1 Mécanique des Fluides: Approximations Bilans macroscopiques I Deux approximations des équations de Navier-Stokes 1) Écoulements rampants/parfaits Deux.

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1 1 Mécanique des Fluides: Approximations Bilans macroscopiques I Deux approximations des équations de Navier-Stokes 1) Écoulements rampants/parfaits Deux types d’écoulements réels 2) Écoulements laminaires 3) Écoulements turbulents 4) Critère de transition IIBilans macroscopiques 1) Théorème de transport 2) Bilan matière 3) Bilan de Quantité de Mouvement (Théorème d’Euler)

2 2 Mécanique des Fluides: Approximations Bilans macroscopiques Expérience de Reynolds Re faible Re élevé cigarette o

3 3 I Types d’écoulements Types d’approximations Approche par les éq. de Navier-Stokes (a)(c)(b)(d)(e) Equations de Navier –Stokes : eq. de continuité ; Lavoisier ; conservation matière bilan quantité de mouvement ; forme du P. F. D. Dérivée totale enforces de contraintes (pression suivant le fluidevolumeet contraintes visqueuses) Accumulation de quantité de mvt  = cnste expliciter dérivée particulaire expliciter contraintes Rappels

4 4 I Types d’écoulements Types d’approximations Approche par les éq. de Navier-Stokes Les termes de Navier Stokes Bilan q.d.m., incompressible, Newtonien (a) variation temporelle du «stock» de q.d.m. terme instationnaire ajoute variable t (b) terme lié aux forces volumiques (c) terme lié aux forces de pression (d) terme de diffusion de quantité de mouvement (e) terme de flux de q.d.m., de convection, d’inertie lié aux variations spatiales de (a)(c)(b)(d)(e)

5 5 ITypes d’approximations Approche par les éq. de Navier-Stokes 1) Fluides visqueux / Eclts parfaits Fluides visqueux, écoulements rampants (inertie) 0 ou négligée convection Navier-Stokes devient linéaire du 2 nd ordre (Ex. : acoustique linéaire) P = P statique + Surpression dynamique v = v statique + Survitesse dynamique  diffusion qdminertie

6 6 ITypes d’approximations Approche par les éq. de Navier-Stokes 1) Fluides visqueux / Eclts parfaits Fluides non visqueux, (Écoulements parfaits) (diffusion qté de mvt) 0  = 0 Eq. de Navier-Stokes devient Eq. d’Euler (non linéaire 1 er ordre)  diffusion qdminertie

7 7 I  Types d’écoulements Problèmes de l ’ingénieur (Eclts réels) 2) Écoulements laminaires Écoulements laminaires - lignes de courant * bien identifiées * ne se mélangent pas au cours du mvt * épousent la forme des parois solides - couches fluides glissent les unes /les jj jautres - stable: petites perturbations kdissipées, amorties Expérience de Reynolds Re faible

8 8 I  Types d’écoulements Problèmes de l ’ingénieur (Eclts réels) 2) Écoulements laminaires Écoulement laminaire approché par écoulement rampant (écoulement sans inertie d ’un fluide visqueux) Domaine d’application : - vitesse faible (faible inertie) - gradients dans le sens transversal élevés (fortes contraintes visqueuses) couches limites ; lubrification (voisinage des interfaces) viscosité >>inertie Re << Re Seuil

9 9 I  Types d’écoulements Problèmes de l ’ingénieur (Eclmts réels) 3) Écoulements turbulents Écoulements turbulents - lignes de courant * s ’entrecroisent * se perdent - existence de tourbillons à différentes échelles - instable: petites perturbations s’amplifient au cours du mouvement Re élevé cigarette o

10 10 ITypes d’écoulements Problèmes de l ’ingénieur 3) Écoulements turbulents Écoulement turbulent moyen approché par écoulement d’un fluide non visqueux (écoulement parfait) Attention: approximation trop grossière si on s’intéresse à la chute de pression due à la dissipation visqueuse (perte de charge) Domaine d’application : - vitesse élevée (grande inertie) - faibles gradients de vitesse (faibles contraintes visqueuses) cœur des écoulements, loin des parois viscosité <<inertie Re >> Re Seuil

