1 Journées MoMas 14/11/2007 : Une méthode de régularisation pour le comportement adoucissant des matériaux dilatants Une méthode de régularisation pour.

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1 1 Journées MoMas 14/11/2007 : Une méthode de régularisation pour le comportement adoucissant des matériaux dilatants Une méthode de régularisation pour le comportement adoucissant des matériaux dilatants R. Fernandes 1,2, C. Chavant 1, R. Chambon 2 1: Laboratoire de Mécanique des Structures Industrielles Durables (EDF/R&D) UMR CNRS-EDF 2832, 1 avenue du Général de Gaulle - 92140 Clamart, France e-mail: romeo.fernandes@edf.fr, web page: http://www.lamsid.cnrs-bellevue.fr 2: Laboratoire Sols Solides Structures (L3S) UMR CNRS 5521, Domaine Universitaire BP53, 38041 Grenoble, France web page: http://www.3s.hmg.inpg.fr

2 2 Journées MoMas 14/11/2007 : Une méthode de régularisation pour le comportement adoucissant des matériaux dilatants Rappel du benchmark Hydro-Mécanique MoMas Influence de la régularisation sur les problèmes couplés hydro-mécaniques Validation puis application du modèle au benchmark HM MoMas Une méthode de régularisation pour les comportements adoucissants des matériaux dilatants

3 3 Journées MoMas 14/11/2007 : Une méthode de régularisation pour le comportement adoucissant des matériaux dilatants 2D : X Y Rayon de cavité : 3 m Dimensions du domaine de calcul : 120*120 m 2 Perméabilité : 10 -12 m.s -1 Temps de simulation : - pour l’excavation : 17 jours - pour la consolidation : 10 ans Cavité cylindrique Simulation d’excavation sous condition couplée hydro-mécanique Conditions initiales : Etat de contraintes anisotrope (11.0MPa, -15.4MPa) Pressions d’eau (4.7 Mpa) Benchmark MoMas : Simulation d’une excavation souterraine

4 4 Journées MoMas 14/11/2007 : Une méthode de régularisation pour le comportement adoucissant des matériaux dilatants - Sur tous les cas des différences apparaissent entre les équipes - Les phénomènes de localisation apparaissent systématiquement : la position des fissures et leur épaisseur diffèrent selon le maillage ou les codes de calculs - Ecart sur les résultats de plus de 50% Bandes de déformations plastiques dépendantes de la finesse du maillage Objectif : Evaluer la fiabilité des simulations couplées hydro-mécanique avec loi de comportement adoucissante Résultats du benchmark hydro-mécanique MoMas

5 5 Journées MoMas 14/11/2007 : Une méthode de régularisation pour le comportement adoucissant des matériaux dilatants Définir un modèle régularisant avec les propriétés :  Le moins de données supplémentaires possible à fournir (facilité d’utilisation)  Le calcul doit être rapide  Le développement informatique doit être simple (robustesse du code) Dépendance des résultats à la discrétisation du maillage y compris pour les calculs couplés hydro-mécaniques Manque de fiabilité des résultats Nécessité de faire appel à des méthodes de régularisation Bilan et suite du benchmark Bilan Suite du benchmark Recherche de solutions bifurquées

6 6 Journées MoMas 14/11/2007 : Une méthode de régularisation pour le comportement adoucissant des matériaux dilatants Principe des modèles à gradients Une solution consiste à régulariser les variables internes ou le champ des déformations Principe des modèles à gradients : Introduction d’un terme supplémentaire dans l’énegie de la structure dépendant du gradient d’une variable qui localise. La minimisation de l’énergie de la structure va « empêcher » le terme additionnel d’augmenter trop fortement, et donc va régulariser le champ considéré. Le phénomène de localisation se traduit par la production de forts gradients de variables internes (endommagement) et de déformations où est le champ qui doit être régularisé Multiplicateurs de Lagrange pour assurer la contrainte mathématique Terme de pénalisation

7 7 Journées MoMas 14/11/2007 : Une méthode de régularisation pour le comportement adoucissant des matériaux dilatants Modèle du second gradient (Chambon and al, 2001) Formulation faible continue Formulation faible mixte + Modèle bien adapté aux géomatériaux + Peu de données supplémentaires nécessaire - Nombre important de degrés de liberté supplémentaire

