Une façon différente de travailler les mathématiques: La résolution de problème ICFP Jacques SEVIN - année 2009 - 2010.

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1 Une façon différente de travailler les mathématiques: La résolution de problème ICFP Jacques SEVIN - année 2009 - 2010

2 Des constats: - Les élèves sont démunis face à des problèmes pour lesquels, sans avoir de procédure experte, ils disposent néanmoins de ressources pour s’investir dans des démarches personnelles de résolution. - Les enseignants donnent des problèmes qui visent la construction de connaissances (les situations problèmes) et des problèmes qui visent le réinvestissement de ces connaissances.  par contre, peu de séances se préoccupent de l’attitude de recherche. ICFP Jacques SEVIN - année 2009 - 2010

3 En maternelle:  Dés le début, les nombres sont utilisés dans des situations où ils ont un sens et constituent le moyen le plus efficace pour parvenir au but: jeux, activités de la classe, problèmes posés par l’enseignant de comparaison, d’augmentation, de réunion, de distribution, de partage.  A la fin de l’école maternelle, les problèmes constituent une première entrée dans l’univers du calcul mais c’est le CP qui installera le symbolisme (+, -, =) et les techniques. ICFP Jacques SEVIN - année 2009 - 2010

4 En CP, CE1:  La connaissance des nombres et le calcul constituent les objectifs prioritaires.  La résolution de problèmes fait l’objet d’un apprentissage progressif et contribue à construire le sens des opérations. L’acquisition des mécanismes en mathématiques est toujours associée à une intelligence de leur signification. ICFP Jacques SEVIN - année 2009 - 2010

5 En CE2, CM1, CM2:  La pratique des mathématiques développe le goût de la recherche et du raisonnement, l’imagination et les capacités d’abstraction, la rigueur et la précision.  La résolution de problèmes liés à la vie courante permet d’approfondir la connaissance des nombres étudiés, de renforcer la maîtrise du sens et de la pratique des opérations, de développer la rigueur et le goût du raisonnement.  Les problèmes de reproduction ou de construction de configurations géométriques diverses mobilisent la connaissance des figures usuelles. Ils sont l’occasion d’utiliser à bon escient le vocabulaire spécifique et les démarches de mesurage et de tracé.  La résolution de problèmes concrets contribue à consolider les connaissances et capacités relatives aux grandeurs et à leur mesure, et à leur donner sens. ICFP Jacques SEVIN - année 2009 - 2010

6  Les situations problèmes  Les problèmes qui visent le réinvestissement, l’entraînement  Les problèmes pour chercher  Les problèmes pour raisonner ICFP Jacques SEVIN - année 2009 - 2010

7 Les types de problèmes Les situations problèmes Ce sont des problèmes qui visent la construction de connaissances. Les problèmes qui visent l’entraînement, le réinvestissement des connaissances Les problèmes pour chercher Ce sont des problèmes qui ont pour but de développer un comportement de recherche Les problèmes pour raisonner. Il s’agit de traiter l’information par déductions successives et nécessaires. Ces deux types de problème sont pris en compte par l’enseignant, les deux autres très peu souvent. ICFP Jacques SEVIN - année 2009 - 2010

8 " C’est un vrai problème, nouveau, jamais fait, jamais rencontré, que l’élève ne peut résoudre complètement en mobilisant un système de réponses déjà constitué (par opposition au problème de réinvestissement, qui est l’occasion de montrer ce qu’on a appris) ! ICFP Jacques SEVIN - année 2009 - 2010

9 C’est une situation dans laquelle l’élève ne peut aboutir avec les outils dont il dispose et/ou que des élèves différents traitent avec des outils différents, qui les conduisent à produire des réponses différentes et à douter ainsi de l’adéquation des outils utilisés. Le problème introduit un décalage entre ce que sait l’élève à un moment donné (règles, théorèmes, définitions, procédures, représentations...) et les exigences d’une tâche nouvelle :  modifier ses représentations de la tâche et de sa résolution,  rechercher des procédures nouvelles => apprendre. ICFP Jacques SEVIN - année 2009 - 2010

10 Pierre Gillet: "Il y a problème chaque fois qu'un individu se trouve dans une situation où il est amené à construire une représentation d'une tâche à accomplir pour laquelle il lui manque des procédures de résolution" Problèmes obstacles: Remise en question d'erreurs commises Dépassement de l'obstacle par "l'élève" Elaboration de procédure Explicitation de processus Remise en cause de conceptions Réorganisation de connaissances Passage de l'obstacle ICFP Jacques SEVIN - année 2009 - 2010

11  L’objectif principal de formation se trouve dans l’obstacle à franchir et non dans la tâche à réaliser.  Il s’agit alors de proposer aux enfants de poursuivre une tâche qui ne peut être menée à bien que si l’on surmonte un obstacle.  Celui-ci constitue le véritable objectif d’acquisition de l’enseignant. ICFP Jacques SEVIN - année 2009 - 2010

