Paramétrisation adaptative pour l’estimation des paramètres hydrodynamiques dans un milieu poreux non saturé MOMAS-Thème E: Problèmes inverses et analyse.

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1 Paramétrisation adaptative pour l’estimation des paramètres hydrodynamiques dans un milieu poreux non saturé MOMAS-Thème E: Problèmes inverses et analyse d’incertitudes / 23 Octobre 2006 Mohamed HAYEK François LEHMANN Philippe ACKERER Paramétrisation adaptative pour l’estimation des paramètres hydrodynamiques dans un milieu poreux non saturé Institut de Mécanique des Fluides et des Solides de Strasbourg

2 Paramétrisation adaptative pour l’estimation des paramètres hydrodynamiques dans un milieu poreux non saturé MOMAS-Thème E: Problèmes inverses et analyse d’incertitudes / 23 Octobre 2006 1 Equation de l’écoulement dans un milieu poreux non saturé (Equation de Richards) - Condition à la limite supérieure: - Condition à la limite inférieure:

3 Paramétrisation adaptative pour l’estimation des paramètres hydrodynamiques dans un milieu poreux non saturé MOMAS-Thème E: Problèmes inverses et analyse d’incertitudes / 23 Octobre 2006 2 Relations entre h, K, et Le modèle de van Genuchten-Mualem model (1980):

4 Paramétrisation adaptative pour l’estimation des paramètres hydrodynamiques dans un milieu poreux non saturé MOMAS-Thème E: Problèmes inverses et analyse d’incertitudes / 23 Octobre 2006 3 But du travail Hypothèse: les paramètres hydrodynamiques sont constants par zone. Problèmes à résoudre: 1.Trouver la distribution des zones dans le domaine. 2.Estimer les paramètres dans chaque zone (Résolution du problème inverse).

5 Paramétrisation adaptative pour l’estimation des paramètres hydrodynamiques dans un milieu poreux non saturé MOMAS-Thème E: Problèmes inverses et analyse d’incertitudes / 23 Octobre 2006 4 Problème 2: Estimation des paramètres hydrodynamiques (Résolution du problème inverse)

6 Paramétrisation adaptative pour l’estimation des paramètres hydrodynamiques dans un milieu poreux non saturé MOMAS-Thème E: Problèmes inverses et analyse d’incertitudes / 23 Octobre 2006 5 Résolution de l’équation de l’écoulement (le problème direct) Linéarisation: Picard, Newton-Raphson, Primary variable switching (Diersch and Perrochet, 1999) - Primary variable switching: Résidu du système: On linéarise par rapport à la variable X:

7 Paramétrisation adaptative pour l’estimation des paramètres hydrodynamiques dans un milieu poreux non saturé MOMAS-Thème E: Problèmes inverses et analyse d’incertitudes / 23 Octobre 2006 6 Pression imposée Comparaison entre les différentes méthodes de linéarisation Pression imposée

8 Paramétrisation adaptative pour l’estimation des paramètres hydrodynamiques dans un milieu poreux non saturé MOMAS-Thème E: Problèmes inverses et analyse d’incertitudes / 23 Octobre 2006 7 plus rapide si N p n’est pas assez grand Formulation du problème inverse - La fonction objectif: - Minimisation: les algorithmes de minimisation les plus fréquents: Gauss-Newton et Quasi-Newton Gauss-NewtonQuasi-Newton Calcul exact du Hessien à partir des sensibilités Approcher le Hessien sans jamais le calculer

9 Paramétrisation adaptative pour l’estimation des paramètres hydrodynamiques dans un milieu poreux non saturé MOMAS-Thème E: Problèmes inverses et analyse d’incertitudes / 23 Octobre 2006 8 Méthode de Gauss-Newton (Algorithme de Levenberg Marquardt) Gradient: Jacobien:

10 Paramétrisation adaptative pour l’estimation des paramètres hydrodynamiques dans un milieu poreux non saturé MOMAS-Thème E: Problèmes inverses et analyse d’incertitudes / 23 Octobre 2006 9 Sensibilités: Un système linéaire par paramètre

11 Paramétrisation adaptative pour l’estimation des paramètres hydrodynamiques dans un milieu poreux non saturé MOMAS-Thème E: Problèmes inverses et analyse d’incertitudes / 23 Octobre 2006 10 Problème inverse

12 Paramétrisation adaptative pour l’estimation des paramètres hydrodynamiques dans un milieu poreux non saturé MOMAS-Thème E: Problèmes inverses et analyse d’incertitudes / 23 Octobre 2006 11 Problème 1: Déterminer la distribution des zones dans le domaine

13 Paramétrisation adaptative pour l’estimation des paramètres hydrodynamiques dans un milieu poreux non saturé MOMAS-Thème E: Problèmes inverses et analyse d’incertitudes / 23 Octobre 2006 12 Indicateur de raffinement (Chavent and Bissel, 1998, Ben Ameur et al., 2002) Au premier ordre: discontinuité:

14 Paramétrisation adaptative pour l’estimation des paramètres hydrodynamiques dans un milieu poreux non saturé MOMAS-Thème E: Problèmes inverses et analyse d’incertitudes / 23 Octobre 2006 13 au minimum: Indicateur de Raffinement

