Que recouvrent les différentes expressions: calcul mental, calcul réfléchi, calcul raisonné, calcul rapide? Calcul mental Ce qu’il faut mémoriser ou automatiser.

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1 Que recouvrent les différentes expressions: calcul mental, calcul réfléchi, calcul raisonné, calcul rapide? Calcul mental Ce qu’il faut mémoriser ou automatiser Ce qu’il faut être capable de reconstruire des procédures mises en œuvre par les élèves.

2 Calcul mentalCalcul écrit ou instrumenté

3 Parler de calcul mental ne signifie pas que tout se passe sans écrire Le calcul écrit ou instrumenté ou « l’opération posée » requiert la connaissance des tables et la gestion des retenues. du calcul mental donc

4 Calculer mentalement 127 + 16 Les enfants ont tendance à calculer mentalement en appliquant les algorithmes écrits Apprentissage trop précoce des techniques écrites

5 Il importe donc que des techniques écrites s’appuient sur une pratique du calcul mental bien installée

6 Calculer 73 - 27 C’est déterminer l’écart entre 27 et 73 2773 ? 53 -20 50 - 3 46 -4 7343 -30 46 +3

7 On opère donc sur des nombres Si on pose l’opération on fait agir un algorithme qui énonce des manipulations et on opère sur les chiffres des unités, puis les chiffres des dizaines. Les nombres 73 et 27 sont provisoirement perdus de vue, et par conséquent l’ordre de grandeur du résultat

8 Calcul mentalCalcul posé Il est pensé ou réfléchi La technique écrite est la transcription d’un algorithme Plusieurs démarches de calcul exact ou approché Une démarche dont l’exécution est prescrite et univoque Planification de l’action Stratégie : choix entre plusieurs démarches Intervention explicite des représentations numériques (ordre de grandeur, comparaison…) des propriétés des opérations (commutation, distribution…) IMPORTANCE des premières représentations numériques

9 Les techniques de calcul sont nécessaires pour effectuer des calculs difficiles, mais le calcul mental doit être développé en même temps Le calcul mental permet pour des calculs simples d’obtenir le résultat plus rapidement et de se passer du papier et du crayon. Le calcul mental entraîne une meilleure compréhension des nombres. Le calcul mental fait intervenir de multiples représentations des nombres Le calcul mental résiste mieux à l’oubli que des procédures apprises mécaniquement et souvent dépourvues de sens pour les enfants…

10 Pourquoi est-il important de développer de bonnes compétences en calcul mental chez les élèves?

11 Fonction sociale Mettre en place des moyens efficaces pour calculer dans la vie courante Fonction pédagogique Automatisation des calculs simples Récupération en mémoire ou reconstruction instantanée Diversification des stratégies Première maîtrise du calcul approché Compréhension et maîtrise des notions mathématiques enseignées à l’école  Construire et structurer la numération (relations additives ou multiplicatives)  Assurer une première compréhension des propriétés des opérations  Faciliter le traitement des situations de proportionnalité ou des travaux sur les fractions, des calculs avec des nombres relatifs ou des calculs algébriques  Développer les capacités de raisonnement, élaborer des procédures originales

12 Certains élèves éprouvent des difficultés pour mémoriser les tables d’addition et de multiplication. Comment les aider?

13 L’entraînement n’est pas le seul ressort de la mémorisation Il faut  une bonne représentation mentale des nombres  la compréhension des opérations en jeu  une élaboration progressive des résultats On l’a déjà montré tout à l’heure

14 Les représentations des nombres sont intériorisées et prennent appui sur des représentations imagées et symboliques Les constellations  jusqu’à 5 « les petits nombres »: favoriser leur reconnaissance instantanée  entre 5 et 10: entraîner à la décomposition instantanée par rapport à 5 ou aux compléments à 10 Les systèmes de numération  établir des relations entre les nombres entiers suite verbale des noms de nombres: c’est une suite de mots, totalement ordonnée, qui débute par « un » et dont chaque mot appelle le suivant. undeuxtroisquatrecinqsixsepthuitneufdixonze

15 Il s’agit de la rendre disponible rapidement, par des exercices fréquents et courts: undeuxtroisquatrecinqsixsepthuitneufdixonze Quel est le suivant cinq? (le nombre juste après cinq), c’est cinq plus un égale six. Quel est le nombre juste avant sept?(précédent sept), c’est sept moins un égale six, on peut écrire « six plus un égale sept ». On fait réciter la liste à partir d’un nombre: un enfant dit quinze, son voisin dit le suivant seize, etc.… On fait associer des constellations à ces mots… On fait réciter la liste à partir d’un nombre en descendant 123456789 On affiche la liste des nombres écrits en chiffres:

