Roland Charnay - 20041 Apprentissages numériques de l’école au collège Apprentissages numériques de l’école au collège Enjeux, difficultés, évolutions.

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1 Roland Charnay - 20041 Apprentissages numériques de l’école au collège Apprentissages numériques de l’école au collège Enjeux, difficultés, évolutions

2 Roland Charnay - 20042 Autour de 3 réflexions enjeux de ces apprentissages sur l’ensemble de la scolarité obligatoire connaissances attendues des élèves au terme de l’école primaire (programmes actuels) difficultés constatées, à partir de l’analyse des évaluations à l’entrée en Sixième

3 Roland Charnay - 20043 Organisation des programmes Cycle 3 de l’école primaireCollège Exploitation de données numériques Organisation et gestion de données, fonctions Connaissance des nombres entiers naturels Nombres et calcul Connaissance des fractions simples et des nombres décimaux Calcul Espace et géométrieGéométrie Grandeurs et mesure

4 Roland Charnay - 20044 Plan L’apprentissage des nombres et de leurs désignations L’apprentissage du calcul La résolution de problèmes, avec un intérêt plus particulier pour la proportionnalité

5 Roland Charnay - 20045 Les nombres et leurs désignations

6 Roland Charnay - 20046 Entiers naturels Numération décimale et ordre sur ces nombres : depuis le CP Valeur positionnelle des chiffres peu évaluée à l'entrée en Sixième Deux résultats – Ecris en chiffres 25 dizaines 40,8 % – relation désignations orale-chiffrée relativement bien acquise 80 % à 90 %

7 Roland Charnay - 20047 Quelle explication pour 25 dizaines ? Une remarque : Ecris en chiffres 7 unités 4 dixièmes est mieux réussi (54,8 %) Une explication : les termes comme dizaine… renvoient à une position et non à une valeur C'est la valeur positionnelle qui importe… … Et les relations entre valeurs

8 Roland Charnay - 20048 Quelle remédiation ? Valeur en référence à l'unité – liée à l'idée groupements – 324 : 3 groupements de 100, 2 groupements de 10… – 324 : 32 groupements de 10 Relations entre les valeurs – centaine / dizaine ; centaine / unité – mais aussi dizaine / centaine ; unité / centaine – ce qui prépare la compréhension des décimaux

9 Roland Charnay - 20049 Pour les écritures, pas de différence fondamentale entre naturels et décimaux 2 4 1 7 100 fois plus 100 fois moins 2 4, 1 7 100 fois plus 100 fois moins

10 Roland Charnay - 200410 Décimaux Numération décimale et ordre : depuis le CM1  repris au collège Evaluations : difficultés pour 25 % à 50 % des élèves Au primaire comme au collège – travail insuffisant sur la compréhension – trop axé sur les techniques : revenir au sens chaque fois que c'est possible (ex 7   0,1 : c'est 7 dixièmes) – marquant de manière insuffisante les ruptures avec les entiers

11 Roland Charnay - 200411 Ruptures principales Relativement à l'ordre – procédure de comparaison – intercalation Relativement à des procédures de calcul – notamment multiplication et division par 10, 100… Relativement au "sens" des opérations

12 Roland Charnay - 200412 Fractions Approche limitée à l'école primaire une seule signification : 5/3 c’est 5 fois 1/3 travail par le raisonnement (sans techniques) relation avec 1 : 3/3 c’est 1, donc 5/3 est supérieur à 1 décomposition en nombre entier et fraction inférieure à 1 : 19/3 c’est 6 fois 3/3 plus 1/3, donc 6 + 1/3 Peu évalué à l'entrée en Sixième

13 Roland Charnay - 200413 Au collège : une place centrale et des difficultés nouvelles Nouvelle signification, comme quotient : 7/3 c’est le tiers de 7 Comprendre l'équivalence : 7 fois le tiers de 1, c’est pareil que le tiers de 7 7/3 est un nombre et non un calcul à effectuer Conception plus théorique : 7/3 est le nombre qui multiplié par 3 donne 7 Fractions avec des décimaux au numérateur et au dénominateur

14 Roland Charnay - 200414 Des difficultés et un travail à faire au collège Le mot "quotient" – désigne le résultat d'un calcul au cycle 3 – désigne aussi un nombre (sans calcul) au collège L'équivalence des 2 significations de 7/3 – réalisable par l'expérience – justifiable par des arguments en appui sur la signification cycle 3 –3 tiers c'est 1, 7 tiers c'est 2 fois 3 tiers plus 1 tiers, donc 7/3 = 2 + 1/3 en appui sur signification Sixième –7/3  3 = 7 Or (2 + 1/3)  3 = 6 + 1 = 7, donc 7/3 = 2 + 1/3

15 Roland Charnay - 200415 Evolution de la notion de nombre au cours de la scolarité Des entiers naturels aux décimaux : – renoncer à l’idée de nombres qui se suivent – accepter l’intercalation "sans fin" Passage aux fractions quotients : – accepter qu’un nombre ne s’exprime pas nécessairement par une suite de chiffres Passage aux négatifs : – renoncer au fait qu’un nombre exprime une quantité ou la mesure d’une grandeur

16 Roland Charnay - 200416 Le calcul

17 Roland Charnay - 200417 Deux questions Quels sont les besoins en calcul du futur acteur social et professionnel ? Quels sont les besoins en calcul pour l’apprentissage des mathématiques ?