12  La situation-problème doit être construite par l’enseignant à partir de l’objectif d’acquisition qu’il s’est fixé.  Surmonter l’obstacle pour parvenir à accomplir la tâche n’a réellement d’intérêt que si cette opération lève aussi un obstacle dans l’acquisition de savoirs nouveaux. Il faut donc placer précisément cet obstacle au cœur de la situation-problème pour permettre son dépassement.  Pas trop difficile, mais pas trop facile non plus! ICFP Jacques SEVIN - année 2009 - 2010

13 1 - " les connaissances de l’élève doivent être insuffisantes ou peu économiques pour résoudre le problème... 2 - Les élèves doivent cependant pouvoir s’engager facilement dans la résolution du problème en mobilisant leur(s) connaissance(s) actuelle(s). Ils doivent également pouvoir envisager ce qu’est une réponse possible du problème... 3 - La situation-problème doit permettre à l’enfant de décider si la solution trouvée est convenable... ICFP Jacques SEVIN - année 2009 - 2010

14 4 - La connaissance que l’on désire voir acquérir par les élèves doit être l’outil le plus adapté pour la résolution du problème à leur niveau... 5 - En mathématiques, le problème doit pouvoir se formuler dans plusieurs cadres entre lesquels on peut établir des correspondances ( par exemples :cadre physique, cadre géométrique, cadre numérique,...) " ICFP Jacques SEVIN - année 2009 - 2010

15 Trois frères ont hérité d’un champ carré qu’ils veulent se partager comme indiqué sur la figure parce qu’un point d’eau se trouve en A. Où placer le point M sur le segment [BC] et le point N sur le segment [CD] pour que les superficies des trois parcelles soient égales ? Comparer les périmètres des trois parcelles obtenues. LA JOCONDE Dans la même position depuis 1507, la Joconde a des crampes. Elle souhaiterait étirer ses bras. Les dimensions du tableau, 77cm de haut, 53 cm de large, ne le lui permettent pas. En gardant les mêmes proportions pour le tableau, quelle doit être sa surface pour que la Joconde puisse étendre ses bras horizontalement sachant qu’elle a une envergure de 1,80 m ? ICFP Jacques SEVIN - année 2009 - 2010

16 Construction Institutionnalisation Vérification L'erreur est indispensable dans un processus de communication Sanction Statut FORMATIF de l'erreur Statut NORMATIF de l'erreur ICFP Jacques SEVIN - année 2009 - 2010

17 Par pitié… Faites que mon professeur ne me fasse pas chercher: les questions intermédiaires, les données inutiles, l’énoncé d’un problème, … Par pitié… Faites que mon professeur ne me fasse pas chercher: les questions intermédiaires, les données inutiles, l’énoncé d’un problème, … Faites que je cherche de véritables problèmes qui ont du sens, qui m’interpellent, qui m’obligent à chercher, à chercher, à chercher Faites que je cherche de véritables problèmes qui ont du sens, qui m’interpellent, qui m’obligent à chercher, à chercher, à chercher Merci… ICFP Jacques SEVIN - année 2009 - 2010

18 C’est alors l’activité même de résolution de problèmes qui est privilégiée dans un but de développer chez les élèves un comportement de recherche et des compétences d’ordre méthodologique: - Émettre des hypothèses et les tester - Faire et gérer des essais successifs - Élaborer une solution originale et en éprouver la validité - Argumenter Ces situations peuvent enrichir leurs représentations des mathématiques, développer leur désir de chercher, leurs capacités de résolutions et la confiance qu’ils peuvent avoir dans leurs propres moyens. Ce sont des problèmes centrés sur le développement des capacités à chercher. ICFP Jacques SEVIN - année 2009 - 2010

19  La pratique du « problème pour chercher » développe la capacité de l’élève à faire face à des situations inédites. Elle doit l’aider à accepter le défi intellectuel « gratuit »  L’élève prend conscience de la puissance de ses connaissances, même si elles sont modestes. Il existe en effet toujours plusieurs moyens d’élaborer une réponse, faisant appel à des registres de connaissances différents. ICFP Jacques SEVIN - année 2009 - 2010

20  L’activité de l’élève valorise des comportements et des méthodes essentiels pour la construction des savoirs:  prendre des initiatives (tenter, faire des essais, …),  être critique vis-à-vis de son travail (contrôler, analyser ses erreurs, …),  s’organiser, être méthodique (réduire le hasard, le nombre de cas à envisager, ),  communiquer (par oral, dans le groupe, face à la classe) pour rendre compte de sa démarche.  Les phases d’échanges et de débats développent les capacités argumentatives de l’élève. Les débats conduisent les élèves à valider ou réfuter une proposition. Ils doivent convaincre les autres. Le maître doit alors gérer le débat.  Ce travail contribue à l’éducation civique des élèves: on doit s’entraider, les idées proposées par les uns même erronées alimentent celles des autres. Les moments de débats offrent également l’occasion de travailler l’écoute, la prise en compte et le respect de l’autre. ICFP Jacques SEVIN - année 2009 - 2010