15 Paramétrisation adaptative pour l’estimation des paramètres hydrodynamiques dans un milieu poreux non saturé MOMAS-Thème E: Problèmes inverses et analyse d’incertitudes / 23 Octobre 2006 14 Indicateur correspondant au paramètre p k et à la localisation i Indicateur de raffinement multidimensionnel, Indicateur normalisé : Indicateur multidimensionnel Normalisation Norme

16 Paramétrisation adaptative pour l’estimation des paramètres hydrodynamiques dans un milieu poreux non saturé MOMAS-Thème E: Problèmes inverses et analyse d’incertitudes / 23 Octobre 2006 15 Méthode de l’état adjoint: On considère le problème d’optimisation suivant: Afin de résoudre ce problème, on introduit le Lagrangien: Pour calculer les gradients locaux, on résout le système adjoint: Calcul des gradients local

17 Paramétrisation adaptative pour l’estimation des paramètres hydrodynamiques dans un milieu poreux non saturé MOMAS-Thème E: Problèmes inverses et analyse d’incertitudes / 23 Octobre 2006 16 Système adjoint: Les gradients locaux sont calculés par:

18 Paramétrisation adaptative pour l’estimation des paramètres hydrodynamiques dans un milieu poreux non saturé MOMAS-Thème E: Problèmes inverses et analyse d’incertitudes / 23 Octobre 2006 17 Algorithme de raffinement

19 Paramétrisation adaptative pour l’estimation des paramètres hydrodynamiques dans un milieu poreux non saturé MOMAS-Thème E: Problèmes inverses et analyse d’incertitudes / 23 Octobre 2006 18 Exemples Numériques: Cas de 3 zones Zone 1 Zone 2 Zone 3 20.5 cm 40 cm 59.5 cm z=0 11 cm 36 cm 76 cm Condition à la limite inférieureCondition à la limite supérieure 5 cm 0.5 cm5.5 cm 10.5 cm 15.5 cm C1C1 C2C2 C3C3 C4C4 z

20 Paramétrisation adaptative pour l’estimation des paramètres hydrodynamiques dans un milieu poreux non saturé MOMAS-Thème E: Problèmes inverses et analyse d’incertitudes / 23 Octobre 2006 19 Première itération 60.5 cm C 8 C 15 C 14 C 13 C 11 C 9 C 10 C 12

21 Paramétrisation adaptative pour l’estimation des paramètres hydrodynamiques dans un milieu poreux non saturé MOMAS-Thème E: Problèmes inverses et analyse d’incertitudes / 23 Octobre 2006 20 Deuxième itération 20.5 cm C 3 C 4 C 5 C 6 C 7 Zone 1 Zone 2

22 Paramétrisation adaptative pour l’estimation des paramètres hydrodynamiques dans un milieu poreux non saturé MOMAS-Thème E: Problèmes inverses et analyse d’incertitudes / 23 Octobre 2006 21 120 cm Zone 1 Zone 2 60.5 cm Zone 1 Zone 2 Zone 3 20.5 cm 60.5 cm Paramétrisation initiale Paramétrisation obtenue à la première itération Paramétrisation obtenue à la deuxième itération Cas de 3 zones

23 Paramétrisation adaptative pour l’estimation des paramètres hydrodynamiques dans un milieu poreux non saturé MOMAS-Thème E: Problèmes inverses et analyse d’incertitudes / 23 Octobre 2006 22 Exemples numériques: Cas de 5 zones Après quatre itérations: 5 cm 0.5 cm5.5 cm 10.5 cm 15.5 cm C1C1 C2C2 C3C3 C4C4 z

24 Paramétrisation adaptative pour l’estimation des paramètres hydrodynamiques dans un milieu poreux non saturé MOMAS-Thème E: Problèmes inverses et analyse d’incertitudes / 23 Octobre 2006 23 Cas où les mesures sont entachées d’erreurs: Cas de 3 zones Zone 1 Zone 2 Zone 3 20.5 cm 40 cm 59.5 cm z=0 11 cm 36 cm 76 cm La paramétrisation exacte a été retrouvée après deux itérations. Mêmes coupes sélectionnées à chaque itération que dans le cas sans erreur de mesure.

25 Paramétrisation adaptative pour l’estimation des paramètres hydrodynamiques dans un milieu poreux non saturé MOMAS-Thème E: Problèmes inverses et analyse d’incertitudes / 23 Octobre 2006 24 Influence des positions des points de mesures Zone 1 Zone 2 Zone 3 20.5 cm 40 cm 59.5 cm z=0 11 cm 100 cm 75 cm La paramétrisation exacte a été retrouvée après deux itérations. Plus de coupes sélectionnées à chaque itération.. Les paramètres sont parfaitement estimés à l’exception de et de la zone 2.

26 Paramétrisation adaptative pour l’estimation des paramètres hydrodynamiques dans un milieu poreux non saturé MOMAS-Thème E: Problèmes inverses et analyse d’incertitudes / 23 Octobre 2006 25 Conclusion Un algorithme de paramétrisation adaptative pour l’estimation des paramètres hydrodynamiques dans un milieu poreux non saturé a été présenté: Les paramètres hydrodynamiques sont constants par zone. L’indicateur de raffinement correspondant à chaque zone a été utilisé afin de de définir l’indicateur multidimensionnel. Les résultats numériques sont encourageants et montrent la robustesse de l’algorithme.