Π = 3. 1 4 1 5 9 2 6 5 3 5 8 9 7 9 3 2 3 8 4 6 2 6 4 3 3 8 3 2 7 9 5 0 2 8 8 4 1 9 7 1 6 9 3 9 9 3 7 5 1 0 5 8 2 0 9 7 4 9 4 4 5 9 2 3 0 7 8 1 6 4 0 6.

Présentation au sujet: "Π = 3. 1 4 1 5 9 2 6 5 3 5 8 9 7 9 3 2 3 8 4 6 2 6 4 3 3 8 3 2 7 9 5 0 2 8 8 4 1 9 7 1 6 9 3 9 9 3 7 5 1 0 5 8 2 0 9 7 4 9 4 4 5 9 2 3 0 7 8 1 6 4 0 6."— Transcription de la présentation:

1 π = 3. 1 4 1 5 9 2 6 5 3 5 8 9 7 9 3 2 3 8 4 6 2 6 4 3 3 8 3 2 7 9 5 0 2 8 8 4 1 9 7 1 6 9 3 9 9 3 7 5 1 0 5 8 2 0 9 7 4 9 4 4 5 9 2 3 0 7 8 1 6 4 0 6 2 8 6 2 0 8 9 9 8 6 2 8 0 3 4 8 2 5 3 4 2 1 1 7 0 6 7 9 8 2 1 4 8 0 8 6 5 1 3 2 8 2 3 0 6 6 4 7 0 9 3 8 4 4 6… e= 2.71828 18284 59045 23536 02874 71352 66249… ln(2) = 0.693147

2 Une vieille série bien connue ! Comment développer en série 1/ (1 – x), si vous étiez au CO en 8e année ? Appliquons le théorème fondamental de l’analayse (TFCDI II). Majorons le reste ! La série de N. Mercator (1668) La série de J. Gregory (1720) Le théorème d’Abel (1826)

3 Les trois séries: Mercator : Gregory : Abel :

4 Remarque concernant e L’année dernière nous avions prouvé (cf. exercice 56) qu’un certain nombre e pouvait s’obtenir de deux manières : Cette année nous avons posé que e est la préimage de 1 par la fonction ln. À démontrer : les deux e sont identiques !

5 Objetif : démontrer la formule de Leibniz & Gregory (1668) Pour “passer” de l’irrationnel au rationnel on considère la fonction trigonométrique tan(x). (ainsi sa réciproque permettra de d’approcher l’irrationnel à partir du rationnel). En deux mots : calculer de deux manières !

6 Marche à suivre : 1) Démontrer que arctan est une fonction strictement croissante qui envoie π/4 sur 1. 2) Calculer la dérivée de arctan 3) Utiliser le TFCDI (II) sur l’un des membres 4) Utiliser le développement en série sur l’autre 5) Conclure !

7 Généralisation…et prolongation ! Si à la place de 1 (de la borne supérieure) l’on considère un |t|<1 alors l’on obtient (par le même raisonnement) : Montrer que tan(π/6) = 1/sqrt(3) puis. déduire Série utilisée par Th. F. de Lagny pour calculér π avec 127 décimales de précision (en 1719).

8 Des “petits trucs” à la Euler Utiliser les formules d’addition du sin et de cos pour déduire une formule d’addition du tan. Rappel : L. Euler 1779. Utiliser la formule précédente pour calculer en prenant et en prenant a=1/2 et b=1/3. Réponse : π/4 = arctan(1/2) + arctan(1/3)

9 De l’intégration par parties à la formule de Taylor-Maclaurin …. (cf. document papier)

10 Et si vous n’avez pas tout compris ce n’est pas grave, vous allez pouvoir travailler à partir des documents papiers…ou encore mieux : consultez le site Calvin /maths/ Wanner / brochures d’Analyse… Thanks for listening & bye-bye! Référence : L’anaylse au fil de l’histoire de E. Hairer & G. Wanner (Springer Verlag)