Petit historique de la numération Systèmes numériques égyptien, grec, romain, babylonien,…. Par F. VALLERY pour option LHG/LEA 2014 U.P.J.V. Antenne de Beauvais

Les grecs utilisaient le mot  ( « déca » ) pour le nombre 10. Système littéral La première solution est de noter par un mot le nombre que l’on veut designer. Les grecs utilisaient le mot  ( « déca » ) pour le nombre 10. Dans « Octobre » on trouve la racine latine « OCTO » signifiant 8. Octobre était le huitième mois dans le calendrier de la Rome Antique. Une variante : Dès le Ve siècle av. J.C., en Attique, région d'Athènes, apparaissent des chiffres dont chaque signe (à l'exception de celui pour 1) n'est autre que la première lettre du nom du nombre exemple  =10 ( notation dite « acrophonique »)

= ?  1 021 037 Systèmes spécifiques non positionnels Une liste de symboles ( « chiffres » ) représentent des nombres fixés. Les autres nombres sont notés par la répétition adéquate de ces symboles L’ordre dans lequel sont écrits ces chiffres n’a pas d’importance: dans un système non positionnel la valeur du symbole ne dépend pas de sa position La numération égyptienne apparaît dès les débuts de l'écriture, vers 3000 avant J-C = ?  1 021 037

Chez les grecs le système attique fut remplacé au IIIe siècle avant JC par le système ionien : Ils utilisaient les lettres de l'alphabet pour écrire les nombres. Pour les distinguer des lettres dans un texte , ils les surmontaient d'une barre.  289 = ? Exemple On remarquera que la position des symboles ne change pas leur valeur : 289 pourrait aussi s’écrire ( 80 + 200 + 9 = 289 )

Ecriture positionnelle relative Un exemple bien connu de ce système est celui utilisé dans de la Rome antique I =1, V = 5 , X =10, L = 50 , C=100, D=500, M=1000 Le fait de mettre une barre au dessus, multipliait par 1000 . Exemple: V = 5000 La position d’un symbole relativement aux autres est signifiante car si un symbole de valeur inférieure est placé à la gauche d’un supérieur il vient diminuer d’autant la valeur globale du nombre LXV = ? 50+10 + 5 = 65 XLV = ? -10+50 + 5 = 45

en résumé < I <<III =683 et <<III <I = 1391 systèmes positionnels Historiquement, ce sont les mésopotamiens qui utilisèrent les premiers ce type de position vers 3200 avant JC ( Irak- Syrie-Iran ) L’argent ( le métal) était utilisé dans les transactions commerciales et l’unité était la « Mana » qui se subdivisait en 60 sous-unités les « Shekels » : 1 mana = 60 shekels Il y avait 59 chiffres composés de chevrons < pour 10 et de « clous » I pour 1 exemple le chiffre << III = 23 Si un prix était indiqué par les deux « chiffres » suivants < I <<III il s’agissait de 11 manas et 23 shekels  11* 60 + 23 = 683 shekels Si on inverse la position de ces deux chiffres << III <I il s’agit de 23 manas et 11 shekels  23*60 + 11 = 1391 shekels en résumé < I <<III =683 et <<III <I = 1391 C’est le système sexagésimal babylonien ( base 60 ) dont notre langage a gardé des traces : nous décomposons les heures en 60 minutes et les minutes en 60 secondes … Le tour complet du cercle correspond à 6*60 = 360 degrés

Tablette des 59 chiffres babyloniens  ( il manque le zéro ! ) Ecriture cunéiforme sens d’écriture : de droite à gauche Le premier chiffre  les unités ( par exemple les shekels ) Le deuxième chiffre  les soixantaines ( le mana= 60 shekels) Le troisième chiffre  les soixantaines de soixantaines (60 manas =60*60=60² =3600 shekels ) Le quatrième chiffre  60*60*60=603 = 216000 Etc ……. = 20* 60 ² + 11*60 + 52 = 20*3600 +11*60 + 52 = 72 712 Comment écrire 3800 dans ce système babylonien ? 3800= 3600 + 200 = 3600 + 180 + 20 = 60 ² +3*60 + 20 =

L’invention du zéro ? Ce symbole n’était pas encore considéré comme la quantité nulle mais seulement comme un symbole séparateur Les babyloniens, qui n’avaient pas de symbole pour le zéro, plaçaient un vide quand il n’y avait pas, par exemple, de soixantaine . 7211 = 7200+11 = 2*3600 +11 s’écrivait qui vaut 2*60+ 11 = 131 Ce que l’on risquait de confondre avec Le symbole quand il était seul signifiait, suivant le contexte, 11 ou 11*60 ou 11*3600 , etc Les civilisations Indus (De 5000 à 1900 av. J.-C.), ont adopté le système babylonien en y apportant une amélioration essentielle: ils créèrent un symbole spécifique à la place du vide . Cette invention se diffusa à son tour dans le monde antique et vers 300 avant JC on trouve une marque spéciale pour « zéro  » dans les tablettes des babyloniens Il faut attendre le 5e siècle de notre ère, pour trouver en Inde, sous la forme d’un petit cercle, les premières figurations du zéro « complet » ( considéré à la fois comme chiffre et comme quantité ) Le zéro est présent en Occident seulement à partir du 12e siècle

3 9 0 3 = 3 milliers + 9 centaines + 0 dizaine + 3 unités Vers la numération actuelle: le système décimal Suivant sa position dans l’écriture du nombre un chiffre représente une unité (1) , une dizaine (10) , un centaine (10*10) , un millier (10*10*10) , etc… 3 9 0 3 = 3 milliers + 9 centaines + 0 dizaine + 3 unités

Pour finir, une tentative amusante pour expliquer la forme des chiffres mais très certainement fausse ! ! 1 angle 2 angles 4 013456… 3 angles 4 angles

5 angles 6 angles 4 013456… 7 angles 8 angles

4 013456… 9 angles

Zéro angle ! 4 013456…