Formation Black Belt Lean Six Sigma Plans split-plot

Objectifs Reconnaître quand utiliser un plan split-plot Comprendre la méthodologie derrière l’analyse d’un plan split-plot Prendre des décisions éclairées en fonction des résultats de l’expérience

Origine des plans split-plot Premiers exemples en agriculture Un seul niveau d’un traitement de fertilisation (facteur A) est appliqué à une section relativement grande d’un champ (appelée « whole plot ») Les autres niveaux du facteur A forment d’autres « whole plot » Tous les niveaux de variétés de graines (facteur B) sont appliqués sur de plus petites sections du « whole plot » Ces petites sections sont obtenues en séparant le « whole plot » en « subplot » Le facteur B est appelé « subplot factor »

Concept de base L’idée principale d’un plan split-plot est qu’il existe deux tailles d’unités expérimentales Il y a une restriction au niveau de l’assignation aléatoire des traitements aux unités expérimentales Aussi appelée « randomisation restreinte » Il est également question de hiérarchie (facteurs emboîtés) a1 Plot 1 a2 Plot 2 a1 Plot 3 a2 Plot 4 b2 b2 b1 b3 b1 b2 b3 b3 b2 b3 b1 b1

Importance des plans split-plot En pratique, les situations requièrent souvent un plan split-plot pour représenter la vraie structure de l’expérience Plus souvent qu’on ne le croit, car une randomisation complète est souvent difficile à reproduire dans la réalité Le plan split-plot est une bonne approche pour les situations en présence de randomisation restreinte Les résultats de ce type de plan doivent être analysés adéquatement, sinon de fausses conclusions en seront tirées La particularité de l’analyse est que dans un plan « split-plot », il existe deux types d’erreurs à considérer pour documenter la variation naturelle des deux formes d’unités expérimentales

Exemple Soit une expérience à deux facteurs où la réponse est la résistance à l’eau de diverses pièces de bois Facteur A : deux niveaux de prétraitement du bois (1 et 2) Facteur B : quatre niveaux de teinture (1, 2, 3 et 4) Avec un plan factoriel complet, il faudrait 8 panneaux de bois par réplication Une combinaison de prétraitement et de teinture serait assignée aléatoirement à chaque panneau Cependant, s’il est difficile d’appliquer le prétraitement à une petite surface, que faire ?

Exemple (suite) Une meilleure approche est d’appliquer chaque prétraitement sur un grand panneau de bois et ensuite couper les deux grands panneaux en quatre parties afin de recevoir un niveau de teinture distinct

Reconnaître une situation split-plot Dans cet exemple, l’unité expérimentale n’est pas la même pour les deux facteurs Pour le facteur Prétraitement, l’unité expérimentale est le panneau entier, mais pour le facteur Teinture, ce sont les petits panneaux qui proviennent de chaque grand panneau Chaque facteur utilise une structure de randomisation différente Avec un plan factoriel randomisé complètement, les 24 unités expérimentales auraient la même structure de randomisation

Reconnaître une situation split-plot (suite) Pour un essai donné d’un niveau de Prétraitement, quatre essais distincts sont faits pour Teinture Il en est ainsi car Prétraitement est un facteur difficile à changer Cette notion est également très présente dans l’utilisation du split-plot Le nombre de réplications n’est pas le même pour chaque facteur Le facteur Prétraitement a trois réplications alors que le facteur Teinture a six réplications

Ces décisions sont autant de nature pratique que statistique Exemple (suite) À partir de la structure établie, il faut se demander : Combien de panneaux faut-il pour chaque combinaison de niveaux ? Combien de réplications de l’expérience faut-il faire ? Dans quel ordre les essais vont-ils être réalisés ? Combien de mesures par petits panneaux faut-il prendre (répétitions) ? Ces décisions sont autant de nature pratique que statistique

Exemple (suite) Soit trois réplications de l’expérience entière 3 réplications x 2 x 4 = 24 observations Il faut 6 grands panneaux « whole plot » sur lesquels seront assignés de façon aléatoire les prétraitements Chaque panneau sera alors coupé en quatre parties « subplot » sur lesquelles les quatre teintures seront assignées de façon aléatoire

Exemple d’une randomisation restreinte Dans un plan factoriel complet, 8 combinaisons de traitements (2 prétraitements x 4 teintures) seraient répliquées trois fois Puisque Prétraitement est un facteur difficile à changer, cette façon d’expérimenter n’est pas efficace car cela exige de réaliser 24 fois distinctes une combinaison Prétraitement-Teinture Il est alors préférable d’appliquer une restriction sur la randomisation du facteur Prétraitement difficile à changer

Analyse d’un plan split-plot En raison de la structure « split-plot » d’une telle expérience, il ne faut pas analyser les données de la même manière qu’avec un plan factoriel car : Il y a plusieurs types d’unités expérimentales Le facteur Teinture est hiérarchisé ou emboîté (nested) dans le facteur Prétraitement Il existe une restriction sur la randomisation du facteur Prétraitement difficile à changer Pour s’en convaincre, les pages suivantes présentent les analyses statistiques selon les deux types de plan : Plan factoriel complet (mauvaise analyse) Plan split-plot (analyse adéquate)