16 A partir de 20 et avec des ruptures entre 60 et 100, ce rythme se trouve davantage en accord avec la numération en base 10. La liste de nombres est rythmée par les dizaines et les centaines, répétition des dizaines à l’intérieur des centaines… Les opérateurs simples sont +1, +10, -1, -10  Savoir qu’ajouter 1 revient à dire le nombre suivant est une première étape de la mémorisation des tables d’addition.  Savoir que compter de 2 en 2,de 5 en 5 est une première étape de la mémorisation des tables de multiplication. VINGTTRENTEQUARANTE 123456789123456789123456789

17 La table numérique On découpe la bande numérique après 9, puis après 19…et on colle ces morceaux au-dessous les uns des autres. Ainsi apparaît l’organisation des nombres: Les nombres situés dans la même colonne ont le même chiffre des unités. Dans une même ligne, ils ont tous le même chiffre des dizaines. Pour compter de 10 en 10: il suffit de descendre d’une case. Pour ajouter 1, on passe à la case voisine à droite, pour enlever 1,à la case voisine à gauche. 36+10=46 le tableau de nombres doit être affiché dans la classe 123456789 10111213141516171819 20212223242526272829 30313233343536373839 4041424344

18 La table d’addition  Les résultats additifs simples sont d’abord reconstruits (avant d’être produits instantanément) en utilisant des points d’appui que l’enseignant doit aider à mettre en place: Utilisation de la suite numérique, par sur comptagesur comptage Appui sur les doubles connus: 5+4, c’est 1 de plus que 4+4 Utilisation de la commutativité de l’addition 2+9 c’est 9+2 Utilisation du passage par la dizaine: pour calculer 8+5, on complète à 10 (avec 2), puis on ajoute 3 (le complément de 2 à 5) Ce qui suppose de connaître les compléments à 10 et les décompositions additives des nombres inférieurs à 10. En début de cycle 3, les élèves doivent être capables de fournir instantanément tous les résultats des tables d’addition, ainsi que les différences et les compléments associés

19 +12345678910 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Les doubles Les presque doubles Les amis de 10 Le sur comptage (+1 ;+2,+3) avec application éventuelle de la commutativité de l’addition La numération Table d’addition

20 La table de multiplication  Les résultats multiplicatifs sont plus difficiles à reconstruire. Il faut viser avant la fin du cycle 3, une mémorisation totale des produits des tables et leur utilisation (7X8=56; 7X?=56: 56:7=?; 56=?X?).  Les points d’appui: Les résultats des tables de 2 et 5 qui sont rapidement connus Le comptage de n en n pour retrouvé un résultat à partir d’un résultat mémorisé La connaissance des carrés, souvent bien maîtrisée Multiplier par 4, c’est doubler 2 fois; multiplier par 6 c’est triples, puis doubler Le repérage des particularités et des régularités dans la table de Pythagore (exemple 6X9=54; prendre le prédécesseur de 6 donc 5 (5=6-1) comme chiffre des dizaines et le complément à 9 de ce dernier (5+4=9) comme chiffre des unités

21 Les conditions de la mémorisation La mémorisation des tables d’addition commence au début du cycle 2, elle s’établit au cours de la première année du cycle 3. La mémorisation des tables de multiplication commence en fin de cycle 2, elle n’est pas achevée en fin de cycle 3. 1.Comprendre les opérations en jeu 2.Prendre conscience de l’intérêt de disposer d’un répertoire de résultat 3.Prendre conscience que certains résultats sont mémorisés, qu’un répertoire mental se constitue 4.Être capable d’utiliser ce que l’on sait pour obtenir d’autres résultats 5.Entraîner les résultats mémorisés

22 Disponibilité des résultats… Connaître ses tables, c’est être capable d’exploiter rapidement cette connaissance pour donner un résultat connexe. Connaître 7 + 6, c’est  répondre 13 immédiatement,  répondre immédiatement à  « combien de 7 pour aller à 13 ? »,  « combien de 6 pour aller à 13 ? », « 13 – 6 », « 13 – 7 »  produire très vite, entre autres, 7 + 6 et 6 + 7 lorsque sont demandées des décompositions additives de 13. Connaître 7 X 6, c’est  répondre 42 immédiatement,  répondre immédiatement à  « quel nombre multiplié par 7 donne 42 ? », « quel nombre multiplié par 6 donne 42 ? », « 42 divisé par 7 », « 42 divisé par 6 » ou encore à produire très vite 7 X 6 et 6 X 7 lorsque sont demandées des décompositions multiplicatives de 42.