11 11 turbulent parfait laminaire parfait turbulent couche limite laminaire cœur turbulent

12 12 4) Critère de transition laminaire / turbulent Reynolds = LE critère a) cas général ] | [ Re laminaire Seuil (#1 ) turbulent Film ruisselant Conduite cylindrique plaques // b) Eclmt unidirectionnel ss chgt de section ] [Re 2300 5000 laminaireturbulent Théoriquement : mais perturbationsfaux

13 13 Mécanique des Fluides: Approximations Bilans macroscopiques I Deux approximations des équations de Navier-Stokes 1) Écoulements rampants/parfaits Deux types d’écoulements réels 2) Écoulements laminaires 3) Écoulements turbulents 4) Critère de transition IIBilans macroscopiques 1) Théorème de transport 2) Bilan matière 3) Bilan de Quantité de Mouvement (Théorème d’Euler)

14 1ère partie (6 séances / 8) : les trois principes/bilans qui fondent la thermo-hydraulique : - conservation matière, - conservation énergie, - conservation quantité de mouvement 14 Rien de vraiment neuf : s’appuyer sur - Lavoisier, - 1er principe de la thermo - PFD Seules nouveautés : - adapter à des problèmes avec des fluides - étendre aux systèmes ouverts (on définira) + autre nouveauté : Analyse dimensionnelle II BILAN MACROSCOPIQUE QDM Calculer la force exercée par un écoulement sur un appareil

15 II BILAN MACROSCOPIQUE QDM Obstacle interne PTPT V  Paroi ou ligne de courant AeAe Volume de contrôle AsAs Plus généralement : Système technique macroscopique 15 Exemples : turbine, conduite coudée, fusée... Typiquement : F (m)

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17 17 densité d’une grandeur extensive ( ,  v...) Vm(t) Am(t) Vm(t+dt) n v AccumulationAccumulationDébit net dans = dans +entrant dans volume fixe volume matériel volume fixe 1) Théorème de transport v : vitesse du fluide V, A: volume et surface de contrôle fixes qui coïncident avec vvv vv vV m (t) et A m (t) à l’instant t n : normale orientée vers l’intérieur de V ; convention des thermodynamiciens (Attention : normale orientée vers l’extérieur pour mécaniciens et jjjjjjjjjjjjmatheux problèmes de signe)

18 18 on se limite au régime stationnaire Théorème d’Euler : En régime stationnaire : Remarque :est indépendante du sens de l’écoulement. (nécessité champ ) Remarque : souvent impossible de calculer

19 19 Choix du volume de contrôle Coude d’une conduite forcée Écoulement interne Éolienne, ou hélice, ou aube Écoulement externe on choisira généralement un tube de courant (pour pouvoir écrire ) Aube

20 20 Exemple d’application: Élargissement brusque 1 2 A1A1 0 A2A2 Bernoulli ? Si écoulement parfait A1A1 0 1 2 A2A2 Ecoulement réel Ecoulement parfait

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22 22 = = perte de charge (en m) Chute de « pression totale » = Eu (Re, géométrie) coeff. de perte de charge singulière (Re, géométrie)

23 23 (avec ou sans) échange de puissance avec l’extérieur, avec ou sans dissipation visqueuse en régime permanent Bilan quantité mvt Théorème d’Euler Régime turbulent ou régime laminaire (F, P, v, z) ? 1 2 AB

24 24 Merci pour votre attention

25 25 II BILANS MACROSCOPIQUES (Suite) 3)Bilan quantité de mouvement Volume matériel : : résultante des forces subies par le fluide du volume matériel. Théorème de transport : AccumulationDébit net entrant de quantité de mouvement

26 26 Décomposition de : résultante des forces subies par le fluide : résultante des forces subies par les parois - du volume de contrôle - de l’appareil : contrainte totale (visqueuse + pression) subie par le fluide sur les sections d’entrée et de sortie : : contrainte visqueuse. D ’où:

27 27 Stationnaire et Unidimensionnel en entrées et sorties Th. D ’Euler Calcul de Calcul de t v n’a qu’une seule composante : v x v x uniforme sur la section : v x (x) (si) Unidimensionnel Si on choisit la section Ai telle que : D ’où: