Maitresse Célestine – août 2011 Les nombres entiersN1 On peut compter les objets un par un : Ou, pour aller plus vite, les regrouper par paquets de 10.

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1 Maitresse Célestine – août 2011 Les nombres entiersN1 On peut compter les objets un par un : Ou, pour aller plus vite, les regrouper par paquets de 10 : Dans notre système de numération, la numération décimale, on regroupe toujours les objets par 10 : 1 objet, c'est 1 unité simple. 10 unités, c'est 1 dizaine. 10 dizaines = 100 unités, c'est 1 centaine. 10 centaines = 100 dizaines = 1000 unités, c'est 1 millier ou 1 unité de mille Et on peut continuer ainsi... Il y a 28 cubes. 8 2 dizaines et 8 objets → 28 objets 1

2 Maitresse Célestine – août 2011 On peut donc utiliser le tableau de numération suivant : - Chaque classe est divisée en trois colonnes : les unités (u), les dizaines (d) et les centaines (c). - On ne peut placer qu'un seul chiffre par colonne.

3 Maitresse Célestine – août 2011 Lire et écrire les nombres entiersN2  Ecrire les nombres entiers en chiffres Lorsqu'on écrit un nombre de plus de trois chiffres, il faut séparer les différentes classes par un espace, en commençant par la droite. Cela rend les nombres plus faciles à lire.  Lire des nombres entiers écrits en chiffre Pour lire un nombre écrit en chiffre, il ne faut pas oublier d'intercaler à chaque espace le nom de la classe correspondante. Exemple : 3 789 se lit „trois mille sept cent quatre vingt neuf“  Ecrire les nombres entiers en lettres Pour écrire l'ensemble des nombres, il faut savoir écrire un certain nombre de mots : Il faut aussi respecter quelques règles : - Le mot mille est invariable. - Cent et vingt ne prennent un s que l'orsqu'ils sont le dernier mot du nombre. - On met un tiret entre chacun des mots du nombre

4 Maitresse Célestine – août 2011 N3Comparer des nombres entiers Pour comparer des nombres, je peux utiliser 3 signes : Il se lit „plus petit que“ 32 < 78 : trente-deux est plus petit que soixante-dix-huit Il se lit „plus grand que“ 80 > 23 : quatre-vingts est plus grand que vingt-trois Il se lit „est égal à“ 80 = 78 + 2 : quatre-vingts est égal à soixante-dix-huit plus deux  Comparer deux nombres - Si deux nombres entiers n'ont pas le même nombre de chiffres, le nombre le plus grand est celui qui a le plus de chiffres. Exemple : 785 > 34 - Si deux nombres entiers ont le même nombre de chiffres, on compare les chiffres un à un de gauche à droite. Dès que l'on rencontre un chiffre différent, on peut trouver quel est le nombre le plus grand. Exemple : On veut comparer 4 562 et 4 539. Le premier chiffre différent est le chiffre des dizaines. Dans 4 562, le chiffre des dizaines est 6. Dans 4 539, le chiffre des dizaines est 3. Donc 4 562 < 4 539  Ranger plusieurs nombres - ordre croissant : on part du plus petit nombre pour aller vers le plus grand. - ordre décroissant : on part du plus grand nombre pour aller vers le plus petit.

5 Maitresse Célestine – août 2011 N4Encadrer des nombres entiers Encadrer un nombre entier, c'est le placer entre deux autres nombres l'un plus grand et l'autre plus petit. Exemple : 100 < 352 < 1 000 352 est plus grand que 100 mais plus petit que 1000. On dit que 352 est compris entre 100 et 1 000. Encradement à la dizaine près : il faut encadrer le nombre entre les deux dizaines les plus proches : Exemple : 350 < 352 < 360 Ecadrement à la centaine près : il faut encadrer le nombre entre les deux centaines les plus proches du nombre : Exemple : 300 < 352 < 400

6 Maitresse Célestine – août 2011 N4 Décomposer des nombres entiers Décomposer un nombre, c'est l'écrire en montrant les différents groupes qu'il contient. On peut écrire la décomposition de différentes manières : 2 436 = 2 000 + 400 + 30 + 6 : 2 milliers, 4 centaines, 3 dizaines, 6 unités 2 436 = 2 000 + 400 + 36 : 2 milliers, 4 centaines, 36 unités 2 436 = 2 000 + 436: 2 milliers, 436 unités 2 436 = (24 x 100) + 36: 24 centaines, 36 unités 2 436 = (243 x 10) + 6: 243 dizaines, 6 unités Ces décompositions permettent de répondre à des questions telles que : « Combien y a-t-il de dizaines dans 2 436 ? » Il y a 243 dizaines parce que 2 436 = (243 x 10) + 6.