18 Roland Charnay - 200418 Apprendre à calculer… apprendre à rendre calculables des situations par un travail de modélisation (cf. résolution de problèmes) apprendre à traiter des calculs – de façon automatisée ou raisonnée – pour aboutir à un résultat exact ou approché apprendre à organiser un calcul pour le rendre exécutable par une machine (Cf. initiation à l’usage du tableur au collège)

19 Roland Charnay - 200419 Quel calcul ? CALCUL AUTOMATISE CALCUL REFLECHI OU RAISONNE Résultat exact Résultat approché Calcul mental Résultats Procédures Procédures construites choix des arrondis Calcul écrit Techniques opératoires Procédures construites choix des arrondis Calcul instrumenté Calculs usuels Ex : quotient et reste avec 

20 Roland Charnay - 200420 Priorité au calcul mental : six raisons Calcul d’usage, utile dans la vie ordinaire Indispensable pour le calcul posé Moyen privilégié de contrôle Calcul réfléchi : lien entre raisonnement et calcul (choix et mise en œuvre d'une procédure adaptée), utilisation de connaissances sur les nombres et les opérations sur les nombres Indispensable à l'acquisition de nouvelles connaissances, à leur représentation mentale Aide à la résolution de problèmes : se ramener à un cas qui peut être traité mentalement

21 Roland Charnay - 200421 Recentrage du calcul posé dans deux directions Bonne maîtrise dans des cas dits « simples » Travail orienté vers la compréhension (et la justification) des techniques

22 Roland Charnay - 200422 Calcul instrumenté quatre aspects L’utilisation d’une machine ou d'un logiciel doit être contrôlée Aide la calculatrice dans la résolution de problèmes Apprentissage de certaines fonctionnalités Machine ou logiciel source de problème

23 Roland Charnay - 200423 Apprentissage du calcul au Primaire addition -soustraction NaturelsDécimaux Addition Cycle 2  Cycle 3 Sens Calculs mental et posé Fin du cycle 3 Sens Calculs mental et posé Soustraction Cycle 2 Sens Calcul mental Cycle 3 Sens Calculs mental et posé Fin du cycle 3 Sens Calculs mental et posé

24 Roland Charnay - 200424 Apprentissage du calcul au Primaire multiplication - division NaturelsDécimaux Multiplication Cycle 2 Sens Calcul mental Cycle 3 Sens Calculs mental et posé Fin du cycle 3 Décimal par entier Sens Calculs mental et posé Collège Produit de 2 décimaux Division Cycle 3 Division euclidienne Sens Calculs mental et posé Collège Quotient décimal de 2 entiers Quotient de 2 décimaux

25 Roland Charnay - 200425 L'extension du calcul aux décimaux et aux fractions suppose des restructurations de connaissances Sens de la multiplication – surtout liée, pour les entiers, à l'addition itérée Sens de la division – liée, sur les entiers, au partage Théorèmes implicites – La multiplication "agrandit" – La division "diminue"

26 Roland Charnay - 200426 Le cas de 2/3 de 18 A l'école primaire : procédure réfléchie – 2 fois le tiers de 18, soit Au collège : 3 modes de calcul équivalents Equivalence expérimentée ou raisonnée : - 2 fois 18 tiers : 36 tiers ; 18 fois 2 tiers : 36 tiers

27 Roland Charnay - 200427 Compétences en calcul mental à l'entrée au collège Mémorisation ou automatisation Peu évaluée – Difficultés avec tables de multiplication – Quart de cent 67 % (Eva 2000) – Cent divisé par quatre 61 % (Eva 2000) – Trente-sept divisé par dix42 % (Eva 2003) – Trois fois zéro virgule cinq 44 % (Eva 2003)

28 Roland Charnay - 200428 Calcul réfléchi Résultats contrastés sur les entiers – 198 + 10 81 % (Eva 2003) – 405 – 10 78 % (Eva 2003) – 47 + 33 84 % (Eva 2003) – 60 – 19 65 % (Eva 2003) – 52 : 4 35 % (Eva 2000) Résultats plus faibles avec les décimaux – 1,7 + 2,3 61 % (Eva 2003) – 2,5 x 4 44 % (Eva 2003)

