Etude comparative de méthodes de résolution pour l ’équation de DARCY E. DUBACH R. LUCE Laboratoire de Mathématiques Appliquées Université de PAU, GDR.

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1 Etude comparative de méthodes de résolution pour l ’équation de DARCY E. DUBACH R. LUCE Laboratoire de Mathématiques Appliquées Université de PAU, GDR MoMas GDR MoMas

2 Motivations Résoudre « correctement » l ’équation de Darcy pour des coefficients de perméabilité très contrastés. Plus particulièrement, avoir une « bonne approximation » de la vitesse. GDR MoMas

3 p: pression du fluide u: vitesse du fluide A: tenseur de perméabilité c: coefficient de compressibilité Le problème type GDR MoMas

4 Objectif Comparer des méthodes de résolution qui donnent a priori une bonne approximation de la vitesse u. Question: Ces méthodes sont-elles meilleures que les méthodes éléments finis « classiques »? Les méthodes retenues présentent la particularité de résoudre un système discret portant uniquement sur p et d ’obtenir u par un calcul a posteriori. GDR MoMas

5 Présentation des méthodes Méthodes Volumes-Finis de type « Petrov-Galerkin » Méthode de type « Galerkin discontinue » Méthodes « originales » Méthodes « classiques » Eléments finis P 1 -conformes Eléments finis mixtes-hybrides GDR MoMas

6 Méthodes volumes-finis (Petrov-Galerkin) GDR MoMas

7 Problème approché GDR MoMas

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10 Schéma volumes finis Intégration approchée En reportant (2) h dans (1), on obtient un schéma volumes finis qui fournit une solution p h dans H 1. Un post traitement local donne u h dans H(div,  ) vérifiant GDR MoMas

11 Estimateurs a posteriori GDR MoMas

12 Méthode P k+1 -P k Objectif: Trouver des approximations de u et de p dans des espaces V h et W h des fonctions polynomiales par élément de degré k+1 et k sans condition de raccord. (Dawson: Siam 2002) GDR MoMas

13 Sous les hypothèses On a De plus GDR MoMas

14 Trouver ? Utiliser des fonctions de base de W h orthogonales (locales et globales) Dans le triangle de référence Base de On cherche k=0 GDR MoMas

15  est une matrice diagonale (si A est constant par triangle) Estimateur a posteriori GDR MoMas

16 Les cas tests  en forme de L, A =Id, GDR MoMas

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18 Puis le couplex 1 Conclusion Il y a encore du travail…. GDR MoMas