7 Maitresse Célestine – août 2011 N5 Chiffre et nombre

8 Maitresse Célestine – août 2011 N6 Les fractions (1)  Définition Une fraction est un nombre qui représente des parties d'entiers (par exemple des parts de gâteaux). Dans une fraction, il y a 2 nombres : Exemple : On a partagé ce rectangle en 8 parties égales et on a colorié de ce rectangle.  A quoi sert une fraction ? On utilise une fraction : - Pour préciser combien de parts égales on prend dans une ou plusieurs unités. L'unité est partagée en 6 parties égales. Chaque partie coloriée représente l'unité divisée par 6. Au total : - Pour désigner un rapport entre deux quantités. Dans un bouquet de 15 fleurs, il y a 5 roses. On dit que le bouquet contient roses, ou bien que les roses représentent du bouquet. - Pour repérer des sous-graduations sur l'axe des nombres.  lire une fraction Dans une fraction, on lit le numérateur normalement, puis le dénominateur auquel on rajoute le suffixe « - IÈME » : « deux » « cinq » « -ièmes »  deux cinquièmes Les dénominateurs 2, 3 et 4 ont un nom particulier : 2  demiun demi, deux demis4  quartun quart, deux quarts 3  tiersun tiers, deux tiers

9 Maitresse Célestine – août 2011 N6 Les fractions (2)  Ranger des fractions par rapport à 1 Certaines fractions sont inférieures à 1. Le numérateur est inférieur au dénominateur. Certaines fractions sont égales à 1.. Le numérateur est égal au dénominateur. Certaines fractions sont supérieures à 1. Le numérateur est supérieur au dénominateur.  Ranger des fractions Si elles ont le même numérateur alors plus le dénominateur est grand, plus la fraction est petite. Si elles ont le même dénominateur alors plus le numérateur est grand, plus la fraction est grande.  Fractions égales Si on divise ou multiplie le numérateur et le dénominateur d'une fraction par le même nombre, on obtient une fraction égale. Une même fraction peut donc s'écrire de nombreuses manières équivalentes.  Décomposer des fractions Dans une fraction, on peut séparer la partie entière (le nombre d'unités) et la partie fractionnée (inférieure à 1). partie entière Partie fractionnée ==

10 Maitresse Célestine – août 2011 N7 Les fractions décimales  Reconnaitre une fraction décimale Une fraction décimale est une fraction dont le dénominateur est un multiple de 10.  Relations entre les fractions décimales Pour passer d'une fraction décimale à une autre, il suffit de multiplier ou de diviser le numérateur et le dénominateur par 10  Décomposer des fractions décimales

11 Maitresse Célestine – août 2011 N8 Les nombres décimaux (1)  Ecrire les nombres décimaux Un nombre décimal peut s'écrire sous forme de fraction ou avec une virgule.  Lire un nombre décimal 15,786 À gauche de la vigule, c'estA droite de la virgule, c'est la partie entière.La partie décimale. Le nombre 15,786 peut se lire de différentes manières : - « quinze virgule sept-cent-quatre-vingts-six » - « quinze et sept-cent-quatre-vingts-six millièmes » - « quinze unités et sept-cent-quatre-vingts-six millièmes »  Placer des nombres décimaux dans un tableau de numération Pour pouvoir écrire les nombres décimaux, il faut rajouter des colonnes à droite du tableau des entiers. On n'écrit pas les zéros à gauche de la partie entière, ni les zéros à droite de la partie décimale.

12 Maitresse Célestine – août 2011 N8 Les nombres décimaux (2)  Décomposer un nombre décimal Un nombre décimal peut être décomposé : - à l'aide de fractions décimales - à l'aide d'une écriture « à virgule »  Ranger des nombres décimaux Ils n'ont pas la même partie entière : Le plus petit est celui qui a la plus petite partie entière. 3,656 < 9,1 parce que 3 < 9 Ils ont la même partie entière : On compare les chiffres après la virgule les uns après les autres, en commençant par les dixièmes. 3,78 < 3,89 parce que 0,7 < 0,8 45, 982 < 45,987 parce que 0,002<0,007

13 Maitresse Célestine – août 2011 C1 L'addition des nombres entiers  A quoi sert l'addition ? - On effectue une addition pour réunir deux ou plusieurs collections d'objets, longueurs, … - On effectue une addition pour ajouter des objets à une collection d'objets. - On effectue une addition pour avancer sur la file numérique. Lorsqu'on effectue une addition, on calcule une somme.  Technique de calcul posé  Propriété de l'addition On peut additionner les nombres entiers dans l'ordre que l'on veut. Cela permet de simplifier les calculs en ligne. Exemple : 14 + 27 + 6 14 + 27 est difficile à effectuer de tête, on commence par effectuer 14+6 = 20 puis on calcule 20+ 27 = 47  6 plus 8 … égale 14. 14 c'est 1 dizaine et 4 unités. On écrit 4 dans la colonne des unités et on retient 1 dans la colonne des dizaines.  1 plus 2 plus 2... égale 3. 4