21 Une façon différente d’aborder les mathématiques: Par les compétences (socle commun) ICFP Jacques SEVIN - année 2009 - 2010

22 Une compétence est une capacité d’action efficace face à une famille de situations, qu’on arrive à maîtriser parce qu’on dispose : à la fois d’une attitude orientant l’action, des connaissances nécessaires, et de la capacité de les mobiliser à bon escient, en temps opportun, pour identifier et résoudre de vrais problèmes. Une compétence est donc liée obligatoirement à la notion de situation problème.  On ne peut pas travailler par compétences si l’on ne met pas les élèves en face de situations problèmes devant lesquels ils doivent adopter une attitude adaptée ICFP Jacques SEVIN - année 2009 - 2010

23  Savoir effectuer une multiplication de deux nombres décimaux est une connaissance  Savoir répondre au problème suivant : « J’ai 6 kg de pommes à 1,2 € le kg. Que dois-je mettre en œuvre comme opération pour résoudre ce problème ? », est une capacité  Résoudre le problème : Dans un kg de pommes, il y a 5 pommes environ. Quel est le prix de 7 kg de pommes à 1,2 € le kg ?», c’est mettre en œuvre une compétence ICFP Jacques SEVIN - année 2009 - 2010

24 Il faut donc distinguer la compétence, la capacité et la connaissance qui y concourent : Compétence Connaissance Capacité Attitude L’outil Le geste La situation ICFP Jacques SEVIN - année 2009 - 2010

25  La connaissance :  le code de la route et les règles de conduite  La capacité :  être capable de conduire un véhicule  L’attitude :  le respect citoyen de la bonne conduite ICFP Jacques SEVIN - année 2009 - 2010

26  Lucie se rend à la librairie et achète un magazine à 4,85 €, un journal à 1,20 € et des bonbons à 65 centimes. Elle paye avec un billet de 10 €. Combien va lui rendre le libraire ? Qu’elle est la connaissance? La capacité? L’attitude? Peut-on évaluer une compétence? ICFP Jacques SEVIN - année 2009 - 2010

27  Pour une compétence :  Soit je sais ce qu’il faut faire ACQUIS  Soit je ne sais pas ou je me trompe NON ACQUIS  Soit je suis en cours d’apprentissage EN COURS D’ACQUISITION ICFP Jacques SEVIN - année 2009 - 2010

28  Pour une capacité ou une connaissance : Elle peut effectivement être acquise, en cours d’acquisition, non acquise ou perdue.  Si je vous dis « 1,5 kg de pommes valent 4,5 €. Que vaut un kg de pommes ? », Si vous savez quelle opération, vous devez utiliser mais que vous ne savez plus effectuer le produit de deux décimaux, cette capacité-là, vous ne l’avez pas perdue. Ce qui signifie que votre compétence est toujours acquise, puisque à l’aide d’une machine à calculer, vous pourriez par exemple résoudre le problème. ICFP Jacques SEVIN - année 2009 - 2010

29  Une compétence est maîtrisée ou ne l'est pas ; elle l'est quand l'élève réussit de façon répétée un certain nombre d'évaluations  L'acquisition d'une compétence requiert la contribution de plusieurs disciplines, et réciproquement, une discipline contribue à l'acquisition de plusieurs compétences ICFP Jacques SEVIN - année 2009 - 2010

30  On évalue une compétence si l’on a formé à cette compétence  Une compétence s’acquiert en continu et progressivement ou en spirale  L’évaluation par compétences suppose la présence de critères d’évaluation et d’indicateurs d’évaluation et que l’on admette le fait qu’une compétence peut être acquise même si les items ne sont pas réalisés dans leur totalité (on peut utiliser un pourcentage de réussite) ICFP Jacques SEVIN - année 2009 - 2010

31  Exemple : Lucie se rend à la librairie et achète un magazine à 4,85 €, un journal à 1,20 € et des bonbons à 65 centimes. Elle paye avec un billet de 10 €. Combien va lui rendre le libraire ?  Compétence (Niveau Expert): Je sais mobiliser les bonnes opérations (additions et soustractions) pour résoudre un problème : /2 Phrase justifiant la somme (1) Phrase justifiant ce qui est rendu (1) Rédaction de la réponsePrésentation du résultat /7Tout bon (7) Calcul bien posé mais faux(5) Erreur de position (5) Calcul mal posé mais pertinent (3) Opération posée Calcul effectué Traitement des données /1Somme et différence écrites, en ligne ou en colonne Choix d’additions et de soustractions Compréhension du problème Critères de réussiteIndicateurs d’évaluation :Critères d’évaluation : ICFP Jacques SEVIN - année 2009 - 2010

32  Un dispositif de formation:  Donner du sens à la formation, motiver: Entrée par une activité complexe (situation problème ou autre) Entrée par les compétences Démarche spiralaire  Évaluer les compétences acquises Privilégier l’évaluation formative Différencier la formation ICFP Jacques SEVIN - année 2009 - 2010