TP1: Statistique application chapitre 2. Le tableau suivant reprend le taux d'intérêt (en %) payé par 20 banques sur les dépôts d'épargne de leurs clients.

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1 TP1: Statistique application chapitre 2

2 Le tableau suivant reprend le taux d'intérêt (en %) payé par 20 banques sur les dépôts d'épargne de leurs clients : (a) Etant donné cette distribution, calculez le mode, la médiane et la moyenne ; (b) Comparez et discutez ces trois paramètres de position centrale. avec f i fréquence absolue BanqueIntérêtBanqueIntérêtBanqueIntérêtBanqueIntérêt 1468115167 2674129175 3785136188 4497145195 510 5154206

3 Mode, médiane et moyenne: paramètres de centre Le mode est la valeur qui revient le plus fréquemment. La médiane est la valeur du milieu ou le 50ème percentile. Nombre d'observations impair => observation centrale Nombre d'observations pair => la somme des observations centrales, divisée par deux. Moyenne Attention type de variables Moyenne = 1/N ΣxiFi avec Fi fréquence absolue

4 Sur base des observations, nous construisons un tableau de fréquences : avec f i fréquence absolue Xi = Taux d'intérêt Fi = fréquences C(xi) = fréquences cumulées xi Fi 44416 561030 631318 731621 821816 91199 1012010 Total20/120

5 (a) Le mode est la valeur qui revient le plus fréquemment : le mode est ici x0 = 5. Nombre d'observations pair, observations centrales = 10 et 11ème observations. Médiane = (5 + 6) / 2 = 5.5 Moyenne = 1/n ΣxiFi = 1/20 (120) = 6 (b) Nous observons dans le cas présent que le mode et la médiane sont différents de la moyenne avec x0 < médiane < moyenne. Nous en déduisons par conséquent que la distribution des taux d'intérêt parmi les 20 banques belges est asymétrique, ici étalée vers la droite.

6 La répartition du nombre de familles ayant un enfant étudiant à l'université, classée en fonction des dépenses annuelles, est donnée par le tableau suivant : Dépenses annuelles (en euros) Effectif 300 ≤ X < 4005 400 ≤ X < 50060 500 ≤ X < 60015 600 ≤ X < 70095 700 ≤ X < 80030 800 ≤ X < 10005 (a) Calculez la médiane de la distribution ; (b) Calculez le troisième quartile et expliquez ce qu'il vous indique ; (c) De quel côté cette série est- elle étalée ? Pourquoi ? (d) Calculez la variance de la distribution.

7 Médiane (variable continue par interpolation linéaire): Déterminer la classe médiane et calculer 3 ème quartile (75%) Variance σ2 = 1/N Σ F i (X i – Xmoy)²

8 Sur base des observations, nous construisons un tableau de fréquences : XicentreFiC(Fi) Fréquences relatives Fréq. relatives cumulées xi * Fi Fi*(xi-moy)² fi (%)c(fi) (%) [300, 400[ 350552.38 1750309531 [400, 500[ 450606528.5730.95270001328656 [500, 600[ 55015807.1438.09825035736 [600, 700[ 6509517545.2483.3361750248944 [700, 800[ 7503020514.2997.6222500685757 [800, 1000[ 90052102.381004500453579 210 100 1257503062202 moyenne 598.8114582 écart- type 120.8

9 (a) Calculez la médiane de la distribution ;  La classe médiane est la suivante : [600, 700[.  La médiane a pour valeur exacte : xmé = Q2 = 600 + 100*((50 – 38.09) / 45.24) = 626,3 euros. (b) Calculez le troisième quartile et expliquez ce qu'il vous indique ;  La classe du troisième quartile Q3 est la suivante : [600,700[.  La valeur exacte du troisième quartile est calculée comme suit : Q3 = 600 + 100*((75 – 38.09) / 45.24) = 681,5 euros.  Cela signifie que 75% des familles dépensent moins de 681,5 euros pour leur enfant étudiant à l'université et que 25% des familles dépensent plus que ce montant.