14 Maitresse Célestine – août 2011 C2 La table d'addition

15 Maitresse Célestine – août 2011 C3 La soustractiondes nombres entiers  A quoi sert la soustraction ? On effectue une soustraction pour : - Chercher ce qui reste quand on enlève, on retire, on perd des objets d'une collection. J'avais 38 billes. J'en ai perdu 15, il m'en reste 38 – 15, soit 23. - Chercher ce qu'on a enlevé. Il y avait 38 billes dans le sac. Il en reste 15. On en a enlevé 38 – 15, soit 23. Chercher ce qui manque pour compléter une collection. J'ai 58 billes. Je voudrais en avoir 92. Il m'en manque 92 – 58, soit 34. - Reculer sur la file numérique : 300 – 15 = 285 - Calculer un écart. J'ai 12 ans, tu en as 8. Nous avons 12 – 8, soit 4 ans d'écart. Lorsqu'on effectue une soustraction, on calcule une différence.  Technique de calcul posé : la technique de l'emprunt Quand on pose une soustraction, il faut toujours placer le nombre le plus grand en haut. 285 - 15 3008 - 4 12  Dans la colonne des unités : 9 – 8 = 1  Dans la colonne des centaines : 5 – 7 = ? → Je ne sais pas le calculer. J'emprunte 1 centaine mais comme 1 centaine vaut 10 dizaines, je calcule 15 – 7 = 8  Il me reste 5 centaines car 6 – 1 = 5 Donc je calcule 5 – 5 = 0

16 Maitresse Célestine – août 2011  Technique de calcul posé : la technique de l'écart constant Quand on pose une soustraction, il faut toujours placer le nombre le plus grand en haut.  Dans la colonne des unités : 5 – 8 = ? → Je ne sais pas le calculer. J'ajoute 10 unités à 6 085, et comme 1 dizaine = 10 unités, j'ajoute 1 dizaine à 5 378. 15 – 8 = 7  Dans la colonne des dizaines : 8 – (7 + 1) = 8 – 8 = 0  Dans la colonne des centaines : 0 – 3 = ? → Je ne sais pas le calculer. J'ajoute 10 centaines à 6 085, Et comme 1 millier = 10 centaines, J'ajoute 1 millier à 5378 10 – 3 = 7  Dans la colonne des unités de mille : 6 – (5 + 1) = 6 – 6 = 0  Propriété de la soustraction On ne peut pas effectuer une soustraction dans l'ordre qu'on veut, on doit toujours placer le nombre le plus grand en premier.

17 Maitresse Célestine – août 2011 C4 La table de soustraction Attention - On ne peux utiliser cette table que dans le sens de la flèche ! - On ne sait pas calculer les résultats des cases grisées.

18 Maitresse Célestine – août 2011 C5 La multiplication des nombres entiers  A quoi sert la multiplication ? On utilise la multiplication pour : - Dénombrer une collection d'objets On a 3 rangées de 6, ou 6 colonnes de 3. On écrit6 x 3 = 3 x 6 - Calculer la somme de plusieurs nombres égaux 15 + 15 + 15 + 15 + 15 + 15 + 15 = 15 x 7 = 105 ou 7 x 15 = 105. 3 tablettes de 24 carrés de chocolat : 24 + 24 + 24 = 3 x 24 = 72 carrés. - Calculer le prix d'un nombre d'objets de même valeur. x12x12  Multiplier un nombre par 10, 100, ou 1 000 13 x 10 = 130 Pour trouver le résultat d'une multiplication par 10, il suffit de noter le nombre et d'ajouter le zéro du 10 à droite. 23 x 100 = 2 300 Pour trouver le résultat d'une multiplication par 100, il suffit de noter le nombre et d'ajouter les deux zéros du 100 à droite. 34 x 1 000 = 34 000 Pour trouver le résultat d'une multiplication par 1 000, il suffit de noter le nombre et d'ajouter les zéros de 1 000 à droite. Multiplier un nombre par un multiple de 10, 100 ou 1000 13 x 20 = (13 x 2) x 10 = 26 x 10 = 260 Comme 20 = 2 x 10, je multiplie le nombre par 2 puis par 10. 7 x 300 = (7 x 3) x 100 = 21 x 100 = 2 100 Comme 300 = 3 x 100, je mulpilie le nombre par 3 puis par 100. 4 x 4 000 = (4 x 4) x 1 000 = 16 x 1 000 = 16 000 Comme 4 000 = 4 x 1 000, je multiplie le nombre par 4 puis par 1 000.

