FLAMBAGE D’une poutre : partie scientifique Stephane nachar

Présentation du système Système purement didactique Matériel : Banc Deltalab EX 150 Poutres minces en acier 700x4x(1 ou 2) mm Poutre mince en PVC 700x4x2 mm But : Mettre en lumière la propriété de flambement des poutres

Présentation du système NOMENCLATURE DU BANC DELTALAB EX 150 22 Comparateur inférieur de mesure des déplacements 21 Comparateur supérieur de mesure des déplacements 19 Barre de guidage 17 Volant de manœuvre 16 Vis de charge 15 Support de comparateur de charge 14 Comparateur de mesure de la charge 13 Poutre dynamométrique 12 Chape supérieure 11 Axe de cadre x 3 10 Chape inférieure 9 Éprouvette de traction 8 Éprouvette de flexion en acier 15x30x600 mm

Présentation du système Capteurs : Trois micromètres : Deux permettant de mesurer un déplacement de la tige de traction (Le placement est libre) Un mesurant le déplacement de la poutre dynamométrique permettant de mesurer l’effort exercé sur la poutre mise en compression Comment?

Fonctionnement du comparateur d’effort Hypothèses : Poutre bi-articulée ( 700x40x20 & Jeu) Matériau linéaire, homogène, isotrope (Acier E = 210 GPa) Démarche : Théorie des poutres On extrait F=f(x).y et on cherche x tel que F = K,y avec K « simple » (Exemple : K=1kN/mm) Résultat : Possible pour x ≈ 450 mm Ecart avec le réel : < 10%

Compression d’une POUTRE Théorie des poutres En réalité Déformation axiale jusqu’à atteindre la plasticité Il existe une force critique pour laquelle la poutre fléchit brutalement : FLAMBEMENT

CARACTERISATION du flambeMENT Grandeurs et paramètres pouvant influer sur le phénomène et pouvant être étudié ici : Evolution de la charge Impact des conditions limites Impact du matériau Impact de l’épaisseur de la poutre

CARACTERISATION du flambeMENT Grandeurs et paramètres pouvant influer sur le phénomène et pouvant être étudié ici : Evolution de la charge Cas d’une poutre avec évolution progressive de la charge Impact des conditions limites Comparaison poutre bi-articulée & poutre encastrée Impact du matériau Comparaison force critique poutre PVC - Acier Impact de l’épaisseur de la poutre Comparaison force critique poutres Acier

CARACTERISATION du flambeMENT Grandeurs et paramètres pouvant influer sur le phénomène et pouvant être étudié ici : Evolution de la charge Cas d’une poutre avec évolution progressive de la charge Impact des conditions limites Comparaison poutre bi-articulée & poutre encastrée Impact du matériau (Phénomène non visible) Comparaison force critique poutre PVC - Acier Impact de l’épaisseur de la poutre (Phénomène non visible) Comparaison force critique poutres Acier

EvOLUTION DE LA CHARGE DANS LE CAS D’UNE POUTRE BI-ARTICULEE Méthode de réalisation : Mesure des dimensions de l’éprouvette via un pied à coulisse pour les faibles dimensions Installation de l’éprouvette Acier 700x40x20mm entre les chapes sans serrage Précharge de maintien de l’éprouvette Mise en position d’un micromètre pour la mesure de la flèche à x = L/2 Charge progressive et lecture des valeurs de charge et de flèche Non dépassement de la limite d’élasticité

Mesures F(N) f(mm) 80 0,60 110 1,69 140 2,13 170 2,73 190 2,85 200 4,09 210 5 220 8 300 10

Mesures Remarque : Présence d’une flèche visible à partir de 100 N Présence d’un palier à 200 N

Théorie : Hypothèses : Description du Flambement : Théorie des poutres Milieu linéaire, homogène, isotrope Grand déplacement (=> Configuration déformée) Description du Flambement : D’après Euler, existence d’une charge critique Fc : Si F= Fc , flexion brusque de la poutre Obtention des équations : Equation de la flexion : 𝑀 𝑓 =𝐸𝐼 𝑑²𝑦 𝑑𝑥² & 𝑀 𝑓 =𝐹.𝑦 𝑑²𝑦 𝑑𝑥² = 𝐹 𝐸𝐼 .𝑦

Théorie : Solution non conventionnelle : Y ≠ 0 => y = ymax sin⁡( 𝑛𝜋𝑥 𝐿 ) (via les conditions limites) Donc on a l’existence de Fc avec 𝐹 𝑐 = 𝐸𝐼𝜋² 𝐿² (Cas bi-articulée) AN : 𝐹 𝑐 = 377 N Ecart avec le réel : > 80% ! Hypothèse : Fatigue du matériau et du banc d’essai

Comparaison avec la théorie Réel Euler

Ecart de forme La modélisation d’Euler est incomplète Non prise en compte des éventuels défauts de rectitude Lors de la compression, fléchissement Non prise en compte de la plasticité

Détermination de la flèche : Hypothèses : Théorie des poutres Milieu linéaire, homogène, isotrope Présence d’un défaut de rectitude 𝛿𝑦 Détermination de la flèche : Equation du défaut 𝛿𝑦 = 𝑦 0 sin⁡( 𝑛𝜋𝑥 𝐿 ) Donc EI 𝑑²𝑦 𝑑𝑥² +𝐹𝑦=𝐹𝛿𝑦 Donc y = ymax sin⁡( 𝑛𝜋𝑥 𝐿 ) avec ymax = 𝑦 0 1− 𝐹𝑐 𝐹

Etude DU Diagramme de southwell Réel Théorie

Comparaison avec LE Cas Encastré Poutre bi-articulée Poutre encastrée Réel : Fc = 200N Réel : Fc = 360N Théorique : Lc = L/2 Donc Fcencastrée = 4*Fcbi-articulée Ecart avec le réel : > 100%

Conclusion de l’étude Mesures imprécises Le flambement est visible sur les poutres élancées Présence d’une légère flexion lors de la charge due au défaut de rectitude Flexion brusque lors à charge critique Plasticité ensuite Banc d’essai imprécis + Eprouvette vieillie Mesures imprécises Théorie imprécise