conditionnelle Soit A un événement. On s’intéresse à P(A). Apprendre que l’événement B s’est produit peut affecter P(A) [cette dernière peut augmenter ou diminuer]. P(A | B) = probabilité de A sachant B. Probabilité que a ce réalise sachant que b s’est réalisé Voir cahier

1. Probabilité conditionnelle Exemple: On choisit au hasard un étudiant du cours palpitant « Probabilités et statistique ». On s’intéresse à la probabilité que cet étudiant réussisse l’examen final. Cette probabilité est sûrement affectée si on obtient l’information que cet élève n’a étudié qu’une seule heure en vue de l’examen. Probabilité jointe portant sur la réalisation de deux événements en même temps

1. Probabilité conditionnelle Tableau des probabilités jointes: Nbre d’heures d’étude Échec Succès Moins de 10h 0.07 0.10 0.17 10h-20h 0.02 0.30 0.32 Plus de 20h 0.01 0.50 0.51 0.90 1.00 Probabilité jointe portant sur la réalisation de deux événements en même temps … Probabilité qu’un étudiant choisi au hasard échoue l’examen et a étudié de 10h Bulle bleu probabilité marginale portant sur le resultat à l’examen Bulle rouge probabilité marginales sur le # d’heures d’étude

1. Probabilité conditionnelle Notation sur les résultats d’examen: E = échec S = succès Notation sur le nombre d’heures d’étude: M10 = moins de 10h d’étude 1020 = entre 10h et 20h d’étude P20 = plus de 20h d’étude

1. Probabilité conditionnelle Par exemple, P(S ∩ M10) = 0.10. Probabilités marginales sur le résultat à l’examen: P(E) = 0.10 P(S) = 0.90 Probabilités marginales sur le nombre d’heures d’étude: P(M10) = 0.17 P(1020) = 0.32 P(P20) = 0.51

1. Probabilité conditionnelle Formules de probabilité conditionnelle: P(A | B) = P(A ∩ B) / P(B) ou encore P(B | A) = P(A ∩ B) / P(A) Toujours prendre a probabilité de droite pour diviser Ex lancer de dé A= # impair = [1,3,5] Obtenir 1,2,3 = [1,2,3] P(a) =1/2 Calculer P(A | B) equivaut à chercher p(A) lorsque l’ensemble fondamental est B au lieu de S P(A | B) = p(AnB) = p(#impaire)

1. Probabilité conditionnelle Comment estimer la probabilité de succès pour un étudiant choisi au hasard dans la classe? Si on n’a pas d’information sur le nombre d’heures d’étude de l’étudiant choisi au hasard: Si on a de l’information sur le nombre d’heures d’étude de l’étudiant choisi au hasard: .

2. Indépendance en probabilité Si on sait que l’événement B s’est réalisé, est-ce que cela affecte la probabilité de A? Si oui: événements dépendants Si non: événements indépendants A et B sont indépendants si et seulement si: P(A ∩ B) = P(A) * P(B) Découle du fait que P(A | B) = P(A) et P(B | A) = P(B) dans le cas d’indépendance. Dep  lorsque la P(A) n’egal pas P(A|B) Par exemple P(1,3,5) = ½ P(1,3,5|4,6) = 0 Indep  quand P(A)= P(a|b) P(# impair) =1/2 Sachant que le pape a dormie 2h (aucun impact) Si A et B indep P(A|B) =P(A) On a alors P(A) = P(AnB) / P(B)

Exemple Établir le sexe des 3 enfants d’une famille. Considérons les événements suivants: A: le 1er enfant est une fille B: le 2e enfant est une fille C: il y a une suite d’au moins 2 filles A= (f,f,f) (f,f,g)(f,g,f)(f,g,g) P 0,375(A)= 4/8 = 0,5 B= (f,f,f)(f,f,g)(g,f,f)(g,f,g) p(B)= 4/8 = 0,5 C= (f,f,f)(f,f,g)(g,f,f) P(C)=3/8

Exemple (suite) Les événements sont-ils indépendants?

Indépendance vs Incompatibilité Ne pas confondre les concepts d’indépendance et d’incompatibilité (mutuellement exclusifs). Des événements incompatibles sont nécessairement dépendants. Soit A et B des événements incompatibles. Si on sait que B s’est réalisé, alors A n’a plus aucune chance de se produire. L’information obtenue sur B a affecté P(A) donc ce sont des événements dépendants. Exemple cahier P(

3. Probabilités composées Formule des probabilités composées P(A ∩ B) = P(A) * P(B | A) = P(B) * P(A | B) Découle de la formule de probabilité conditionnelle. Calcul l’intersection entre deux evenements

Exemple Johnny se rend chez « TV Scrap » en vue d’acheter 2 télévisions au plasma. Ce magasin louche dispose de 10 télévisions au plasma, dont 6 ont un défaut caché. Quelle est la probabilité que Johnny achète 2 télévisions sans défaut? Réponse: b1 serait bonne et b2 aussi B1 4/10 B2 3/10

