Édition 2013 Espace Culturel Treulon Bruges. Drôles d’escaliers Drôles MATH EN 3B 2013 2013 MATH EN 3B 2013 2013.

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1 Édition 2013 Espace Culturel Treulon Bruges

2 Drôles d’escaliers Drôles MATH EN 3B 2013 2013 MATH EN 3B 2013 2013

3 Il faut une brique pour faire un escalier d’une marche : Il faut 3 briques pour faire un escalier de 2 marches : Il faut 6 briques pour faire un escalier de 3 marches : Combien faudra-t-il de briques pour un escalier à 21, 40, 54, 62, 112 et 6000 marches? L'énigme à résoudre…

4 On a commencé par dessiner plein d’escaliers...

5 Pour compter les carrés des petits escaliers c’était facile...... mais pour les grands escaliers, personne n'était d’accord car c’était trop difficile de les dessiner et d’en compter les marches…

6 pour un escalier de 3 marches on compte: 1 carré  + 2 carrés  + 3 carrés  soit au total 6 carrés pour un escalier de 4 marches on compte: 1 carré  + 2 carrés  + 3 carrés  + 4 carrés  soit au total 10 carrés

7 Pour nous aider, on a construit des tableaux... Pour 60 marches, on est partis de 820 carrés (40 marches) et on a ajouté 41 + 42 + … + jusqu’à 60 et on a trouvé… 1830 carrés. Donc pour 40 marches on a fait 1 + 2 + 3 + … + 40 = 820 carrés

8 Pour 112 marches, on est donc parti de 1830 carrés et on a ajouté + 61 + 62 + 63 + … jusqu’à + 112

9 et on a trouvé… 6328 carrés.

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11 Exemple pour un escalier de 6 marches 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = ( 1+6) + (2+5) + (3+4) = 3 x 7 = 21

12 Kilian a remarqu é que dans ces groupements par 2 pour des nombres pairs de marches, il ne reste pas de nombres seuls au milieu alors que pour les nombres impairs il en reste un. 6 marches (pair) 7 marches (impair)

13 Enfin Mohamed a remarqué qu’il pouvait prévoir tous les carrés pour les nombres pairs de marches. Il faut prendre le nombre de marches, lui rajouter 1 et le multiplier par sa moitié.

14 (m + 1) x (m : 2) = c m = nombres de marche c = nombres de carrés Enfin Mohamed a remarqué qu’il pouvait prévoir tous les carrés pour les nombres pairs de marches. Il faut prendre le nombre de marches, lui rajouter 1 et le multiplier par sa moitié. Donc, il avait trouvé une formule :

15 A propos de sa formule, Mohamed a expliqué que (m + 1) est la somme des couples des extrémités (m : 2) est le nombre de couples (m + 1) x (m : 2) = c m = nombres de marche c = nombres de carrés

16 A propos de sa formule, Mohamed a expliqué que (m + 1) est la somme des couples des extrémités (m : 2) est le nombre de couples et avec tout ça, voici les résultats : MarchesCarrés 21 231 40 820 54 1 485 62 1 953 112 6 328 600018 003 000 (m + 1) x (m : 2) = c m = nombres de marche c = nombres de carrés

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18 Maena a trouvé que l’on pouvait imbriquer des escaliers de même type pour en faire des rectangles et là on a vu que leurs largeurs correspondaient au nombre de marches (10 marches = 10 carrés) et leurs longueurs au nombre de marches + 1. Pour trouver le nombre de carrés d’un escalier double (rectangle), il faut multiplier sa longueur par sa largeur. Pour trouver le nombre de carrés d’un escalier simple il suffit de diviser le tout par 2 pour n’avoir qu’un seul escalier.

