LA NUMÉRATION DÉCIMALE AU CYCLE 2 Stage RRS Pauillac le 13 avril 2012 Sandrine Sarnac Sanfins CPC EPS Lesparre.

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1 LA NUMÉRATION DÉCIMALE AU CYCLE 2 Stage RRS Pauillac le 13 avril 2012 Sandrine Sarnac Sanfins CPC EPS Lesparre

2 Programmes 2008 L’apprentissage des mathématiques développe l’imagination, la rigueur et la précision ainsi que le goût du raisonnement. La connaissance des nombres et le calcul constituent les objectifs prioritaires du CP et du CE1. La résolution de problèmes fait l’objet d’un apprentissage progressif et contribue à construire le sens des opérations. Conjointement une pratique régulière du calcul mental est indispensable. De premiers automatismes s’installent. L’acquisition des mécanismes en mathématiques est toujours associée a une intelligence de leur signification. Nombres et calcul Les élèves apprennent la numération décimale inférieure à 1 000. Ils dénombrent des collections, connaissent la suite des nombres, comparent et rangent. Ils mémorisent et utilisent les tables d’addition et de multiplication (par 2, 3, 4 et 5), ils apprennent les techniques opératoires de l’addition et de la soustraction, celle de la multiplication et apprennent à résoudre des problèmes faisant intervenir ces opérations. Les problèmes de groupements et de partage permettent une première approche de la division pour des nombres inferieurs a 100. L’entrainement quotidien au calcul mental permet une connaissance plus approfondie des nombres et une familiarisation avec leurs propriété.

3 Programmes 2008 CPCE1 Nombres et calcul -Connaitre (savoir écrire et nommer) les nombres entiers naturels inferieurs a 100. -Produire et reconnaitre les décompositions additives des nombres inferieurs a 20 (“table d’addition”). -Comparer, ranger, encadrer ces nombres. -Ecrire une suite de nombres dans l’ordre croissant ou décroissant. -Connaitre les doubles des nombres inférieurs a 10 et les moitiés des nombres pairs inférieurs a 20. -Connaitre la table de multiplication par 2. -Calculer mentalement des sommes et des différences. -Calculer en ligne des sommes, des différences, des opérations a trous. -Connaitre et utiliser les techniques opératoires de l’addition et commencer à utiliser celles de la soustraction (sur les nombres inférieurs à 100) Nombres et calcul -Connaitre (savoir écrire et nommer) les nombres entiers naturels inférieurs a 1 000. -Repérer et placer ces nombres sur une droite graduée, les comparer, les ranger, les encadrer. -Ecrire ou dire des suites de nombres de 10 en 10, de 100 en 100, etc. -Connaitre les doubles et moitiés de nombres d’usage courant. -Mémoriser les tables de multiplication par 2, 3, 4 et 5. -Connaitre et utiliser des procédures de calcul mental pour calculer des sommes, des différences et des produits. -Calculer en ligne des suites d’opérations. -Connaitre et utiliser les techniques opératoires de l’addition et de la soustraction (sur les nombres inférieurs a 1 000). -Connaitre une technique opératoire de la multiplication et l’utiliser pour effectuer des multiplications par un nombre à un chiffre

4 Les principes essentiels de la numération décimale La numération décimale est la désignation des nombres en base 10. La numération orale utilise un certain nombre de mots et un ensemble de règles encore plus complexes qui permet de les combiner pour former de nouvelles désignations. La numération écrite utilise 10 signes (de 0 à 9), et un ensemble de règles qui permettent de les agencer pour écrire des nombres. Le système utilise au départ des mots spécifiques pour les premières puissances de base 10.Mais quand on passe aux mille, aux millions, il semble utiliser la base 1000.

5 Les principes essentiels de la numération décimale Des irrégularités dans notre système décimal écrit: *les mots-nombres de 11 à 16 *le nom des dizaines: les trois premiers groupements successifs sont nommés 10, 100, 1000 pour bien comprendre la notion d’ordre et éviter les confusions. Par contre les dizaines ont des noms spécifiques : vingt, trente… On dira quatre mille cinq cents mais pas cinq dix (on dira cinquante).

6 ANALYSE DU SYSTÈME ECRIT Notre système de numération écrite est un système positionnel de base 10 avec un 0. Dans le système de base 10, les groupements sont réguliers, par paquets de10 (groupement de premier ordre) puis par paquets de paquets de 10 (groupement de deuxième ordre). Le système est positionnel: la place du chiffre dans l’écriture du nombre lui donne une signification différente. (12/21). Le système possède un 0: il indique l’absence de groupement d’un certain ordre. D’un point de vue algorithmique, il s’agit de mettre en évidence deux éléments: *le procédé de fabrication de la suite des écritures chiffrées: pour trouver le successeur d’un nombre, on prend le successeur du chiffre de droite *la régularité de la suite des écritures chiffrées: en base 10, pour une écriture à deux chiffres, on obtient à nouveau le même chiffre de droite selon une période de 10 nombres.