4. Multiplication des probabilités Formule de multiplication des probabilités P(E1 ∩ E2 ∩ E3 ∩ … ∩ En) = P(E1) * P(E2 | E1) * P(E3 | E1 ∩ E2) * … * P(En | E1 ∩ E2 ∩ … ∩ En-1) Généralisation de la formule des probabilités composées lorsqu’il y a plus de 2 événements. Elle calcul l’intersection de plusieurs éléments

Exemple Quelle est la probabilité de piger 3 cartes de pique de suite dans un paquet ordinaire de 52 cartes (tirages sans remise)? Réponse: Voir feuille

5. Formule des probabilités totales À utiliser lorsque: P(A) est difficile à calculer directement. Facile d’évaluer P(A | E1), P(A | E2), …, P(A | En). Condition: il faut que E1, E2, …, En forment une « partition de S »: P(A) = ∑ P(A | Ei) P(Ei) = P(A | E1) * P(E1) + P(A | E2) * P(E2) + … + P(A | En) * P(En)

Exemple #1 On dispose de 3 pièces de monnaie: Une pièce régulière Une pièce dont les 2 côtés sont « face » Une pièce ayant deux fois plus de chances de tomber sur « face » que « pile » On pige au hasard l’une de ces pièces, puis on la lance. Quelle est la probabilité d’obtenir « face »?

Exemple #1 (suite) Réponse:

Exemple #1 (suite) Réponse (suite):

Exemple #2 Dans un cégep, il y a 3 filles pour 4 gars. 20% des filles sont des fumeuses. 35% des gars sont des fumeurs. Calculez la probabilité de choisir un fumeur si on sélectionne une personne au hasard. Notation: E: la personne choisie fume F: la personne choisie est une fille G: la personne choisie est un gars F et g couvre tous les cas possibles …. P€= P(E|f)*P(f) + P(E|G)P(g) =0.2* 3/7 + 0.35*4/7 = 0,286)

Conditions d’utilisation de la formule des probabilités totales: Exemple #2 (suite) Conditions d’utilisation de la formule des probabilités totales: P(E) est difficile à calculer directement. Facile d’évaluer P(E | F) et P(E | G). F et G forment une partition de S.

Exemple #2 (suite) Réponse:

6. Théorème de Bayes On a une partition de S: E1, E2, …, En. On connaît P(E1), P(E2), …, P(En). On connaît P(A | E1), P(A | E2), …, P(A | En) pour un certain événement A. On s’intéresse à calculer P(Ei | A) pour un certain i appartenant à {1, 2, …, n}. ce sont les diverses causes de A

6. Théorème de Bayes Le bas est égal à la même affaire que P(A) Pour arriver a ca prendre formule probabilité composée

Exemple Exemple des 3 pièces de monnaie: La partition de S est P1, P2 et P3. On connaît P(P1), P(P2) et P(P3). On connaît P(F | P1), P(F | P2) et P(F | P3).

Exemple (suite) Causes d’avoir obtenu « face » :

6. Théorème de Bayes On débute avec des probabilités a priori. P(E1), P(E2), … , P(En) On obtient de l’information additionnelle. Cette nouvelle information fournit des probabilités révisées (probabilités a posteriori) via le théorème de Bayes. P(E1 | A), P(E2 | A), …, P(En | A).

Exemple Cas d’une entreprise manufacturière. Notation: A1 = pièce provient du fournisseur 1 A2 = pièce provient du fournisseur 2 B = la pièce est de bonne qualité M = la pièce est de mauvaise qualité

Exemple Probabilités a priori: Information additionnelle: P(A1) = 0.65 {donc P(A2) = 0.35} Information additionnelle: P(B | A1) = 0.98 P(B | A2) = 0.95 Probabilités a posteriori: P(A1 | B) = ??? P(A1 | M) = ??? P(A1 | B) = (P(A1) + P(b|a)) / P(B) =0,65 _,0 /(0.65*0,98)+(,95*0,35) 0,657

Exemple Application du théorème de Bayes: P(A1 | B) = P(A1 | M) =

Diagramme arborescent P(M|A1) P(A1) P(A2) P(B|A2) P(M|A2) P(B|A1) Probabilités conditionnelles Probabilités jointes Probabilités a priori Probabilités a posteriori P(A1  B)= P(B|A1) P(A1) P(A1  M)= P(M|A1) P(A1) P(A2  B) = P(B|A2) P(A2) P(A2  M)=P(M|A2) P(A2)

Autres formules P(A U B | C) = P(A | C) + P(B | C) – P(A ∩ B | C) Découle de: P(A U B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B) P(A’ | C) = 1 – P(A | C) P(A’) = 1 – P(A) P(A ∩ B | C) = P(A | C) – P(A ∩ B’ | C) Découle de P(A ∩ B) = P(A) – P(A ∩ B’)