10 (c) De quel côté cette série est-elle étalée ? Pourquoi ? Pour savoir si la distribution est symétrique ou pas, il faut comparer la médiane avec la moyenne et le mode. Si les trois sont égaux, la distribution est symétrique, sinon elle est asymétrique (étalée à gauche ou à droite).  médiane = 626,3 euros.  mode = centre de la classe modale (la plus souvent observée), soit 650 euros.  moyenne = (5 * 350 + 60 * 450 + 15 * 550 + 95 * 650 + 30 * 750 + 5 * 900) / 210 = 598,8 euros.  Comme la moyenne < médiane < mode, la distribution est étalée vers la gauche. (d) Calculez la variance de la distribution.  σ2 = ( 3062202 /210) = 14582 (euros)²  ou encore l'écart type (σ) est de 120,8 euros.

11 Considérons la série d'observations suivante : Calculez l'étendue et l'écart absolu moyen de cette distribution. - L'étendue est la différence entre la plus grande et la plus petite observation. Etendue = 14 - (-2) = 16. - L'écart absolu moyen = EAM = 4.2 (moyenne = 5.4) -210144261083 -210144261083 7.44.66.48.61.43.40.64.62.62.442

12 TP1: Probabilité application chapitre 3

13 On tire une carte au hasard dans un jeu ordinaire de 52 cartes. On considère les événements suivants : A = la carte choisie est le roi de coeur ; B = la carte choisie est une carte coeur ; C = la carte choisie est soit l'as de pique, soit une carte coeur ; D = la carte choisie est une carte pique ou une carte coeur. Calculez (a) la probabilité des événements A, B, C, D ; (b) la probabilité des intersections suivantes : A et B ; A et C ; A et D ; (c) la probabilité des réunions suivantes : A ou B ; A ou C ; A ou D ; (d) Calculons les probabilités conditionnelles P(A/B), P(A/C) et P(A/D). Comptabiliser le nombre de résultats possibles (événement)

14 a) La probabilité de tirer : - le roi de coeur : uncarte sur 52 correspond à cet événement => P(A) = 1/52 - une carte cœur : un quart des cares correspond à l’événement => P(B) = 13/52 - soit l'as de pique, soit une carte cœur : 2 événements indépendants, soit 1carte, l’as de pique et 13 cartes de cœur => P(C) = 1/52 + 13/52 = 14/52 - une carte pique ou une carte cœur : 2 événements indépendants, à savoir 13 cartes pique et 13 cœur => P(D) = 13/52 + 13/52= 26/52 b) Calculons la probabilité des intersections : Définition des probabilités conditionnelles P(A  B) = P(A) * P(B / A) = 1/52 * 1 = P(B) * P(A / B) = 13/52 * 1/13 = 1/52 P(A  C)= P(C) * P(A / C) = 14/52 * 1/14 = 1/52 P(A  D)= P(D) * P(A / D)= 26/52 * 1/26 = 1/52

15 c) Calculons la probabilité des réunions : Evenements composés : P(A  B)= P(A) + P(B) - P(A  B) = 1/52 + 13/52 - 1/52 = 13/52 = P(B) P(A  C)= P(A) +P(C) - P(A  C) = 1/52 + 14/52 - 1/52 = 14/52 = P(C) P(A  D)= P(A) + P(D) + P(A  D) = 1/52 + 26/52 - 1/52= 26/52 = P(D) d) Calculons les probabilités conditionnelles : P(A/B) = 1/13 P(A/C) = 1/14 P(A/D) = 1/26

16 Trois chasseurs se promènent dans la campagne. La probabilité qu'ils atteignent leur cible est de respectivement 0,5 ; 0,7 et 0,8. Un lièvre passe. Les trois chasseurs tirent. (a) Quelle est la probabilité que le lièvre soit touché au moins une fois ? (b) Quelle est la probabilité que le lièvre ne soit touché que par un des trois chasseurs ? A = le 1 er chasseur le touche => p(A)=0.5 B = le 2ème chasseur le touche => p(B)=0.7 C = le 3ème chasseur le touche => p(C)=0.8

17 (a) Quelle est la probabilité que le lièvre soit touché au moins une fois ? On cherche P(X  1) P(X  1) = P(X  3) – P(X = 0) P(X  3) = 1 P(X = 0) ? les événements A, B et C sont indépendants. P(X = 0) = P( )= P(X  1) = P(X  3) – P(X = 0) = 1 – 0,03 = 0,97. (b) Quelle est la probabilité que le lièvre ne soit touché que par un des trois chasseurs ? P(X = 1)=

18 Une boite contient 9 tickets numérotés de 1 à 9. Sachant que l'on tire un à un trois tickets, quelle est la probabilité pour que les numéros tirés soient alternativement (impair, pair, impair) ou (pair, impair, pair) ?