23 En calcul mental faut-il laisser chaque élève choisir ses procédures? 25 x 12 P1 : calcul séparé de 25 x 10 et de 25 x 2 puis somme des résultats partiels. P2 : décomposition de 12 en 4 x 3, et calcul de 25 x 4, puis de 100 x 3 P3 : utilisation du fait que 25 est le quart de 100, en divisant d’abord 12 par 4, puis en multipliant le résultat par 100 (ou multiplication de 12 par 100, puis division du résultat par 4) 25 x 19 P4 : calcul de 25 x 20 (directement ou par 25 x 2 x 10), puis soustraction de 25 au résultat obtenu. P5 : calcul de 19 x 20 (par 19 x 2 x 10), puis de 5 x 19 (nouveau calcul réfléchi qui peut être traité par la somme de 5 x 10 et de 5 x 9, par exemple), puis somme des deux résultats partiels

24 Comment faut-il conduire une séance de calcul mental? Dès le CP, des moment spécifiques doivent, chaque jour, être ménagés pour l’entraînement au calcul mental automatisé et pour l’exercice du calcul mental réfléchi. En fonction de l’objectif poursuivi, ils prennent des formes différentes. Dans la phase où il s’agit d’entretenir et de contrôler la mémorisation de résultats (tables, relations entre nombres du type 5, 20, 25, 50, 75, 100…) ou l’automatisation de procédures (compléments à la dizaine supérieure, multiplication ou division par 10 ; 100…), des séquences brèves (cinq à dix minutes) sont appropriées.

25 De telles séquences de calcul peuvent être conduite avec la classe entière, ou par groupes de huit à dix enfants. Il est souhaitable qu’elle débute par une activité très facile, quasi-rituelle et surtout destinée à focaliser l’attention. La consigne est orale. –En petit groupe, la réponse peut être individuelle et orale. –En plus grand groupe, elle peut être écrite (sur ardoise ou papier), ou encore en exhibant une carte parmi un choix de cartes-réponses. Selon les séances, l’enseignant peut utiliser le procédé Lamartinière dans lequel, après avoir été noté sur l’ardoise, chaque résultat est immédiatement corrigé ou faire inscrire l’ensemble des résultats sur une feuille de papier pour ne les exploiter qu’à la fin de l’interrogation. Dans ce type de calcul, centré sur le résultat, la rapidité est un objectif visé, car il s’agit de faire maîtriser un répertoire avec sûreté.

26 Dans la phase où il s’agit de travailler le calcul réfléchi (résultats exacts ou approchés), les séquences peuvent être nettement plus longues (de un quart d’heure à une demi-heure). Elles sont, en général, menées en grand groupe. Pour chaque question posée, il faut laisser du temps aux élèves pour chercher. Puis, vient le moment d’expliciter les procédures utilisées dans la classe, éventuellement de les traduire pas écrit, avant de les discuter et de les justifier du point de vue de leur pertinence et de leur efficacité et de conclure par une brève synthèse de l’enseignant. Il peut être envisagé d’entraîner à l’exécution de certains types de calculs, pour obtenir des réponses rapides, mais en gardant à l’esprit que l’élève conserve le choix de la procédure qui lui paraît la plus adaptée ou la plus sûre.

27 Calculer 23+ 9 ou 44 + 9 Pour résumer, certaines procédures peuvent être pointées comme souvent efficaces, mais liberté doit être laissée à l’élève de choisir la procédure qu’il est le mieux à même de mener à son terme. Calculer 349 + 257

28 Dans tous les cas (calcul automatisé ou calcul réfléchi), les questions peuvent porter directement sur les nombres ou être situées dans le cadre de la résolution de « petits problèmes ». On pose la question « calculer 17 + 23 » (oralement ou par écrit) et le problème « Arnaud avait 17 billes et en gagne 23 ; combien en a-t-il maintenant ? ». Est-ce équivalent? L’expérience montre surtout qu’il s’agit, dans le second cas, d’un moyen efficace d’aider les élèves à progresser dans la maîtrise du « sens des opérations ».