Application des équations primitives à l’écoulement turbulent Méthodologie Équations qui décrivent l’écoulement d’un fluide Équations de l’écoulement turbulent Définition La couche limite atmosphérique est la partie de l’atmosphère en contact avec la surface terrestre, directement influencée par la présence de celle-ci

Équations qui gouvernent le mouvement turbulent Identification des équations de la couche limite Approximations L ’air est un gaz parfait approximation de Boussinesq air sec

Équations qui gouvernent le mouvement turbulent : méthodologie Identification des équations de la couche limite (approximation de Boussinesq) Les contributions locale et d’advection de la dérivée totale doivent être explicites Décomposition de Reynolds des variables météorologiques apparaissant dans les équations Application de la moyenne de Reynolds à ces équations Transformation, à l’aide de l’équation de continuité, du terme contenant les fluctuations en un terme de divergence de flux turbulent

Notation d ’Einstein Règles: a) Tout monôme construit avec des composantes de vecteurs dans laquelle figure deux fois le même indice est en réalité la somme des monômes obtenus en donnant à l’indice répété les valeurs 1, 2 et 3. b) dans une équation, chaque fois qu ’un indice apparaît, non répété, dans un monôme de l ’équation il doit apparaître, non répété, en chaque monôme de l ’équation. c) Le même indice ne peut pas être répété plus de deux fois dans un monôme.

Équations qui gouvernent le mouvement d ’un fluide Équation d ’état : Constante des gaz de l’air sec Température virtuelle Humidité spécifique

Équations qui gouvernent le mouvement d ’un fluide Équation de continuité :

Équations qui gouvernent le mouvement d ’un fluide Conservation de la quantité de mouvement :

Équations primitives Équation de continuité pour la substance eau : Vapeur d ’eau Eau liquide

La première loi de la thermodynamique : conservation de l’énergie Pour un gaz parfait Dans le cas d ’un processus adiabatique

La première loi de la thermodynamique : conservation de l’énergie +

La première loi de la thermodynamique : conservation de l’énergie

Équations qui gouvernent le mouvement d ’un fluide Équation de conservation d ’énergie

Équations qui gouvernent le mouvement d ’un fluide Équation de continuité pour n ’importe quelle quantité scalaire de concentration c:

Équations qui gouvernent le mouvement de l ’air humide On a 9 équations à 9 inconnues u,v,w vitesse p pression  densité  température potentielle Tv température virtuelle q quantité de vapeur d ’eau par unité de masse qL quantité d ’eau condensée par unité de masse

Notions à consolider Moyenne – filtrage permettant de séparer les mouvements lents (moyens) des mouvement rapides (turbulents) Covariances entre une vitesse et une autre grandeur - flux Variances de vitesse – énergie cinétique turbulente moyenne Forces de surface – pression, contraintes de Reynolds, contraintes visqueuses Tenseur de contraintes de Reynolds – flux de quantité de mouvement Turbulence homogène – uniformité spatiale Turbulence isotrope – indépendance de la direction Turbulence stationnaire – indépendance du temps Échelles de la couche de surface Équations primitives

Approximations Dans un premier temps on considère les équations pour l ’air sec 7 équations et 7 inconnues Le terme de divergence radiative est négligeable, puisque on considère l ’air sec… (???)

Approximations : approximation anélastique L ’état thermodynamique de l ’atmosphère dans la couche limite s ’écarte peu d ’un état de base qui est hydrostatique et adiabatique Le nombre de Match (v/c) est petit, c ’est-à-dire, les variations spatiales et temporelles de la pression sont petites devant la pression elle même

Approximations : approximation de Boussinesq Approximation anélastique + L ’échelle verticale des mouvements est petite devant l ’épaisseur effective de l ’atmosphère : hypothèse de convection peu profonde (shallow water)

Approximation de Boussinesq La viscosité moléculaire, =0 , est constante La conductivité thermique moléculaire  =   est constante. |1 / 0|<<1, où 0 est la densité de l ’état de base (adiabatique et hydrostatique) et 1 est la perturbation de cet état de base (1 =  - 0). La chaleur générée par les contraintes visqueuses peut être négligée dans l’équation thermodynamique. Le rapport |T1 / T0|<<1, où T0 est la température de l ’état de base (adiabatique) et T1 est la perturbation de cet état de base (T1 = T - T0) . |p1 / p0|<<1, où p0 est la pression de l ’état de base (hydrostatique) et p1 est la perturbation de cet état de base (p1 = p - p0). L’échelle verticale du mouvement est petite par rapport à l ’échelle d’hauteur de l ’atmosphère.

Équations de Boussinesq

Équations de Reynolds

Équations de Reynolds de l’air humide

Divergence des flux Convergence de flux de quantité de mouvement cinématique : forces de frottement turbulent Convergence flux de chaleur turbulent cinématique. Convergence flux d ’humidité turbulent cinématique.

Les termes de Reynolds Flux verticale de quantité de mouvement horizontal x3 O x1 x2 Flux du au mouvement moyen (advection par le vent moyen) Flux moyen du aux mouvements turbulents (tensions de Reynolds)

Forces de surface dues à la turbulence

Homogénéité horizontale

Stationnarité

Couche de surface + orientation de l ’axe de x selon la direction du mouvement La somme des contraintes de Reynolds et des contraintes de viscosité est constante dans toute l ’épaisseur de la couche de surface homogène et stationnaire

Flux de quantité de mouvement est un tenseur d ’ordre 2

Flux turbulent de quantité de mouvement Interprétation de flux vertical de quantité de mouvement dans le cas d ’un écoulement turbulent horizontalement homogène.

Paramètres d ’échelle de la couche de surface Dans l ’atmosphère Les flux turbulents moyens de surface sont utilisés comme paramètres d ’échelle dans la couche de surface

Échelles de vitesse, température et humidité dans la couche de surface Les flux turbulents dans la couche de surface sont pratiquement constants (varient moins de 10 %). On les utilise pour définir des échelles de grandeur caractéristiques de la couche de surface : Vitesse de friction Échelle de température Échelle d‘ humidité