29 Roland Charnay - 200429 Conclusion Nécessité de poursuivre au collège l’entraînement au calcul mental – sous ses 2 formes : mémorisé et réfléchi – et ses 2 types de résultats : exacts et approchés Question des résultats nouveaux dont la mémorisation est utile (realtifs, carrés, racines carrées, puissances de nombres simples…)

30 Roland Charnay - 200430 Résolution de problèmes

31 Roland Charnay - 200431 Prise en compte du long terme et évolution des procédures de résolution Lucie aime jouer aux billes. A la fin de la journée, elle a 8 billes de plus que le matin. Pourtant la journée avait mal commencé : à midi, elle avait perdu 2 billes ! Que s’est-il passé l’après-midi ? 21 % (Eva 1994) Sixième : nécessité d'un raisonnement Cinquième : relatifs Fin de collège : équation

32 Roland Charnay - 200432 Quelques constats

33 Roland Charnay - 200433 Evaluation 6 e - 2003 Xavier range les 50 photos de ses dernières vacances dans un classeur. Chaque page contient 6 photos. a) Combien y aura-t-il de pages complètes ? b) Combien y a-t-il de photos sur la page incomplète ? Il y a ……… pages complètes. 54 % Il y a ……… photos sur la page incomplète. 57 %

34 Roland Charnay - 200434 Procédures possibles Schématisation des pages et des photos Dénombrement (CP) Addition de 6 en 6 Addition (CE1) Encadrement par deux multiples de 6 Table de multiplication (CE2) Division par 6 Division (CM1)

35 Roland Charnay - 200435 Une question Pourquoi des élèves qui disposent de l’une ou l’autre des connaissances permettant de résoudre ce problème… - ne pensent-ils pas… - n’osent-ils pas… - ne se croient-ils pas autorisés… … (à) les utiliser pour répondre à la question?

36 Roland Charnay - 200436 Sophie a dessiné et colorié trois étiquettes rectangulaires toutes identiques sur une plaque de carton, comme le montre le dessin. La plaque est rectangulaire et a pour longueur 12 cm et pour largeur 10 cm. 12 cm 10 cm a) Calcule la longueur réelle d’une étiquette. Ecris tes calculs. 44 % b) Calcule la largeur réelle d’une étiquette. Ecris tes calculs. 23 % 22 % des élèves ont mesuré Raisonnement (exemple 2 : éva 6 e, 2000)

37 Roland Charnay - 200437 Deux pistes de travail pour l'école et le collège inciter les élèves à initier des procédures de résolution originales, personnelles travailler la capacité à déduire et à articuler différentes étapes par un raisonnement approprié.

38 Roland Charnay - 200438 Le cas de la proportionnalité

39 Roland Charnay - 200439 Un domaine complexe Typologie des problèmes Variété des procédures de résolution Sensibilité de ces procédures – aux grandeurs en relation – aux nombres en jeu – au nombre de couples fournis Procédures particulières utilisées dans d'autres disciplines

40 Roland Charnay - 200440 A l'école primaire Pas d'enseignement de la proportionnalité Résolution de problèmes, en utilisant des procédures "contextualisées" qui s'appuient implicitement : – sur les propriétés de linéarité – sur le passage par l'image de l'unité – sur le coefficient, lorsqu'il a une signification pour les élèves Pourcentage, échelle et vitesse – travaillés dans cet esprit – sans procédures spécifiques

41 Roland Charnay - 200441 Exemple : 20 % de 350 (vente de croissants)  Pour 100 fabriqués  20 vendus Pour 100 fabriqués  20 vendus Pour 300 fabriqués  60 vendus Pour 50 fabriqués  10 vendus Pour 350 fabriqués  70 vendus

42 Roland Charnay - 200442  Pour 100 fabriqués  20 vendus Pour 300 fabriqués  60 vendus (3 fois plus) Pour 50 fabriqués  10 vendus (la moitié) Pour 350 fabriqués  70 vendus  Le nombre de pains vendus, c'est 1/5 du nombre de pains fabriqués (ou 5 fois moins) 1/5 de 350, c'est 70

43 Roland Charnay - 200443 Au collège : évolution des procédures Sixième – passage par l’image de l’unité – rapport de linéarité, exprimé sous forme de quotient – coefficient de proportionnalité, exprimé sous forme de quotient Cinquième – recours plus systématique aux quotients – première approche graphique Quatrième – produit en croix (lié à égalité de quotients) – caractérisation graphique Troisième – modélisation par une fonction linéaire

44 Roland Charnay - 200444 Quelques documents documents d’application des programmes de l’école primaire (notamment cycle 3) document Articulation école-collège document Calcul mental document Calculatrices document Calcul posé document Problèmes pour chercher