MATH EN 3B par les CM2 de Philippe Roux, Camille Claudel Bruges Comme des lapins… 2009-20102009-2010.

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1 MATH EN 3B par les CM2 de Philippe Roux, Camille Claudel Bruges Comme des lapins… 2009-20102009-2010

2 Les lapins de Léonard Un couple de lapin, né le 1er janvier, donne naissance à un autre couple de lapins chaque mois dès qu’il a atteint l’âge de deux mois. Les nouveaux couples suivent la même loi de reproduction. Combien y aura-t-il de lapins le 1er janvier de l’année suivante, en supposant qu’aucun couple n’ait disparu entre temps ? L'énigme à résoudre…

3 Grosse prise de tête et cerveaux en ébullition… On a eu des difficultés à compter les couples jusqu’au1 er janvier 2010 car il y en avait trop. C’était trop dur de les dessiner sans en oublier… En faisant un schéma on était sûr jusqu’au mois d’août. j f m a m j j a... 1 1 2 3 5 8 13 21 ? ? ?

4 On a remarqué que janvier + février = mars / mars + avril = mai, etc... On a pensé que pour trouver un mois il fallait donc faire la somme des 2 mois précédents… Voici donc notre formule magique M3 = M2 + M1 M3 est le nombre de couples de lapins au mois cherché M2 est le nombre de couples de lapins au mois précédent M1 est le nombre de couples de lapins au mois précédent le précédent Janvier  1 Février  1 Mars  2 Avril  3 Mai  5 Juin  8 Juillet  13 Août  21 Septembre  34 Octobre  55 Novembre  89 Décembre  144 Janvier  233 etc… etc…

5 Puis, on a essayé de vérifier comment ça marche… On a compté les couples de petits et les couples de grands Janvier 2009  0 grands + 1 petit = 1 couple Il n’y a qu’un seul couple de petit (qui va grandir…) Février 2009  1 grand + 0 petit = 1 couple 1 couple de grands qui doit attendre 1 mois pour se reproduire. Mars 2009  1 grand + 1 petit = 2 couples Le couple de grands s’est reproduit mais le couple de petits doit attendre le mois suivant. Avril 2009  2 grands + 1 petit = 3 couples. Il y a maintenant 2 grands : un se reproduit, l’autre doit attendre 1 mois. Mai 2009  3 grands + 2 petits = 5 couples. 2 grands se reproduisent, 1 grand doit attendre 1 mois et ça jusqu‘en Janvier 2010.

6 avec un tableau c’est plus facile… MoisGrands couples Petits couples Total couples Janvier 09011 F é vrier 09 101 Mars 09112 Avril 09213 Mai 09325 Juin 09538 Juillet 098513 Ao û t 09 13821 Septembre 09211334 Octobre 09342155 Novembre 09553489 D é cembre 09 8955144 Janvier 1014489233 On a remarqué que notre « astuce » marchait aussi pour chaque colonne G et P  0+1=1 1+1=2 1+2=3 2+3= 5 ….

7 mais avec deux, c’est mieux… Pour trouver les Petits, on suit la flèche en diagonale Pour trouver les Grands, on fait une addition G + P Le résultat suit la flèche en diagonale 5+3=8 8+5=13 13+8= 21 …

8 Notre chercheur en maths qui est une chercheuse…. nous a posé la question suivante… … maintenant que vous avez bien compris comment évoluent les lapins de Léonard, pouvez-vous dire à partir de quelle date Léonard aura plus de 500 lapins ? Plus de 1 000 couples ? Plus d'un million de lapins ?

9 Nous avons donc complété encore un autre tableau… avec les couples et là, ça pullule… 200920102011 Janvier123375 025 F é vrier 1 377 121 393 Mars2610196 418 Avril 3987317 811 Mai5 1 597 514 229 Juin82 5848 32 040 Juillet134 181 1 346 269 Ao û t 216 765 2 178 309 Septembre3410 946 3 524 578 Octobre5517 711 5 702 887 Novembre8928 657 9 227 465 D é cembre 14446 368 14 930 352 Plus de 500 lapins donc plus de 250 couples.  Février 2010 avec 377 couples soit 754 lapins. Plus de 1000 couples  Mai 2010 avec 1 597 couples. Plus de 1 000 000 de lapins soit plus de 500 000 couples.  Mai 2011 avec 514 229 couples soit 1 028 458 lapins.

10 Ça pullule ça veut dire quoi au fait ? pullulement ou pullulation: Fait de pulluler. pulluler : 1. Se multiplier rapidement et abondamment. 2. Être en abondance, foisonner. © Hachette Livre, 1998

11 Et maintenant encore une histoire de lapins…

12 Les lapins de Léonard montent les escaliers… Pour monter un escalier, les lapins peuvent sauter une ou deux marches dès qu’ils le souhaitent, mais pas plus de deux à la fois.(beaucoup trop haut pour eux) Pour monter un escalier d’une marche, il n’y a bien sûr qu’une façon de faire :

13 Pour monter un escalier de deux marches, il y a deux façons de faire : Pour monter un escalier de trois marches, il y a trois façons de faire : Sauriez-vous trouver combien il y a de façons de faire pour un escalier de 4 marches? 5 marches ? 20 marches ?

14 Voici donc le problème… compter et compter encore… Une élève de la classe a trouvé une solution plus simple que de dessiner les escaliers et surtout de compter chaque façon de faire. La voici : Ils peuvent sauter soit 1 marche (1) soit 2 marches à la fois (2) 4 marches :  5 façons 1111 112 121 211 22 5 marches :  8 façons 11111 1112 1121 1211 122 2111 212 221 6 marches :  13 façons 111111 11112 11121 11211 12111 1122 1212 1221 21111 2112 2121 2211 222 Le total de chaque ligne fait 4 Le total de chaque ligne fait 5 Le total de chaque ligne fait 6

15 On a remarqué aussi que la « formule magique » pour trouver les façons de monter les escaliers est la même que celle des lapins qui font des bébés : il faut faire la somme des deux nombres précédents pour avoir le 3 ème … Nombre de marches Façons de les monter Nombre de marches Façons de les monter 1111144 2212233 3313377 4514610 5815987 613161597 721172584 834184181 955196765 10892010 946

16 et alors comment et pourquoi ça marche les marches? Comment ça marche ? marchesfaçons 45 58 613 2 1 avec 6 marches Cas 1  il reste 5 marches donc 8 façons. Cas 2  il reste 4 marches donc 5 façons. Pour trouver les 13 façons il faut donc additionner 5 + 8 = 13 façons, pour monter les escaliers de 6 marches. Exemple : pour monter six marches, il y a 2 possibilités : on peut commencer soit par une seule (1), soit en monter deux (2)…

17 la petite info… Sur Internet, et avec son grand-père, Pauline a cherché qui avait inventé ce problème et a découvert que c’était Leonardo Fibonacci Ce mathématicien italien est né vers 1175 et décédé vers 1250. Il avait, à l'époque, pour nom d'usage « Léonard de Pise »… Il Il se surnommait parfois lui-même « Leonardo Bigollo » (bigollo signifiant « voyageur » en italien). Mais son véritable nom était probablement « Leonardo Guilielmi ». … de quoi s’y perdre…non ?

18 Nous espérons que notre exposé ne vous a pas trop saoulé… … et sommes prêts à répondre maintenant à vos questions…