1 Analyse Dimensionnelle I – Théorème  de Vaschi-Buckingham (approche macroscopique 0D) II – Adimensionner une équation (approche locale)

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1 1 Analyse Dimensionnelle I – Théorème  de Vaschi-Buckingham (approche macroscopique 0D) II – Adimensionner une équation (approche locale)

2 1 kg = masse du « kilogramme étalon » en Pt irridié déposé au pavillon de Breteuil à Sèvres… 2 I - THEOREME  VASCHY-BUCKINGHAM  1) Rappels et définitions ; système S.I. Grandeurs physiques (qualitatif, notion de…) masse longueur temps température quantité de matière intensité électrique intensité lumineuse Pression Énergie cinétique volumique ( .v 2 /2) Dimension (symbole) MLT  NIJ ML -1 T -2 Quantités physiques (et leur mesure) m = 0,2 kg = 7,06 oz Unités (quantités physiques particulières) kilo- gramme mètre seconde kelvin mole ampère candela pascal SymboleskgmsKmolAcdPa = kg. m -1.s -2  7 grandeurs de base  Pression est « homogène à » ML -1 T -2 plusieurs grandeurs ont la même dimension grandeurs dérivées… 1 seule quantité m, n mesures (n comparaisons à n quantités étalon, à n unités) 3 4 5 1 Système =  grandeurs de base ; unités  6 qualitatif quantitatif unités dérivées… 2 5

3 3 I - THEOREME  VASCHY-BUCKINGHAM  long = 2 x largeur ( en cm, en m, en µm, en pouces … ) Lois physiques : relient des quantités physiques, indépendamment des unités de base choisies pour les mesurer  elles sont indépendantes du système d’unités L en cm, en m, en µm, en pouces…, T en s, en µs, en minutes, en heures… 4 quantités, mais seulement 2 unités de base 2) Invariance des lois physiques

4 4 I - THEOREME  VASCHY-BUCKINGHAM  Conséquences : à travers un exemple Loi physique supposée inconnue ou trop compliquée Remarque : analyse dimensionnelle est utilisée majoritairement quand on ne sait pas écrire ou pas résoudre les équations T = ? l m 00 g 1 ère étape : établir liste des variables ( pb souvent difficile ) T = f ( m, g, l,  0 )(eq. 1) ne pas oublier ! est une variable… intervient dans le phénomène physique ; est une variable au sens de l’A.D. même si valeur constante) - quid si M en kg M en g ?grandeur M n’apparait que dans m  valeur numérique du membre de droite change, alors que valeur numérique du membre de gauche ne change pas  (eq. 1) n’est pas une loi physique !!! 3) Invariance des lois physiques : conséquences long = 2 x largeur

5 5 I - THEOREME  VASCHY-BUCKINGHAM  Conséquences : à travers un exemple - soit il manque à droite une variable qui contient M (et permet d’avoir M a /M a ) - soit m ne figure pas dans (eq. 1) T = ? l m 00 g T = f ( m, g, l,  0 )(eq. 1) n’est pas une loi physique !!! Souvent pas évident de trancher dans un cas réel. Moyens : - par le raisonnement (vraiment pas d’autre variable, la physique me dit que…) - par l’expérience T = ? l m 00 g T = f ’ ( m, g, l,  0 )(eq. 1’) 3) Invariance des lois physiques : conséquences long = 2 x largeur

6 6 I - THEOREME  VASCHY-BUCKINGHAM  Conséquences : à travers un exemple T = ? l m 00 g T = f ’( m, g, l,  0 )(eq. 1’) 2 ème étape : matrice dimensionnelle T = f ’ ( m, g, l,  0 )(eq. 1’) L 0 1 10 T 1-2 0 0 Remarque : mesure angle en radian = arc / rayon  pas de dimension quid si L en m L en mm ? Seule solution : l et g n’apparaissent jamais séparément, toujours sous la forme l/g T = f ’’( m, l / g,  0 )(eq. 1’’) 3) Invariance des lois physiques : conséquences