8 8 Journées MoMas 14/11/2007 : Une méthode de régularisation pour le comportement adoucissant des matériaux dilatants Modèle du second gradient micro-dilatation : Régularisation par le gradient de déformation volumique Formulation faible mixte Formulation faible continue + Modèle adapté aux géomatériaux (propriété de dilatance) + Peu de données supplémentaires nécessaire + Faible nombre de degrés de liberté supplémentaire

9 9 Journées MoMas 14/11/2007 : Une méthode de régularisation pour le comportement adoucissant des matériaux dilatants Validation avec application à la mécanique des roches Les résultats sont indépendants du maillage Stabilisation des résultats avec l’ajout du terme de pénalisation A convergence, les résultats sont indépendants du coefficient de pénalisation Discrétisations élément fini testées : La modélisation doit vérifier : Sans LagrangeLagrange P1Lagrange P0Lagrange P2

10 10 Journées MoMas 14/11/2007 : Une méthode de régularisation pour le comportement adoucissant des matériaux dilatants Simulation mécanique d’un biaxial en compression 4 discrétisations spatiales 7 coefficients de pénalisation Création d’une hétérogénéité dans les caractéristiques matériaux : réduction de 5% de la cohésion 5 maillages

11 11 Journées MoMas 14/11/2007 : Une méthode de régularisation pour le comportement adoucissant des matériaux dilatants Biaxial : Etude de l’influence de l’interpolation élément fini ( maillage, pas de temps, coefficient de pénalisation identiques ) Indépendance des résultats par rapport à l’interpolation EF Etat plastique instantané : visualisation des résultats aux points de Gauss

12 12 Journées MoMas 14/11/2007 : Une méthode de régularisation pour le comportement adoucissant des matériaux dilatants Biaxial : Etude de l’nfluence du maillage ( modélisation, pas de temps, coefficient de pénalisation identiques ) Maillage réglé 20.499 dofs Maillage réglé 56.159 dofs Maillage réglé 109.419 dofs Maillage non structuré 20.372 dofs Indépendance des résultats par rapport au maillage Etat plastique instantané : visualisation des résultats aux points de Gauss

13 13 Journées MoMas 14/11/2007 : Une méthode de régularisation pour le comportement adoucissant des matériaux dilatants Biaxial : Similitudes des réponses globales et consommation CPU Déplacement (m) Force externe (MN) Déplacement (m) Force externe (MN) Indépendance au maillage Indépendance au pas de temps Comparaison de la consommation en temps CPU pour la simulation complète Réponse globale identique pour toutes les modélisations EF Rapport 3 entre le modèle second gradient et le modèle micro- dilatation avec une interpolation Nombre d’éléments 0,00E+00 2,00E+03 4,00E+03 6,00E+03 8,00E+03 1,00E+04 1,20E+04 1,40E+04 1,60E+04 1,80E+04 0,00E+005,00E+031,00E+041,50E+042,00E+04 P2-P1-P0 (ddls) P2-P1-P1 P2-P1-P2 P2-P1-  2nd Gradient (ddls) (16652) (101612) (24280) (56159) (198252) (109419) (9269) (20499) CPU (s)

14 14 Journées MoMas 14/11/2007 : Une méthode de régularisation pour le comportement adoucissant des matériaux dilatants Biaxial : Amélioration de la formulation mixte par ajout d’un terme de pénalisation 1E-8 1E-6 1E-4 1E-2 1E+0 1E-11E+01E+11E+21E+31E+41E+5 P2-P1-P0 P2-P1-P1 P2-P1-P2 P2-P1-  1E-9 1E-7 1E-5 1E-3 1E-1 1E+01E+11E+21E+31E+41E+5 1600 elts 3600 elts 10000 elts 19600 elts 1E+0 1E+11E+01E-1 1E-6 1E-4 1E-2 1E+2 1E+31E+41E+5 1600 elts 3600 elts 10000 elts 19600 elts Maillage fixé (3600 éléments), Interpolations EF différentes Interpolation EF fixée Maillages différents Diminution de l’erreur d’approximationDiminution de la contribution du terme de pénalisation dans l’énergie de la structure 1E-5 1E-3 1E-1 1E+1 1E+3 1E-11E+01E+11E+21E+31E+41E+5 P2-P1-P0 P2-P1-P1 P2-P1-P2 P2-P1- 