7 ANALYSE DU SYSTÈME ECRIT D’un point de vue sémantique, il s’agit de donner du sens aux chiffres en fonction de leur position dans l’écriture du nombre. Cette compétence est fondamentale pour l’apprentissage et la maitrise des différentes formes de calcul. Pour développer cette compétence, les enseignants mettront en place deux types d’activités: *des activités de dénombrement: groupements. Une des premières fonctions du nombre est de désigner des quantités. Par certaines situations, on amènera les élèves à percevoir la nécessité de faire des groupements et de dénombrer des paquets de … Lors des phases de manipulation l’enseignant sera vigilant au vocabulaire utilisé et veillera à le faire manipuler et mémoriser aux élèves. *des activités de recherche de la valeur : échange La difficulté réside dans la distinction entre valeur et quantité. (un objet de valeur 10 peut valoir 10 objets de valeur 1) Pour différencier ces deux éléments, on pourra mettre en place des situations de recherche de la valeur en mettant en jeu des échanges ( activités fréquentes)

8 Type de matériels à utiliser Régularité de la suite des écritures chiffrées Activités de dénombrement: groupements Activités de types « échanges » 1/bandes numériques en ligne ou en colonnes: perception de l’algorithme 2/les tableaux rectangulaires de 10 colonnes, les spirales, les rouleaux en spirales, (période 10)=perception des régularités 3/ les calculettes 4/les compteurs 1/des bâtonnets par 10 ou des plaques par 100 2/des cubes emboitables sous formes de barres puis de plaques puis de cubes 1/ des plaques de même aspect avec les écritures 1, 10, 100 2/ abaques triangulaires 3/ boulier chinois

9 Des passages incontournables Il existe 5 situations de référence pour aborder les notions liées à la numération: 1)Les situations d’échange pour travailler l’écriture chiffrée du nombre 2)Les situations de groupement 3)Les situations permettant de repenser les groupements par rapport aux échanges 4)Les situations abordant le point de vue algorithmique (dans les deux systèmes de numération) 5)Les situations d’exploration des règles de la numération orale et de mise en relation avec le numération de position (chiffrée)

10 1)Les situations d’échange pour travailler l’écriture chiffrée du nombre Ces situations permettent d’explorer les règles d’échange qui justifient le système de numération de position: un même chiffre, selon sa position, désigne des quantités différentes ou des quantités identiques correspondant à des ordres différents. Ce sont des situations du type « le banquier ». L’évolution se fait grâce à l’évolution des règles d’échange: 5 contre 5 puis 10 contre 10. Ces situations préparent et enrichissent toutes les activités sur la monnaie.

11 2)Les situations de groupement Pour des élèves de CP, il s’agit de mettre au point des stratégies pour dénombrer rapidement et sans passer par le comptage 1 à 1 des éléments, des grandes collections d’objets (<100 ). Ils sont alors amenés à faire des paquets de 10 puis au CE1 des paquets de paquets. Ces situations permettront de déterminer le cardinal d’un ensemble avant de passer à une écriture additive. C’est la « situation des fourmillions » chez Ermel ou « des bûchettes »

12 3)Les situations permettant de repenser les groupements par rapport aux échanges Il s’agit d’amener les élèves à lire dans l’écriture d’un nombre les informations liées aux échanges et aux groupements qui ont été effectués. La situation de référence est « le problème des timbres »le problème des timbres »

13 4)Les situations abordant le point de vue algorithmique (dans les deux systèmes de numération) Pour toutes ces activités, on peut utiliser du matériel varié tel que l’abaque, les compteurs, les spirales des nombres, les tableaux de numération, les bandes numériques La situation de référence peut être celle « du château » d’Ermel.du château

14 5)Les situations d’exploration des règles de la numération orale et de mise en relation avec le numération de position (chiffrée) Il s’agit d’amener les élèves à comprendre l’existence des deux systèmes de numération. *le système écrit *le système oral L’élève de Cp doit apprendre en même temps les deux systèmes et acquérir des automatismes (voir8-0 et dire 80) Une des activités proposées par les enseignants est la dictée de nombres. Or, cette activité présente un inconvénient, qui du coup, devient un obstacle d’apprentissage pour les élèves: l’élève doit apprendre et explorer en même temps qu’il doit les restituer les règles qui permettent de traduire dans l’un des systèmes l’écriture d’un nombre écrit dans l’autre système.

15 Pour palier à cette difficulté, on peut envisager d’autres types d’activités: *Construire un dictionnaire de nombres: chaque page est consacrée à un nombre, pour lequel on proposera différentes représentations. Au CE1, ce dictionnaire pourra devenir collectif. Servant de référent à la classe entière, l’enseignant se contentera d’étudier certains mots comme cent, mille. *Comparer deux compteurs: cette activité permet de repérer quelle numération l’élève maitrise le mieux. On propose aux élèves deux séries de cartons qu’ils doivent reconstituer par paires (écriture chiffrée / écriture en lettres) *Simuler un compteur manuel permettant d’écrire les nombres avec des mots: un nombre N est écrit avec des mots (sur des cartes).Il s’agit pour l’élève de donner les cartes nécessaires à l’écriture d’un nombre, à son suivant si on ajoute, … L’enseignant fait repérer les régularités et attire l’attention sur les variations de la longueur des écritures. *Combien de chiffres? Combien de mots?: un nombre est écrit en chiffre au tableau, les élèves doivent écrire combien de mots il faudra pour l’écrire en lettres (et inversement). On insistera sur l’absence de lien entre la longueur du mot et l’ordre de grandeur du nombre. *Ecrire avec des chiffres ce que l’on entend: l’enseignant annonce un nombre, les élèves écrivent les chiffres qu’ils entendent puis retrouvent le nombre grâce à un arbre à calcul.

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