Résultats de l’expérience Voici les résultats de l’expérience sur la résistance du bois à l’eau

Création du plan factoriel complet Stat < DOE < Factorial < Create Factorial Design Il faut définir le type de facteurs et leurs niveaux

Création du plan factoriel complet (suite) Il faut confirmer le nombre de réplications et l’insertion ou non d’un facteur de blocage au sein de celles-ci

Création du plan factoriel complet (suite) Il faut toujours randomiser lorsque possible

Création du plan factoriel complet (suite) Par défaut MINITAB a donné la table randomisée suivante Il y a 24 essais à effectuer Cependant, s’il est impossible de changer le facteur Prétraitement aussi souvent qu’indiqué dans le plan factoriel, il faut restreindre la randomisation sur le facteur Truc : utilisez la fonction tri Les réponses de l’expérience sont dans la colonne Résistance

Création du plan split-plot Le bloc est appelé WholePlot car il faut définir et représenter les unités expérimentales du facteur Prétraitement pour les six grands panneaux Le facteur Teinture est complètement randomisé et emboîté dans Prétraitement Une restriction sur la randomisation est imposée au Prétraitement car c’est un facteur difficile à changer

Analyse du plan factoriel complet Stat < DOE < Factorial < Analyze Factorial Design

Analyse du plan factoriel complet (suite) Il est possible de sélectionner les graphiques des résidus pour réaliser le diagnostic du modèle Il est possible de sélectionner les résultats qui accompagneront la table d’ANOVA

Analyse du plan factoriel complet (suite) Seul facteur significatif

Analyse du plan split-plot Il faut indiquer à MINITAB les deux niveaux d’unités expérimentales à traiter Dans la zone du modèle, on indique les facteurs à tester (Prétraitement, Teinture, interaction double) De plus, le terme WholePlot(Prétraitement) indique à MINITAB que le facteur WholePlot, créé pour représenter les six grands panneaux, est emboîté dans Prétraitement Enfin, en définissant WholePlot comme un facteur aléatoire, MINITAB comprend que ce facteur doit servir au calcul de l’erreur utilisée pour tester le facteur Prétraitement Stat < ANOVA < General Linear Model

Analyse du plan split-plot (suite) Il est possible de sélectionner les résultats qui accompagneront la table d’ANOVA Il est possible de visualiser le graphique d’interaction entre deux facteurs et lui donner un titre

Analyse du plan split-plot (suite) Il est possible de sélectionner les graphiques des résidus pour réaliser le diagnostic du modèle Il est possible d’inclure dans la feuille de données les résidus calculés à partir du modèle sélectionné

Analyse du plan split-plot (suite) Le seul facteur qui a un effet significatif sur la résistance du bois à l’eau est dorénavant le facteur Teinture Il y a donc au moins une teinture parmi les quatre testées qui a un effet particulier sur la résistance à l’eau Le facteur Prétraitement n’a pas d’effet significatif sur la résistance à l’eau Il n’y a pas d’effet d’interaction entre Prétraitement et Teinture Le modèle explique bien la réalité de l’expérience (R-Sq(adj) = 85,66%)

Analyse du plan split-plot (suite) Le graphique des interactions visualise que l’interaction entre Prétraitement et Teinture n’est pas significative (valeur-p = 0,231)

Comparatif des résultats des deux plans Que voyez-vous ?

Comparatif des résultats des deux plans (suite) Analyse du plan factoriel complet Le facteur Prétraitement est le seul à avoir un effet significatif sur la résistance du bois à l’eau Le faible R-Sq(adj) indique que le modèle n’explique pas bien la réalité Il est préférable de ne rien conclure sur la base de ces résultats Analyse du plan split-plot Le facteur Teinture est le seul à avoir un effet significatif sur la résistance du bois à l’eau Le R-Sq(adj) élevé indique que le modèle explique bien la réalité C’EST LA SEULE ANALYSE PERTINENTE

Analyse du plan split-plot (suite) Modèle final : Résistance = Prétraitement + WPerreur + Teinture + Prétraitement*Teinture + SPerreur Dans la présente table d’ANOVA, WPerreur correspond à WholePlot(Prétraitement) et représente l’erreur associée au Prétraitement SPerreur correspond à Error et représente l’erreur associée à la Teinture et à l’interaction Prétraitement*Teinture

Points à retenir L’approche du split-plot peut mener à des expériences beaucoup plus complexes Il existe plusieurs extensions ou variantes qui peuvent être apportées au plan split-plot : Il peut y avoir plus d’un facteur difficile à changer Le whole-plot peut contenir des blocs au lieu d’être complètement randomisé Il peut y avoir plusieurs facteurs faciles à changer à l’intérieur du subplot et donc un plan factoriel fractionnaire peut être nécessaire à l’intérieur du plan split-plot Certains facteurs peuvent jouer le rôle de subplot tout en constituant le whole-plot pour d’autres

Références « How to recognize a split-plot experiment » Scott M. Kowalski et Kevin J. Potcner, Quality Progress, Novembre 2003  « How to analyze a split-plot experiment » Kevin J. Potcner et Scott M. Kowalski, Quality Progress, Décembre 2004 

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