15 15 Journées MoMas 14/11/2007 : Une méthode de régularisation pour le comportement adoucissant des matériaux dilatants Bilan du Biaxial Les résultats sont indépendants du maillage quelle que soit l’interpolation élément fini L’ajout d’un terme de pénalisation dans l’énergie de la structure permet d’améliorer numériquement la convergence du calcul et les résultats sont indépendants du coefficient choisi Les formulations et sont les moins consommatrices en temps CPU (rapport 3 par rapport au modèle second gradient) La convergence numérique est bien meilleure avec la formulation Nous considérons donc que le modèle de régularisantion second gradient micro-dilatation avec une interpolation élément fini mixte et un terme de pénalisation est un modèle qui remplit le cahier des charges

16 16 Journées MoMas 14/11/2007 : Une méthode de régularisation pour le comportement adoucissant des matériaux dilatants Porosité Densité du fluide Perméabilité Pressure Contraintes effectives (Terzaghi) Déformations plastiques cumulées : visualisation aux points de Gauss après une simulation de 3 mois de consolidation Taille de maille caractéristique 0,05 m 114.985 Dofs Taille de maille caractéristique 0,03 m 184.909 Dofs Taille de maille Caractéristique 0,015 m 472.606 Dofs Interpolation élément fini Régularisation de la partie mécanique du problème couplé hydro-mécanique Simulation d’une excavation souterraine : Application d’un modèle régularisant au benchmark hydro-mécanique MoMas

17 17 Journées MoMas 14/11/2007 : Une méthode de régularisation pour le comportement adoucissant des matériaux dilatants Taille de maille caractéristique 0,05 m Simulation d’une excavation souterraine de type MoMas : similitude des résultats après 3 ans de consolidation Déformations plastiques cumulées : visualisation aux points de Gauss après une simulation de 3 ans de consolidation Taille de maille caractéristique 0,03 m Taille de maille caractéristique 0,015 m Comparaison des temps de calculs pour la simulation de l’étude de l’excavation souterraine ModèleLocal (critère de convergence 10 -6 ) Micro-dilatation (critère de convergence 10 -12 ) Maillage (taille de maille) 0,05m0,015m0,05m0,015m Nombre de ddls86.540355.056114.985472.606 CPU (s) Consolidation (3 ans)16,5 jours34 jours (jusqu’à 2,5 ans) 3,25 jours21,75 jours (10 ans)XX8,5 jours49 jours Cas local : difficultés de cv de l’algorithme de Newton Cas régularisé : bonne convergence du calcul qui devient réalisable

18 18 Journées MoMas 14/11/2007 : Une méthode de régularisation pour le comportement adoucissant des matériaux dilatants Nouvelle simulation mécanique d’un biaxial en compression : recherche de solutions bifurquées Simulation sans introduction d’hétérogénéité dans le cas-test Calcul réalisé avec le modèle régularisant micro-dilatation sans multiplicateur de Lagrange mais avec un terme de pénalisation (symétrie de l’opérateur tangent du modèle) La solution obtenue pour ce calcul est homogène On propose de chercher d’autres solutions (bifurquées) à partir d’un calcul aux valeurs propres

19 19 Journées MoMas 14/11/2007 : Une méthode de régularisation pour le comportement adoucissant des matériaux dilatants Recherche de solutions bifurquées : Les premiers résultats Etape 1 : On cherche tels que où désigne l’opérateur tangent en vitesse Etape 2 : Lorsque change de signe, on ré-initialise le dernier pas de temps convergé par où est un paramètre à déterminer On capte ainsi 2 nouvelles solutions, en plus de la solution homogène visualisation aux points de Gauss de l’état plastique instantané et des déformations plastiques cumulées

20 20 Journées MoMas 14/11/2007 : Une méthode de régularisation pour le comportement adoucissant des matériaux dilatants 2 méthodes pour capter une bande de cisaillement : introduction d’un défaut numérique avec pilotage bifurcation de solutions par la méthode des vecteurs propres Déplacement (m) Force externe (MN) Déplacement (m) Force externe (MN) Les courbes forces/déplacement obtenues par les 2 méthodes se rejoignent Recherche de solutions bifurquées : Les premiers résultats

21 21 Journées MoMas 14/11/2007 : Une méthode de régularisation pour le comportement adoucissant des matériaux dilatants Conclusions et Perspectives Comment déterminer l’épaisseur des bandes de localisation en fonction du paramètre matériau ? … approfondir la méthode de recherche de solutions bifurquées Perspectives Il est essentiel de disposer de méthodes de régularisation en mécanique des roches y compris dans le cadre des problèmes couplés hydro-mécanique Le modèle second gradient micro-dilatation est une méthode performante pour une application industrielle Conclusions