7 7 I - THEOREME  VASCHY-BUCKINGHAM  Conséquences : à travers un exemple T = ? l m 00 g T = f’’( m, l / g,  0 )(eq. 1’’) quid si T en s T en minutes ? Seule solution : - que f’’ ait la dimension d’un temps - que l’on puisse écrire eq. 1’’ sous la forme : (eq. 1’’’) eq. 1’’’ représente la même loi physique que eq. 1’ 3) Invariance des lois physiques : conséquences

8 8 I - THEOREME  VASCHY-BUCKINGHAM  « compression » de l’énoncé de la même loi physique. Conséquences : à travers un exemple T = ? l m 00 g T = f ’( m, g, l,  0 )(eq. 1’) 4 quantités, dont 3 dimensionnées (eq. 1’’’) 2 nbs (2 quantités physiques) sans dimension 3) Invariance des lois physiques : conséquences

9 9 I - THEOREME  VASCHY-BUCKINGHAM  Théorème de Vaschy-Buckingham : Toute relation physique entre n quantités physiques peut être réduite à une relation entre m = n – r nombres adimensionnels indépendants entre eux. r : - rang de la matrice dimensionnelle, dimension de l’espace défini par les vecteurs colonne - ≤ à nb de grandeurs de base de la matrice dimensionnelle (souvent = ) - nb de variables (de grandeurs physiques) dimensionnellement indépendantes entre elles, nombre d’échelles caractéristiques possibles Conséquences : à travers un exemple T = ? l m 00 g T = f ’( m, g, l,  0 )(eq. 1’) 4 quantités, dont 3 dimensionnées (eq. 1’’’) 2 nbs (2 quantités physiques) sans dimension 4) Théorème de Vaschy-Buckingham T = f ’ ( m, g, l,  0 ) L 0 1 10 T 1-2 0 0 r = 1 m = 3-1 F 2 /F 1, F 3 /F 1

10 10 I - THEOREME  VASCHY-BUCKINGHAM  établir liste des n variables ( au sens de l’analyse dim.) écrire la matrice dimensionnelle déterminer son rang r (le nb de variables dimensionnellement indépendantes) choisir r « échelles caractéristiques » (L, V,  v 2 en mécanique des fluides) adimensionner les n – r autres variables grâce aux échelles caractéristiques 5) Méthode : synthèse r variables deviennent des « échelles caractéristiques», des unités n – r variables deviennent des nombres sans dimension T = f ’ ( m, g, l,  0 ) L 0 1 10 T 1-2 0 0 l, g : échelles caractéristiques du problème : nombres sans dimension : mesure de T dans le système d’unités l, g

11 11 Ex: Traînée - sur une sphère en mouvement dans un fluide immobile - sur une sphère immobile dans un fluide en mouvement I - THEOREME  VASCHY-BUCKINGHAM  5) Méthode par l’exemple

12 Approche physique, puis analyse dimensionnelle quand physique butte 12 I - THEOREME  VASCHY-BUCKINGHAM  5) Méthode par l’exemple Ex: Transfert thermique aux interfaces à la paroi d’une conduite autour d’un fil chaud

13 13 I - THEOREME  VASCHY-BUCKINGHAM  5) Méthode par l’exemple Approche physique : modèle de Prandtl - loin de la paroi : T uniforme (conséquence de la turbulence) - tout près de la paroi : couche limite thermique épaisseur  T avec transfert par conduction Q (W) = k  T/  T. A ≡ h. A  T  T = ? ou h = k /  T. = ?  analyse dimensionnelle Ex: Transfert thermique aux interfaces TT à la paroi d’une conduite  autour d’un fil chaud TT 

14 14 r variables deviennent des « échelles caractéristiques», des unités n – r variables deviennent des nombres sans dimension l, g : échelles caractéristiques du problème : nombres sans dimension : mesure de T dans le système d’unités l, g I - THEOREME  VASCHY-BUCKINGHAM  établir liste des n variables ( au sens de l’analyse dim.) écrire la matrice dimensionnelle déterminer son rang r (le nb de variables dimensionnellement indépendantes) choisir r « échelles caractéristiques » (L, V,  v 2 en mécanique des fluides) adimensionner les n – r autres variables grâce aux échelles caractéristiques 5) Méthode : synthèse T = f ’ ( m, g, l,  0 ) L 0 1 10 T 1-2 0 0 autour d’un fil chaud h = k /  T. = ? TT 

