MATHS EN 3B par les CM1 de Philippe Roux Jean Jaurès Le Bouscat Jean Jaurès Le Bouscat LES LAPINS DE LÉONARD MONTENT LES ESCALIERS LES LAPINS DE LÉONARD.

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1 MATHS EN 3B par les CM1 de Philippe Roux Jean Jaurès Le Bouscat Jean Jaurès Le Bouscat LES LAPINS DE LÉONARD MONTENT LES ESCALIERS LES LAPINS DE LÉONARD MONTENT LES ESCALIERS 2013-20142013-2014

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3 Patrick Urruty notre chercheur en Mathématiques est venu nous proposer de faire monter des marches d’escalier à des lapins… Drôle d’idée !

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11 Pourquoi ?… car…

12 Il nous fallait trouver une règle d'écriture Si nous appelons T1 le nombre de trajets possibles pour monter 1 marche T2 le nombre de trajets possibles pour monter 2 marches T3 le nombre de trajets possibles pour monter 3 marches Alors Tm sera le nombre de trajets possibles pour monter m marches (m étant n’importe quel nombre de marches)

13 Et nous avions enfin une formule pas magique mais mathématique… si Tm est le nombre de Trajets possibles pour le lapin sur un escalier de m marches, alors Tm = (Tm-1)+(Tm-2)

14 Si par exemple on veut savoir le nombre de façons de monter 13 marches d’escalier il suffit d’appliquer la formule: (Tm-1)+(Tm-2) = Tm Si par exemple m=13 on fait (Tm-1)+(Tm-2) = 233 + 144 = 377

15 Ensuite Patrick nous a appris à calculer avec un tableur et voici les résultats: On voit que la suite de nombres grandit très rapidement, puisque avec un escalier de 50 marches, on obtient plus de 20 milliards de façons différentes de gravir cet escalier.

16 Patrick Urruty notre chercheur nous a proposé un autre sujet… Une autre drôle d’idée !

17 Un couple de lapin, né le 1 er janvier, donne naissance à un autre couple de lapins chaque premier jour du mois dès qu’il a atteint l’âge de deux mois. Les nouveaux couples suivent la même loi de reproduction. Combien comptez-vous de couples de lapins chaque mois de l'année?

18 On a fait des dessins mais c'était long et difficile...

19 long et difficile et on n’allait pas loin…

20 Alors on a fait des tableaux pour mieux comprendre On a remarqué que les nombres que l'on trouvait suivaient la règle des marches d'escaliers… exemple: 8 + 13 = 21

21 Un tableau pour bien comprendre...

22 Un tableau pour bien comprendre... La colonne « Petits » indique le nombre de couples qui viennent de na î tre.

23 Un tableau pour bien comprendre... La colonne « Grands » indique le nombre de couples qui sont nés depuis au moins un mois ce sont donc les « ados » et les « adultes »…

24 Un tableau pour bien comprendre... La colonne « Couples » indique combien il y a de couples en tout C'est donc la somme du nombre de couples de « petits » et de « grands »…

25 Pour les flèches vertes : tous les couples obtiennent le mois suivant le statut de « Grands », puisqu'ils sont au moins âgés d'un mois. Pour expliquer le passage d'une ligne à la suivante, il faut bien comprendre la signification des flèches vertes et rouges.

26 Pour les flèches rouges : tous les couples qui ont le statut de « Grands » donneront le mois suivant naissance à un couple de bébés car ils seront âgés le mois suivant au moins de deux mois.

27 Voici un tableau récapitulatif sur 3 années 201420152016 Janvier123375 025 Février1377121 393 Mars2610196 418 Avril3987317 811 Mai51 597514 229 Juin82 5848 32 040 Juillet134 1811 346 269 Août216 7652 178 309 Septembre3410 9463 524 578 Octobre5517 7115 702 887 Novembre8928 6579 227 465 Décembre14446 36814 930 352 Comme pour les escaliers, on voit que la suite des nombres grandit très rapidement et on arrive vite à une surpopulation de lapins…

28 la petite info… Sur Internet, nous avons découvert que ce problème a été inventé par Leonardo Fibonacci Ce mathématicien italien est né vers 1175 et décédé vers 1250. Il avait, à l'époque, pour nom d'usage « Léonard de Pise »… Il Il se surnommait parfois lui-même « Leonardo Bigollo » (bigollo signifiant « voyageur » en italien). Mais son véritable nom était probablement « Leonardo Guilielmi ». … de quoi s’y perdre…non ?

29 La spirale de Fibonacci

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32 Fibonacci dans la nature

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37 Par exemple, les pommes de pin sont composées de 8 spirales dans le sens des aiguilles d’une montre et de 13 spirales dans l’autre sens… deux nombres consécutifs de la suite de Fibonacci… On peut retrouver cette suite de nombres souvent dans la nature…

38 Fibonacci dans la nature Autre exemple, le chou romanesco possède 13 spirales dans le sens des aiguilles d’une montre et 21 spirales dans l’autre sens… deux nombres consécutifs de la suite de Fibonacci… On peut retrouver cette suite de nombres souvent dans la nature… 13 21

39 Fibonacci dans la nature Et encore … Le cœur d’un tournesol est composé de fleurons arrangés en spirales: 21 spirales dans le sens des aiguilles d’une montre et 34 spirales dans l’autre sens… deux nombres consécutifs de la suite de Fibonacci… On peut retrouver cette suite de nombres souvent dans la nature…

40 Fibonacci dans la nature À vous de compter le nombre de pétales de ces fleurs... On peut retrouver cette suite de nombres souvent dans la nature… 58 1321

41 Nous pourrions encore vous endormir davantage mais nous allons nous arrêter là…

42 Et maintenant nous sommes prêts à répondre à vos questions…