19 Définissons les événements suivants: P = le ticket porte un numéro pair ; I = le ticket porte un numéro impair. Initialement, la boîte contient 5 tickets portant un numéro impair et 4 tickets portant un numéro pair. => P(P) = 4/9 et P(I) = 5/9. Le tirage se fait sans remise. i

20 Une boite contient 9 tickets numérotés de 1 à 9. Sachant que l'on tire un à un trois tickets, quelle est la probabilité pour que les numéros tirés soient alternativement (impair, pair, impair) ou (pair, impair, pair) ? Définissons les événements suivants: P = le ticket porte un numéro pair ; I = le ticket porte un numéro impair. Initialement, la boîte contient 5 tickets portant un numéro impair et 4 tickets portant un numéro pair. => P(P) = 4/9 et P(I) = 5/9. Le tirage se fait sans remise. On peut calculer la probabilité P[(I,P,I)  (P,I,P)] = P[I,P,I] + P[P,I,P] - P[(I,P,I)  (P,I,P)] Comme P[(I,P,I)  (P,I,P)] = 0 P[(I,P,I)  (P,I,P)] = (5/9*4/8*4/7) + (4/9*5/8* 3/7) = 0,277 i

21 Dans une très grande entreprise, 25 % des hommes et 15 % des femmes gagnent plus de 2000 euros par mois. Il y a dans le personnel de cette entreprise 80 % d’hommes. a) On tire au hasard un nom sur la liste du personnel. On constate que la personne ainsi obtenue gagne plus de 2000 euros par mois. Quelle est la probabilité qu’il s’agisse d’un homme ? b) On tire deux noms au hasard et on constate que les deux personnes obtenues gagnent plus de 2000 euros par mois. Quelle est la probabilité qu’il s’agisse d’un homme et d’une femme ?

22 Soient les événements suivants : H : La personne choisie au hasard est un homme F : la personne choisie au hasard est une femme R : La personne choisie au hasard gagne plus de 2000 euros par mois. On connaît les probabilités suivantes : P(H)= 0.8 => P(F)= 0.2 et P(R/H)= 0.25 & P(R/ F)= 0.15 a) On demande de calculer P(H/R) Théorème de Bayes: P(H/R)= P(H  R)/P(R)= P(H) * P(R/H) / P(R) = 0.8 * 0.25 / P(R)

23 a) suite P(R) = P(H) * P(R/H) + P(F) * P(R / F) = 0.8 * 0.25 + 0.2 * 0.15 = 0.2 + 0.03 = 0.23 P(H/R) = 0.8 * 0.25 / 0.23 = 0.2 / 0.23 = 0.87. b) On demande de calculer P(H  F /R) Grand échantillon ("très grande entreprise") => les deux tirages sont indépendants : + théorème de bayes P(H  F/R) = P(H/R) * P(F /R) = 0.87 * P(F /R) En appliquant le même raisonnement qu'en a), on trouve P(F/R)= P(F)*P(R/F) / P(R) = 0.2 * 0.15 / 0.23 = 0.03 / 0.23 = 0.13 = 1- P(H/R) (événement complémentaire) => P(H  F/R) = 0.87 * 0.13 = 0.11.

24 Trouvez, au moyen des tables, les probabilités suivantes pour une variable normale standardisée Z: Chap 4: distribution de probabilité - variable aléatoire continue - loi normale P(Z  1.96) P(-0.9  Z  0) P(-1.56  Z  -0.2)

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26 Trouvez, au moyen des tables, les probabilités suivantes pour une variable normale standardisée Z: Chap 4: distribution de probabilité - variable aléatoire continue - loi normale P(Z  1.96) = 0,9750 P(-0.9  Z  0) = 0,5 – 0,184 = 0,316 P(-1.56  Z  -0.2) = 0,421 – 0,059 = 0,362