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16 I - THEOREME  VASCHY-BUCKINGHAM  16 4) Obtention des variables réduites Graphe Cx = f (Re) V      D 

17 I - THEOREME  VASCHY-BUCKINGHAM  17 4) Obtention des variables réduites Graphe Nu = f (Re) 5) Méthode par l’exemple autour d’un fil chaud h = k /  T. = ? TT 

18 18 Le théorème  « comprime » un énoncé, il remplace les variables initiales par un nombre plus faible de nombres adimensionnels : - il faut lui fournir la liste initiale des variables c ’est souvent un pb. difficile - il ne fournit pas f, la fonction recherchée f généralement obtenue par l’expérience f est une corrélation I - THEOREME  VASCHY-BUCKINGHAM  6) Limites du théorème 

19 19 Réduction du nombre d ’expériences F 0 = f (V 0, D 0,  0  0 )=>~ 10 4 expériences! Cx = f (Re) =>~ 10 expériences Traiter les problèmes sans équations - (non connues) ou non solubles - emploi de corrélations Ex: Résistance à l ’avancement d ’un navire Froude 1869/1870 Écoulement d ’un liquide en conduite Reynolds 1883 I - THEOREME  VASCHY-BUCKINGHAM  7) intérêt du théorème 

20 20 V      D  Cx = f (Re) - bille pour l ’expérience - grain de sable qui décante dans l ’eau - astéroïde qui entre dans l ’atmosphère ==> même corrélation Cx = f (Re) « Faites vos gaffes à petite échelle Tirez vos profits à grande échelle » Baekeland I - THEOREME  VASCHY-BUCKINGHAM  7) intérêt du théorème 

21 V 0 (  V 0 2 /2) D0D0 V 0 (  V 0 2 /2) D0D0 Conditions aux limites ≠ 21 Exemple: Navier - Stokes II – ADIMENSIONNER UNE EQUATION APPROCHE LOCALE (champ de P, de v…)

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23 23 Exemple: Navier - Stokes II – ADIMENSIONNER UNE EQUATION APPROCHE LOCALE

24 24 f(x 1, x 2, …, x n, p 1, …, p m, …, k 1, …, k p ) = 0 f connue f (x 1 *, x 2 *, …, x n *,  1,  2 ) = 0 Intérêt: - diminuer le nombre de paramètres - les remplacer par des nombres adimensionnels * caractérisation universelle du pb. * quantifient phénomènes antagonistes * permettent choix de simplifications II – ADIMENSIONNER UNE EQUATION APPROCHE LOCALE

25 25 - permet maquettes (similitude) si mêmes Re, Fr, CI*, CL* aux deux échelles - justifie approximations ex : Re >> 1  visqueux << inertie  écoulement laminaire II – ADIMENSIONNER UNE EQUATION APPROCHE LOCALE

26 26 Nombres adimensionnels classiques (méca flu)

27 27 Bilans Macroscopiques connaissance des variables : - moyennes (T dans le réacteur) - ou globales (poussée, portance) Analyse dimensionnelle * vient en complément à expérience et à bilans locaux. * a permis: - amélioration aérodynamique des voitures - développement de l’aviation, du nucléaire... Bilans locaux - connaissance complète des champs P(x,y,z,t), T(x,y,z,t), (x,y,z,t)... - résolution (très) lourde cas d ’école ou CFD Équations connues et solubles Expérience quand autres approches insuffisantes CONCLUSION

28 28 CONCLUSION “ I have often been impressed by the scanty * attention paid even by original workers in physics to the great principle of similitude. It happens not infrequently that results in the form of « laws » are put forward as novelties on the basis of elaborate experiments, which might have been predicted a priori after a few minutes ’ consideration.” Lord Rayleigh * scanty: peu abondante, insuffisante