Principe de la numération en une base donnée Par F. VALLERY pour option LHG/LEA 2014 U.P.J.V. Antenne de Beauvais

La base 10 ( système de numération usuel ) 4 Principe: On rassemble par paquets de dix et si on a plus de 10 paquets on les regroupe aussi par paquets de dix et ainsi de suite …. 10 10 10 100 100 2 centaines + 3 dizaines + 4 unités = 234

Si x0 , x1 , x2, ……xn représentent des chiffres Alors la notation xn……x2x1 x0 signifie xn*10n+…..+ x2*102+ x1*10+ x0 Exemple 4276 = 4*103+ 2*10 2+ 7*10+ 6 On peut changer de base: remplacer 10 par 20 ( système de numération Maya de -300 à + 300 après JC ) L’écriture des chiffres ., .., … , etc …. était verticale (les unités en bas)  Les vingtaines de vingtaines  Les vingtaines signifie 3 fois 20 ² + 1 fois 20 + 2 unités = 3*400+1*20+2 = 1222  Les unités Autre base : remplacer 10 par 60 ( système de numération babylonien 2000 av JC ) L’écriture des chiffres I, II, III , etc , …. était horizontale ( les unités à droite) III I II signifie 3 fois 60 ² + 1 fois 60 + 2 unités = 3*3600+1*60+2 = 10 862

A l’inverse, comment écrire en base 3 un nombre écrit en base 10 ? Principe général pour une base B  Il y a B chiffres différents ( dont le « zéro » ) Si x0 , x1 , x2, ……xn représentent des chiffres __________ Alors la notation xn……x2x1 x0 signifie xn*B n +…..+ x2*B2+ x1*B+ x0 Exemple en base 3 il y a 3 chiffres : le 0 , le 1 et le 2 ______ L’écriture 2 0 1 2 signifie 2*33+0*32+1*3+2 = 59 A l’inverse, comment écrire en base 3 un nombre écrit en base 10 ?

Si la quantité est assez petite on peut rassembler les objets par 3 et faire de même avec les paquets obtenus ( si cela dépasse 3 ) et ainsi de suite Exemple : on veut écrire en base 3 le nombre 22 ( les 22 étoiles ci-dessous ) 1 unité 1 paquet de 3 2 paquets de 3*3 =3²=9 ____ En base 3 le nombre 22 s’écrit 2 1 1 Vérification 2 *3² + 1*3 +1 = 2*9 + 3 +1 = 18+3+1 = 22