19 Maitresse Célestine – août 2011  5 x 4 = 20 Je pose le 0 et je retiens 2 dans la colonne des dizaines.  4 x 8 = 32 J'ajoute les 2 dizaines retenues : 32 + 2 = 34 Je pose le 4 et je retiens 3 dans la colonne des centaines.  4 x 0 = 0 J'ajoune les 3 centaines retenues : 0 + 3 = 3  4 x 6 = 24  Technique de calcul posé : la multiplication en colonne par un nombre à 1 chiffre 6085 x 4 = ?  Techinique de calcul posé : le tableau - On décompose chaque nombre puis on calcule le produit dans chaque case. - On calcule la somme de tous les produits.

20 Maitresse Célestine – août 2011 Première étape : 64 x 3 = ?  4 x 3 = 12 Je pose le 2 dans la colonne des unités et je retiens 1 dans la colonne des dizaines.  3 x 6 = 18 J'ajoute la dizaine retenue : 18 + 1 = 19 Deuxième étape : 64 x 20 = ?  Je pose un zéro dans la colonne des unités  2 x 4 = 8 Je pose 8 dans la colonne des dizaines.  2 x 6 = 12 Troisième étape : J'additionne les deux lignes. 64 x 23 = ? 64 x 3 = 192 64 x 20 = 1280 64 x 23 = 1472  Techinique de calcul posé la multiplication en colonne par nombre à 2 chiffres ou plus 23 = 20 + 3 Je dois donc calculer 63 x 3 puis 63 x 20.

21 Maitresse Célestine – août 2011 C6 Les tables de multiplication

22 Maitresse Célestine – août 2011 C7 La division euclidienne *Division euclidienne signifie « division avec reste ».  A quoi sert la division ? On utilise la division euclidienne pour : - Traduire une distribution en parts égales On connait ce qu'on a à distribuer (c'est le dividende) et à combien de personnes on le distribue (c'est le diviseur). On cherche ce que chacun recevra (c'est le quotient) et ce qu'on ne peut plus distribuer (c'est le reste). Exemple : On veut distribuer 58 bonbons à 5 enfants en parts égales. Combien chacun en recevra-t-il ? On écrit : 58=(5x 11) + 3 - Traduire un partage en parts égales On connait ce qu'on a à partager (c'est le dividende) et combien on fait de parts (c'est le diviseur). On cherche le contenu de chaque part (c'est le quotient) ou ce qu'on ne peut plus partager (c'est le reste). Exemple : On veut distribuer 74 bonbons par paquets de 6. A combien d'enfants peut-on distribuer un paquet de 6 bonbons ? On écrit : 74=(6x12) +2 dividendediviseurquotientreste

23 Maitresse Célestine – août 2011 - traduire un déplacement par bond réguliers sur une file numérique Exemple : Je pars de 0 et je veux atteindre 43. Combien de bonds de 5 dois-je faire ? J'ai fait 8 bonds de 5 et 3 pas. On écrit : 43 = (5 x 8) + 3 Exemple : Je pars de 165 et je veux atteindre 0 en faisant des bonds de 25. Combien de bonds vais-je faire ? J'ai fait 6 bonds de 25 et 15 pas. On écrit : 165 = (25 x 6) + 15  Technique de calcul posé  Y'a-t-il 6 dans 3 ? Non, donc je prends 34. Mon quotient aura 2 chiffres.  Combien de fois 6 dans 34 ? 6 x 5 < 34 < 6 x 6 donc il y a 5 fois 6 dans 34. J'ecris 5 au quotient. Je retire 6 x 5 = 30, il reste 4. J'abaisse le 5.  Combien de fois 6 dans 45 ? 6 x 7 < 45 < 6 x 8 donc il y a 7 fois 6 dans 45. J'ecris 5 au quotient. Je retire 6 x 5 = 30, il reste 4. 345 = ( 6 x 57) + 3

24 Maitresse Célestine – août 2011 C8 L'addition des nombres décimaux  A quoi sert l'addition ? Dans la vie courante, on a souvent besoin d'additionner des nombres décimaux : - pour exprimer des mesures de longueurs, d'aires, de volumes, de masses - pour donner le prix d'un objet. On retrouve pour les nombres décimaux toutes les situations d'addition que l'on avait rencontrées avec les nombres entiers.  Technique de calcul posé Comme pour les nombres entiers, on peut utiliser la technique de l'addition posée en colonnes : On place les unités sous les unités, les dizaines sous les dizaines,..., les dixièmes sous les dixièmes, les centièmes sous les centièmes. On place les virgules les unes sous les autres. On effectue l'addition comme avec les entiers, en faisant attention aux retenues. Dans le résultat, on place la virgule sous les autres virgules.  Propriété de l'addition On peut additionner les nombres décimaux dans l'ordre que l'on veut. Cela permet de simplifier les calculs en ligne. Exemple : 14,5 + 27, 75 + 5,5 14,5 + 27,75 est difficile à effectuer de tête, on commence par effectuer 14,5 + 5,5 = 20 puis on calcule 20 + 27,75 = 47,75 Pour avoir le même nombre de chiffre dans la partie décimale des nombres, on peut ajouter un zéro.

