Calculer l’inverse d’une matrice Louis Mullenbach Housseim Yacoub.

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1 Calculer l’inverse d’une matrice Louis Mullenbach Housseim Yacoub

2 La matrice augmentée Soit A une matrice (n,p) et B une matrice (n,q). = = 11 ⋯ 1 ⋮ ⋱ ⋮ 1 ⋯ 11 ⋯ 1 ⋮ ⋱ ⋮ 1 ⋯ 11 ⋯ 1 ⋮ ⋱ ⋮ 1 ⋯ 11 ⋯ 1 ⋮ ⋱ ⋮ 1 ⋯ | = La matrice augmentée A|B est la matrice de format (n, p+q) obtenue en adjoignant à droite des coefficients de A ceux de B ; elle se présente sous la forme :

3 Méthode pour inverser la matrice A Soit A € M n (R) inversible, c’est-à-dire det(A) ≠ 0. On pose A|I n la matrice augmentée telle que : 11 ⋯ 1 ⋮ ⋱ ⋮ 1 ⋯ 1 ⋯ 0 ⋮ ⋱ ⋮ 0 ⋯ 1 A|I n =

4 Méthode pour inverser la matrice A En utilisant les opérations élémentaires (Addition, Soustraction, Multiplication par un scalaire) sur les lignes, on cherche à obtenir deux nouvelles matrices. A gauche, la matrice identité I n. A droite, une nouvelle matrice P. La matrice P est l’inverse de A: P= A -1.

5 Mise en garde et conseil Ne pas permuter les lignes dans la matrice augmentée: on n’arrivera plus à la matrice inverse. Il vaut mieux procéder de manière à obtenir la matrice identité ligne par ligne, plutôt que colonne après colonne.

6 Exemple A= 111 -101 011

7 Exemple 111100 -101010 011001 111100012110011001111100012110011001 10010-1 010-1-12 00111-1 10-10-10 012110 00111-1 10-10-10 012110 00-1-1-11 L 2 =L 2 +L 1 L 1 =L 1 -L 2 L 3 =L 3 -L 2 L 3 =-L 3 L 2 =L 2 -2L 3 L 1 =L 1 +L 3 10-1 -1-12 11-1 A -1 =