Algorithme pour écrire un nombre X en une base B exemple 59 en base 3 On divise X par B on obtient un quotient entier X1 et un reste R0 ( c’est le premier chiffre) 59 divisé par 3 donne 19 et il reste 2 On divise X1 par B on obtient un quotient X2 et un reste R1 ( c’est le second chiffre) 19 divisé par 3 donne 6 et il reste 1 On divise X2 par B on obtient un quotient X3 et un reste R2 ( c’est le troisième ) 6 divisé par 3 donne 2 et il reste 0 Etc …… jusqu’à temps que l’on obtienne un quotient nul avec un reste Rn ____________  La réponse est alors Rn ….. R2R1R0 Algorithme pour écrire un nombre X en une base B exemple 59 en base 3 On divise X par B on obtient un quotient entier X1 et un reste R0 ( c’est le premier chiffre) 59 divisé par 3 donne 19 et il reste 2 On divise X1 par B on obtient un quotient X2 et un reste R1 ( c’est le second chiffre) 19 divisé par 3 donne 6 et il reste 1 On divise X2 par B on obtient un quotient X3 et un reste R2 ( c’est le troisième ) 6 divisé par 3 donne 2 et il reste 0 Etc …… jusqu’à temps que l’on obtienne un quotient nul avec un reste Rn 2 divisé par 3 donne 0 et il reste 2  La réponse est alors 2 0 1 2 Algorithme pour écrire un nombre X en une base B On divise X par B on obtient un quotient entier X1 et un reste R0 ( c’est le premier chiffre) On divise X1 par B on obtient un quotient X2 et un reste R1 ( c’est le second chiffre) On divise X2 par B on obtient un quotient X3 et un reste R2 ( c’est le troisième ) Etc …… jusqu’à temps que l’on obtienne un quotient nul avec un reste Rn ____________  La réponse est alors Rn ….. R2R1R0 Algorithme pour écrire un nombre X en une base B exemple 59 en base 3 On divise X par B on obtient un quotient entier X1 et un reste R0 ( c’est le premier chiffre) 59 divisé par 3 donne 19 et il reste 2 On divise X1 par B on obtient un quotient X2 et un reste R1 ( c’est le second chiffre) 19 divisé par 3 donne 6 et il reste 1 On divise X2 par B on obtient un quotient X3 et un reste R2 ( c’est le troisième ) Etc …… jusqu’à temps que l’on obtienne un quotient nul avec un reste Rn ____________  La réponse est alors Rn ….. R2R1R0 Algorithme pour écrire un nombre X en une base B exemple 59 en base 3 On divise X par B on obtient un quotient entier X1 et un reste R0 ( c’est le premier chiffre) 59 divisé par 3 donne 19 et il reste 2 On divise X1 par B on obtient un quotient X2 et un reste R1 ( c’est le second chiffre) On divise X2 par B on obtient un quotient X3 et un reste R2 ( c’est le troisième ) Etc …… jusqu’à temps que l’on obtienne un quotient nul avec un reste Rn ____________  La réponse est alors Rn ….. R2R1R0 Algorithme pour écrire un nombre X en une base B exemple 59 en base 3 On divise X par B on obtient un quotient entier X1 et un reste R0 ( c’est le premier chiffre) On divise X1 par B on obtient un quotient X2 et un reste R1 ( c’est le second chiffre) On divise X2 par B on obtient un quotient X3 et un reste R2 ( c’est le troisième ) Etc …… jusqu’à temps que l’on obtienne un quotient nul avec un reste Rn ____________  La réponse est alors Rn ….. R2R1R0 ______ 59 en base 3 s’écrit 2 0 1 2

Le système binaire, une base utilisée en informatique :la base 2  Deux chiffres 0 ( le courant ne passe pas ) 1 ( le courant passe ) On veut écrire le nombre 13 en base 2 ______ En base 2 le nombre 13 s’écrit 1 1 0 1

En informatique, un octet est un regroupement de 8 bits codant une information ( 0 ou 1 ) . Dans ce système de codage, s'appuyant sur le système binaire, un octet permet de représenter 28, c'est-à-dire 256, valeurs différentes. Un ou plusieurs octets permettent ainsi de coder des valeurs numériques ( ou des caractères ) . L’octet 11001101 vaut 1*128+1*64+0*32+0*16+1*8+1*4+0*2 + 1 =205

 PENSER A UN NOMBRE ENTRE 1 ET 63 Pour finir on va faire un petit tour de magie….à partir de la base 2  PENSER A UN NOMBRE ENTRE 1 ET 63

Le nombre est-il dans ce tableau ?

Le nombre est-il dans ce tableau ?

Le nombre est-il dans ce tableau ?

Le nombre est-il dans ce tableau ?

Le nombre est-il dans ce tableau ?

Le nombre est-il dans ce tableau ?

Explications….. Voici les nombres de 1 à 63 écrits en base 2 On fabrique une première grille dans laquelle se trouveront les nombres de 1 à 63 qui s’écrivent en base 2 avec un 1 en premier chiffre ( le plus à droite ) Première grille : nombres qui se terminent par 1 en base 2

Deuxième grille : nombres qui ont un 1 en deuxième position ( en partant de la droite)

Troisième grille : nombres qui ont un 1 en troisième position ( en partant de la droite )

Etc …. on construit ainsi 6 grilles On demande à une personne de penser à un nombre secret entre 1 et 63 et de nous dire au fur et à mesure qu’on lui présentera chaque grille si oui ou non le nombre se trouve dedans. Sans le savoir elle nous indiquera les chiffres en base 2 du nombre inconnu : il nous suffira d’additionner à chaque  réponse « oui » le nombre du coin ( ici en jaune) pour obtenir le nombre en question