25 Maitresse Célestine – août 2011 C9 La soustraction des nombres décimaux  A quoi sert la soustraction ? On retrouve toutes les situations de soustraction que l'on avait rencontrées avec les nombres entiers : - Chercher ce qui reste. Exemple : J'avais 15,50 €. J'ai dépensé 3,35 €. Combien me reste-t-il ? - Chercher ce qu'on a enlevé. Exemple : Il y avait 1,5 L d'eau dans la bouteille. Il reste 0,8 L. Combien a-t-on enlevé ? - Chercher ce qui manque. Exemple : Il me faut 2,5 kg de sucre. J'ai déjà 1,6 kg. Combien me manque-t-il ? - Calculer un écart. Exemple :Je mesure 1,45 m. Mon frère mesure 1,23 m. Je le dépasse de combien ?  Technique de calcul posé - On place les unités sous les unités, les dizaines sous les dizaines,..., les dixièmes sous les dixièmes, les centièmes sous les centièmes. - On place les virgules les unes sous les autres. - On effectue la soustraction comme avec les entiers, en faisant attention aux retenues. - Dans le résultat, on place la virgule sous les autres virgules.  Propriété de la soustraction On ne peut pas effectuer une soustraction dans l'ordre qu'on veut, on doit toujours placer le nombre le plus grand en premier. Pour avoir le même nombre de chiffre dans chaque des nombres, on peut ajouter un zéro.

26 Maitresse Célestine – août 2011 C9 La multiplication des nombres décimaux  A quoi sert la multiplication ? La multiplication des décimaux a la même utilité que la multiplication des entiers. Exemples : - Calculer l'aire d'un rectangle qui a pour mesures L =2,5 cm et l = 1,5 cm. - Calculer le prix de plusieurs objets de même prix : 1 cahier coute 1,80 €. J'ai acheté 5 cahiers. Combien dois-je payer ? - Calculer le prix d'une fraction de l'unité : La côte de bœuf coute 13,50 € le kg. J'en achète 0,750 kg. Combien dois-je payer ? - Calculer le total d'une quantité qui se répète : Une allumette mesure 4,7 cm. Combien mesurent 16 allumettes mises bout à bout ?  Technique calcul posé Pour multiplier avec des décimaux, on utilise les propriétés de la multiplication : multiplier par 10 équivaut à déplacer la virgule d'un chiffre vers la droite (et inversement pour la division). Il suffit donc de multiplier les décimaux par 10, 100, etc. pour faire « disparaitre » la virgule, et de diviser par le même nombre le résultat en fin de calcul.  On effectue la multiplication comme s'il n'y avait pas de virgule : 6,82 a deux chiffres après la virgule et 1,5 a un chiffre après la virgule, le résultat sera donc 1 000 fois trop grand.  On replace la virgule dans le résultat. On divise le résultat par 1 000, ce qui correspond à 3 chiffres après la virgule. donc 6,82 x 1,5 = 10, 230

27 Maitresse Célestine – août 2011  Multiplier un nombre décimal par 10, 100, 1 000 1,3 x 10 = 1,3 Pour trouver le résultat d'une multiplication d'un nombre décimal par 10, il suffit de décaler la virgule d'un rang vers la droite. 2,38 x 100 = 238 Pour trouver le résultat d'une multiplication d'un nombre décimal par 100, il suffit de décaler la virgule de deux rangs vers la droite. 34,78 x 1 000 = 34 780 Pour trouver le résultat d'une multiplication d'un nombre décimal par 1 000, il suffit de décaler la virgule de trois rangs vers la droite. Il ne faut pas oublier que l'on peut toujours ajouter des zéros à droite de la partie décimale d'un nombre sans le modifier ! Multiplier un nombre par 0,1 ; 0,01 ou 0,001 135 x 0,1 = 13,5 Multiplier un nombre par 0,1 équivaut à diviser ce nombre par 10. Pour trouver le résultat d'une multiplication par 0,1, on décale la virgule d'un rang vers la gauche. 238 x 0,01 = 2,38 Multiplier un nombre par 0,01 équivaut à diviser ce nombre par 100. Pour trouver le résultat d'une multiplication par 0,01, on décale la virgule de deux rangs vers la gauche. 3478 x 0,001 = 3,478 Multiplier un nombre par 0,001 équivaut à diviser ce nombre par 1 000. Pour trouver le résultat d'une multiplication par 0,001, on décale la virgule de trois rangs vers la gauche. Il ne faut pas oublier que l'on peut toujours écrire un nombre entier sous la forme d'un nombre décimal : 34 = 34,0 !

