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Publié parRaphael Cormier Modifié depuis plus de 8 années
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Grandeurs et mesures Hussein Sabra 23 mars 2012
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1. Grandeurs
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Quel est le plus grand rectangle? Aire, périmètre?
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Distinction grandeur/objet Deux objets peuvent être à la fois de même grandeur et de grandeur différente
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Grandeur Tout caractère d’un objet susceptible de variation chez cet objet, ou d’un objet à l’autre.
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Différentes grandeurs Des grandeurs non repérables par exemple : la gentillesse Des grandeurs repérables par exemple : la température Des grandeurs mesurables : Relation d’équivalence Relation d’ordre Addition telle que m(x+y) = m(x)+m(y) Multiplication telle que km(x) = m(kx)
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Longueurs: périmètre d’une face longueur d’une arête, longueur de toutes arêtes (qui n’est pas la somme des périmètres des faces). Aire: aire d’une face aire totale (qui est la somme des aires de chaque face). Volume: à l’école: capacité, contenance au collège: volume angles masse Avec le cube
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2. Pour comparer des grandeurs, on peut manipuler.
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Comparaison directe
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Comparaison indirecte
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Comparaison en utilisant une transformation autorisée
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3. Pour comparer des grandeurs, on peut mesurer.
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Mesures Pour mesurer une grandeur A, Il faut choisir une unité de grandeur U. La mesure de A est le nombre réel x tel que A = x × U Une mesure n’a pas de sens, s’il n’y pas référence à l’unité choisie.
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Objets: segments,polygones,cercle surfaces solides secteurs angulaires Mesures: Nombre Grandeurs: longueur aire volume angle masse
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De quoi parle-t-on ? 1.Paul et André ont acheté des chemises de même taille 2.Paul et André portent tous deux des chemises 42 3.Paul et André ont acheté la même chemise
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De quoi parle – t- on ? 1.Le périmètre d’un carré est 4 fois la longueur de son côté. 2.Le périmètre du carré est de 8 cm 3.Repasser le périmètre du carré en rouge
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4. l’exemple d’aire et mesure
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Théorie des fonctions mesurables Henri-Léon Lebesgue (1875 – 1941). Œuvre : « Sur la mesure des grandeurs », 1915 Mesure des aires : Surface = S Fonction mesurable = µ µ : X IR+ S1 et S2 disjoints µ(S1U S2) = µ(S1)+µ(S2) µ(S)≥0 pour tout S µ est invariante par isométrie Propriété d’isométrie →l’aire ne dépend pas de la position dans le plan mais seulement de sa taille.
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Calcul intégral et aire… f une fonction continue positive sur [a, b]. L’aire comprise entre la courbe, l’axe des abscisses et les deux droites d’équation x=a et x=b.
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Calcul intégral et aire… (2)
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Dans un repère contours orientés?
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