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21 Exemple avec deux escaliers identiques de 7 marches Maena a trouvé que l’on pouvait les imbriquer. Pour obtenir non pas un carré mais un rectangle de 7 cases sur 8 cases

22 2 escaliers identiques de 7 marches permettent d'obtenir un quadrillage de 7 sur 8 donc pour un escalier de 7 marches, on utilise la formule: 7 x 8 = 28 carrés 2

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25 Si l'on veut calculer 1 + 2 + 3 + 4 + 5...... + N (N étant n'importe quel nombre), il nous faut appliquer :

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27 A la question : « Est-ce que je peux utiliser toutes les briques pour fabriquer un escalier ? », nous avons procédé par tâtonnement en utilisant la calculette et la formule : M x (M+1) 2 Voici nos résultats: Avec 55 briques on obtient un escalier de 10 marches 10 marches  55 briques Avec 110 briques on ne peut pas obtenir d’escalier 14 marches  105 briques 15 marches  120 briques Avec 7 875 briques on obtient un escalier de 125 marches 125 marches  7 875 briques Avec 27 970 briques on ne peut pas obtenir d’escalier 236 marches  27 966 briques 237 marches  28 203 briques

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32 Pour les bougies de Charlotte, nous avions remarqué que l ’ on doit utiliser la même formule que celle des marches d ’ escaliers car on doit calculer :

33 Pour 150 ans 1 bougie + 2 bougies + 3 bougies + ……..+ 150 bougies à 1an à 2ans à 3ans à 150 ans on trouve donc 11 325 bougies à 150 ans 150 x 151 = 11 325 2

34 Pour 200 ans 1 bougie + 2 bougies + 3 bougies + ……..+ 200 bougies à 1an à 2ans à 3ans à 200 ans on trouve donc 20 100 bougies à 200 ans 200 x 201 = 20 100 2

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36 Au début nous n’étions pas d’accord pour trouver le nombre de poignées de mains entre 20 personnes jusqu’au moment où on s’est mis en ligne et on s’est serré la main entre nous.

37 ça faisait 19 + 18 + 17 + 16 +... + 2 + 1 poignées de mains échangées car le 1 er devait serrer 19 mains, le 2 ème 18 mains, le 3 ème 17 mains... et ça jusqu'au 19 ème qui serre la main du 20 ème mais qui ne se serre pas la main lui-même...

38 on a utilisé la Formule N x ( N + 1) 19 x 20 = 190 2 2 donc entre 20 personnes, il y aura 190 poignées de mains données. ça faisait 1 + 2 + 3 +... + 16 + 17 + 18 + 19 poignées de mains échangées

39 Mais qui a inventé cette formule ? Carl Friedrich Gauss c’est …

40 Gauss, Carl Friedrich (1777-1855) est un célèbre mathématicien allemand... Voici une petite histoire le concernant: A l'école primaire, Gauss, enfant doué mais pas très sage, agaçait son instituteur. Celui-ci, pour avoir la paix, lui demanda de calculer la somme des 100 premiers nombres entiers, c'est-à-dire 1+2+3+4+...+100. L'instituteur pensait ainsi occuper Gauss pour un bon bout de temps et avoir ainsi la paix. Hélas il s'était réjoui trop vite car quelques instants plus tard, Gauss l’interpella : « 5050 » fit-il, ce qui laissa l'instituteur bouche-bée...

41 Mais comment avait-il fait ? Comme nous... mais bien plus vite... Gauss avait très vite remarqué, comme Mathéo, que la somme des "termes symétriques" (de cette somme) est toujours égale à 101… 1 + 2 + 3 + 4 +...+ 100 = (1+100) + (2+99) + (3+98) +...+ (50+51) il y a ainsi 50 termes égaux à 101 donc : 1 + 2 + 3 + 4 +...+ 100 = 101x50 = 5050

42 Prodigieux... plutôt que de faire une addition longue, ennuyeuse, bête et méchante, Gauss avec cette idée de réarrangements des termes avait ramené le problème en une opération simple... C'est ça être bon en maths...

43 Nous espérons que notre exposé ne vous a pas trop saoulé… et sommes prêts à répondre maintenant à vos questions.

44 pour calculer la somme 1 + 2 + 3 + 4 + 5...... + N Passe la formule à ton voisin…