28 Maitresse Célestine – août 2011 C10La division décimale  Le sens de la division décimale Dans certaines situations de division, on doit diviser aussi le reste. Dans ce cas, le quotient contiendra des fractions, il sera donc décimal. Exemple : On veut partager 6 gâteaux entre 4 personnes. 6 = (4 x 1) +2 donc chaque personne aura 1 tarte entière (division euclidienne). Si on partage les 2 tartes restantes en 4 parts égales : chacun aura de tarte (fraction). donc chaque personne aura 1,5 tartes On écrit6 : 4 = 1,5 : est le signe de la division décimale.  Technique de calcul posé Il s'agit de la même technique que la division euclidienne, mais cette fois, au lieu de s'arrêter quand le reste est inférieur au diviseur, on continue à diviser jusqu'à ce qu'il reste 0. Parfois, la division ne s'arrête pas. Dans ce cas, on écrit un quotient approché. 25 : 3 = 8, 3333333... On s'arrête avant que le reste ne soit égal à 0.  On effectue la division euclidienne : 345 = (86 x 4) + 1  On divise le reste : On place une virgule au quotient. On abaisse zéro dixièmes. En 10, combien de fois 4 ? 2 fois, reste 2. On abaisse zéro centièmes. En 20, combien de fois 4 ? 5 fois, reste 5. Le reste vaut 0, on a terminé. Donc 345 : 4 = 86,25

29 Maitresse Célestine – août 2011 G1Points, droites et segment  Le point Un point est un endroit précis du plan. On le repère avec une croix ( x ). On le nomme avec une lettre majuscule.  La ligne et la droite Une ligne est une suite de points qui ne s'arrête pas. On la trace sans lever le crayon. une ligne peut être courbe : Une ligne peut être droite. Dans ce cas, on la trace avec une règle. On nomme une droite entre parenthèses, soit avec une lettre minuscule, soit avec le nom de deux de ses points  Le segment Un segment est une portion de droite limitée par deux points appelés extrémités. On nomme un segment à l'aide du nom de ses extrémités, entre crochets.  Une intersection On appelle intersection le point où deux objets (droite, segment,...) se croisent (se coupent). Le point d'intersection appartient aux deux objets à la fois. A B C D A B (d) On peut appeler cette droite : (d) ou (AB) A B C D Le segment [AD] Le segment [BC] (d) A B I

30 Maitresse Célestine – août 2011 G2Les outils en géométrie  La règle La règle permet de tracer des droites et des segments. Pour tracer une droite passant par deux points, il faut placer la règle juste en-dessous des deux points et tracer sans la faire bouger.  L'équerre Avec une équerre, on peut : - vérifier qu'un angle est droit (voir G3 et G13) - construire un angle droit.  Le compas Le compas sert à : - dessiner des cercles ou des arcs de cercle - reporter des longueurs.  Le parier calque et le gabarit Le calque sert à reproduire un dessin ou à comparer des figures. Un gabarit, c'est un modèle de l'objet que l'on veut reproduire, découpé dans une feuille de papier épais. Il permet de reproduire la même forme autant de fois que l'on veut.

31 Maitresse Célestine – août 2011 G3Les droites perpendiculaires  Définition Deux droites sont perpendiculaires quand elles se coupent en formant un angle droit (voir G ). On vérifie qu'un angle est droit avec une équerre.  Tracer des droites perpendiculaires On veux tracer la droite perpendiculaire à la droite (d1) et passant par le point A. (d 1 ) 1) Je place la règle sur la droite (d 1 ). A (d 1 ) 2) Je place un côté de l'équerre sur la règle. A (d 1 ) 3) Je fais glisser l'équerre sur la règle, jusqu'à ce que le deuxième côté de l'angle droit passe par le point A. A (d 1 ) 4) Je trace la droite perpendiculaire. A (d 1 ) 5) Je prolonge la droite perpendiculaire. Je marque l'angle droit. A (d 2 ) La droite (d2) est perpendiculaire à (d1) et passe par A.

32 Maitresse Célestine – août 2011 G3Les droites parallèles  Définition Deux droites sont parallèles quand elles ne se coupent jamais, même si on les prolonge au-delà de la feuille.  Tracer des droites parallèles On veux tracer la droite parallèle à la droite (d1) et passant par le point A. (d 1 ) 1) Je place un côté de l'équerre sur la droite (d 1 ). A 2) Je place la règle sur l'autre côté de l'équerre. A 3) Je fais glisser l'équerre sur la règle, jusqu'à ce que le deuxième côté de l'angle droit passe par le point A. 4) Je trace la droite parallèle. 5) Je prolonge la droite parallèle. (d 2 ) La droite (d2) est parallèle à (d1) et passe par A. (d 1 ) A A A

33 Maitresse Célestine – août 2011 G5Les polygones  Définition Un polygone est une figure fermée, composée uniquement de segments.  Le nom des polygones Ces figures sont des polygones.

34 Maitresse Célestine – août 2011 GLes quadrilaatères  Définitions Les quadrilatères ont : - 4 côtés, - 4 sommets, - 4 angles - 2 diagonales  Les familles de quadrilatères quadrilatères 4 côtés 2 côtés parallèles trapèzes parallélogrammes Les côtés opposés sont parallèles 2 à 2. 4 angles droits rectangles 4 côtés égaux losanges carrés

35 Maitresse Célestine – août 2011 GLe carré  Propriétés Le carré a 4 côtés : c'est un quadrilatère. Le carré a : - ses côtés opposés sont parallèles : c'est un parallélogramme. - tous ses côtés ont la même longueur : c'est un losange. - ses 4 angles sont droits : c'est un rectangle. Les diagonales du carré : - ont la même longueur, - sont perpendiculaires, - et se coupent en leur milieu.  Construction d'un carré  Avec une règle et une équerre :  je trace un segment, je mesure sa longueur avec la règle,  je trace la perpendiculaire au segment à une extrémité, je mesure la même longueur,  je recommence pour les deux autres côtés du carré.  Avec le compas, la règle et l'équerre :  je trace un cercle,  je trace deux diamètres perpendiculaires du cercle,  je relie les extrémités des diamètres.  Avec la règle, l'équerre et le compas :  je trace un segment, je mesure sa longueur avec la règle,  je trace la perpendiculaire au segment à une extrémité,  je reporte la longueur du segment avec le compas,  je reporte à nouveau la longueur en partant de chaque extrémité déjà tracée,  je relie les extrémités reportées.

36 Maitresse Célestine – août 2011 GLe rectangle  Propriétés Le rectangle a 4 côtés : c'est un quadrilatère. Le rectangle a : - ses côtés opposés parallèles deux à deux : c'est un parallélogramme. - ses côtés opposés de même longueur : - le côté le plus long s'appelle longueur (L), - le côté le plus court s'appelle largeur ( l ). - ses 4 angles sont droits Les diagonales du rectangle : - ont la même longueur, - se coupent en leur milieu, - ne sont pas perpendiculaires.  Construction d'un carré  Avec une règle et une équerre :  je trace un segment, je mesure la longueur avec la règle,  je trace la perpendiculaire au segment à une extrémité, je mesure la largeur,  je recommence pour les deux autres côtés du rectangle.  Avec un compas, une règle et une équerre :  je trace un cercle,  je trace deux diamètres du cercle,  je relie les extrémités des diamètres.  Avec une règle, une équerre et un compas :  je trace un segment, je mesure sa longueur avec la règle,  je trace la perpendiculaire au segment à une extrémité,  je reporte la largeur du segment avec le compas,  je reporte à nouveau la longueur en partant de chaque extrémité déjà tracée,  je relie les extrémités reportées. longueur largeur

37 Maitresse Célestine – août 2011 GLe losange  Propriétés Le losange a 4 côtés : c'est un quadrilatère. Le losange a : - ses côtés opposés parallèles deux à deux : c'est un parallélogramme. - ses 4 côtés ont la même longueur Les diagonales du losange : - se coupent en leur milieu, - sont perpendiculaires.  Construction d'un losange

38 Maitresse Célestine – août 2011 GTrapèze et parallélogramme  Propriétés  Construction d'un trapèze  Construction d'un parallélogramme

39 Maitresse Célestine – août 2011 GLes triangles  Propriétés Le triangle est un polygone à 3 côtés. Le triangle a aussi 3 sommets. Quand on trace un triangle sans se soucier de sa forme ou de la longueur de ses côtés, on dit qu'il s'agit d'un triangle quelconque.  Triangles particuliers Triangle isocèle : Un triangle isocèle est un triangle qui a DEUX côtés de même longueur. Le triangle équilatéral : Un triangle équilatéral est un triangle qui a TROIS côtés de même longueur. Le triangle rectangle : Un triangle rectangle est un triangle qui a un angle droit (On l'appelle ainsi parce qu'il forme la moitié d'un rectangle).

40 Maitresse Célestine – août 2011  Construire la hauteur d'un triangle

41 Maitresse Célestine – août 2011 GLe cercle  Définitions - Un cercle est l'ensemble des points situés à la même distance d'un point appelé centre. - On appelle rayon un segment qui relie le centre et un point du cercle. - On appelle diamètre une corde qui passe par le centre. La mesure du diamètre est le double de celle du rayon. - On appelle corde un segment qui relie deux points du cercle. - Un arc de cercle est une portion de cercle délimitée par deux points.  Construction

42 Maitresse Célestine – août 2011 GLes solides  Définitions Un solide est un objet en volume. Un solide présente des faces, des arêtes et des sommets. Les faces d'un solide peuvent être planes ou courbes.  Construction

43 Maitresse Célestine – août 2011 GLes solides  Définitions Un solide est souvent constitué de faces planes, qu'il est possible de représenter sur une feuille de papier. Un patron est le dessin des faces d'un solide, qui permet par pliage de reconstruire ce solide. ATTENTION : Certains solides, comme la sphère, ne peuvent pas être représentés par un patron.  Le patron du cube Un cube est constitué de 6 faces carrées identiques. Pour construire son patron, il faut « déplier » le cube pour représenter les 6 carrés à plat. Voici le patron du cube : Mais d'autres patrons sont possibles :

44 Maitresse Célestine – août 2011  Le patron du pavé droit Un pavé droit est constitué de 6 faces rectangulaires. Pour construire son patron, il faut « déplier » le pavé droit pour représenter les 6 carrés à plat. Voici le patron du pavé droit : Mais d'autres patrons sont possibles :  Le patron d'une pyramide à base carrée

45 Maitresse Célestine – août 2011  Le patron du cylindre  Le patron du prisme A base triangulaireA base hexagonale

46 Maitresse Célestine – août 2011 GLes angles  Définitions - Un angle est une mesure de l'ouverture entre deux segments de même extrémité (les côtés de l'angle). On mesure l'ouverture d'un angle en degrés (°). - Un angle droit mesure 90°. - Un angle aigu mesure moins de 90°. - Un angle obtus mesure plus de 90°. - Un angle plat mesure 180°.  Comparer des angles Pour comparer deux angles : Par pliage ou découpage, on construit un gabarit, qui a la même ouverture que l'angle 1. On pose le gabarit sur l'angle 2. On voit si l'angle 2 est plus petit, plus grand ou égal a l'angle 1. Pour savoir si un angle est droit, on utilise un gabarit particulier : l'équerre.

47 Maitresse Célestine – août 2011 GLa symétrie  Axe de symétrie - Quand une figure géométrique peut être pliée, le long d'une droite, en deux parties superposables, on dit que cette figure est symétrique par rapport à la droite. - On appelle cette droite axe de symétrie de la figure. - Une même figure peut avoir plusieurs axes de symétrie.  Symétrique d'une figure par rapport à une droite - Tracer le symétrique d'une figure par rapport à une droite, c'est compléter la figure pour que la droite devienne axe de symétrie de l'ensemble. - La figure symétrique est l'image de la figure de départ (comme dans un miroir). Sur un quadrillage : On peut construire l'image de chaque point en comptant les carreaux entre le point et l'axe de symétrie. L'image se trouve alors au même nombre de carreaux de l'autre côté de l'axe. Sur papier blanc : Pour chaque point, il faut construire l'image en traçant la perpendiculaire à l'axe de symétrie passant par le point. Il faut ensuite reporter la distance du point à l'axe de l'axe à l'image.

48 Maitresse Célestine – août 2011 GRéduire / Agrandir une figure  Réduire une figure Réduire une figure, c'est diviser toutes ses longueurs par le même nombre.  Agrandir une figure Agrandir une figure, c'est multiplier toutes ses longueurs par le même nombre.

49 Maitresse Célestine – août 2011 GRepérage dans le plan Pour se repérer sur un quadrillage, on utilise un code que l’on appelle les coordonnées.  Je peux utiliser les cases du quadrillage.  Je peux utiliser les noeuds du quadrillage. Pour dire où se trouve un objet dans un quadrillage, je donne la lettre de la colonne où il se trouve puis le numéro de la ligne. ABCD 1 2 3 4

50 Maitresse Célestine – août 2011 GProgramme de construction  Qu'est-ce qu'un programme de construction ? Un programme de construction est un texte qui donne des instructions pour tracer précisément une figure géométrique. Exemple : Tracer un cercle C de centre O. Tracer un diamètre [AB].  Lire un programme de construction. - Un programme de construction est un texte de géométrie : il utilise le vocabulaire de géométrie. Il faut s'assurer de bien comprendre tous les mots. - Il faut suivre les instructions dans l'ordre où elles sont écrites. - Avant de tracer précisément, on doit faire un brouillon. On essaie de suivre le programme, rapidement, à main levée. Cela permet de voir si on a bien compris toutes les étapes, d'avoir une idée de la figure à tracer et de savoir de quels outils on va avoir besoin. Exemple : Tracer 3 points P, Q, R distincts. Exemple : Tracer un carré ABCD de côté 4 cm. Tracer le point M, milieu de [AB]. Tracer le point N, milieu de [CD]. Tracer le segment [MN]. Exemple : Tracer une droite (d). Placer un point A sur la droite (d). Tracer la droite (e), perpendiculaire à (d) et passant par A. Placer le point B sur la droite (e), tel que AB = 5 cm. Tracer le cercle de centre A et de rayon AB.