Programmation linéaire et Recherche opérationnelle

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1 Programmation linéaire et Recherche opérationnelle
Licence d’Econométrie Professeur Michel de Rougemont

2 Programmation linéaire et Recherche opérationnelle
Introduction Contraintes linéaires en Economie Optimisation Complexité, Approximation, Stabilité Programmation linéaire Simplex Simplex à deux phases Dualité Simplex révisé et dual Recherche Opérationnelle Problèmes de flots et de réseaux NP-complétude et approximation Jeux et Equilibres Programmation linéaire complémentaire

3 Contraintes linéaires en Economie
Exemples de contraintes linéaires. Maximisation et Minimisation de fonctions. Incertitude. Complexité. Approximation. Bases de l’algèbre linéaire.

4 Introduction au Simplex
Résolution d’un système linéaire de maximisation: Introduction de variables d’écart Solution initiale Itération pour augmenter la valeur de la solution. Terminaison

5 Exemple d’itération

6 Itérations possibles Augmentons Les contraintes sont :
Nouvelle solution:

7 Nouveau système Substituons

8 Itération 2 Augmentons Les contraintes sont: Nouveau système:
La valeur z ne peut plus être augmentée: optimum.

9 Méthode générale Mise sous forme normale. Itération:
Choix d’un pivot qui augmente la solution. Détection de l’optimum ou d’infaisabilité Problèmes possibles: Solution non bornée Infaisabilité Cycles Solution initiale

10 Difficultés du Simplex
Initialisation : peut-on toujours trouver une solution initiale? Itération : peut-on toujours itérer? Terminaison : les itérations terminent-elles toujours?

11 Systèmes et Tableaux Dictionnaire: Forme équivalente:

12 Tableaux 2 3 1 5 4 11 8 1 3/2 1/2 5/2 -5 -2 -1/2 -3/2 -7/2 -5/2 -25/2

13 Itération de Tableaux 2 3 1 5 4 11 8 1 3/2 1/2 5/2 4 2 11 3 8 5
5 4 11 8 Colonne du pivot : Max cj Ligne pivot : Min s/r Pivot =2 Diviser ligne pivot par le pivot 1 3/2 1/2 5/2 4 2 11 3 8 5

14 Itération de Tableaux 1 3/2 1/2 5/2 -5 -2 3 4 2 8 5
Soustraire à chaque ligne un multiple de la ligne pivot (0 apparaît sur la colonne Pivot) Ligne 2 – 4.ligne 1 1 3/2 1/2 5/2 -5 -2 3 4 2 8 5

15 Tableau 2 1 3/2 1/2 5/2 -5 -2 -1/2 -3/2 -7/2 -5/2 -25/2 1 3/2 1/2 5/2
5/2 -5 -2 -1/2 -3/2 -7/2 -5/2 -25/2 1 3/2 1/2 5/2 -5 -2 -1/2 -3/2 -7/2 -5/2 -25/2

16 Itération 1 3/2 1/2 5/2 -5 -2 -1 -3 2 -7/2 -5/2 -25/2 1 2 -1 -5 -2 -3
5/2 -5 -2 -1 -3 2 -7/2 -5/2 -25/2 Faire apparaître 0 dans la colonne du pivot: 1 2 -1 -5 -2 -3 -13 Optimum atteint.

17 Interprétation géométrique
Contrainte sur n variables : hyperplan de dimension n Dimension 2 : droites Dimension 3 : plans

18 Interprétation géométrique
X1 rentre X5 sort

19 Interprétation géométrique
X2 rentre X3 sort

20 Interprétation géométrique
X5 rentre X4 sort

21 Interprétation géométrique
Optimum

22 Difficultés d’itération
Itération : peut-on toujours itérer? Solution non bornée Itération dégénérée Cycle Solution non bornée: entre dans la base : seule borne est Solution z arbitraire !

23 Itération dégénérée entre dans la base. Seule contrainte est:
sort de la base (au choix). On obtient:

24 Itération dégénérée Solution dégénérée car Equation 2 impose:

25 Itération dégénérée Solution identique à la précédente!
L’itération est dégénérée. Remarque: l’itération suivante est aussi dégénérée et la suivante est optimale.

26 Cycles

27 Cycles

28 Cycles Chaque itération est dégénérée.

29 Initialisation Solution faisable, Dictionnaire faisable?
Problème auxiliaire:

30 Initialisation Infaisable: Pivot : Faisable:

31 Initialisation Pivot : Optimum : Dictionnaire d’origine:

32 Initialisation générale
Etape 1 : Etape générale : simplex Terminaison:

33 Interprétation géométrique de l’initialisation
Le point (0,0,…0) n’est pas dans le polytope. Trouver un autre point en ajoutant -x0 pour être sur de trouver une solution.

34 Interprétation géométrique de l’initialisation
Contraintes sont:

35 Interprétation géométrique de l’initialisation
Ecrire les contraintes avec x0

36 Interprétation géométrique de l’initialisation
Ecrire les contraintes avec x0

37 Interprétation géométrique de l’initialisation
Dictionnaire infaisable: x0 entre et x4 sort (b minimum)

38 Interprétation géométrique de l’initialisation
Dictionnaire : x1 rentre et x0 sort Optimum X0=0 donc faisable

39 Interprétation géométrique de l’initialisation
Dictionnaire global

40 Simplex à deux phases Phase 1 : résolution du problème auxiliaire.
Phase 2 : résolution du problème original. Théorème fondamental. Pour chaque problème LP: Soit le problème est infaisable Soit le problème n’est pas borné Soit le problème a une solution optimale

41 Simplex révisé Représentation compacte d’un dictionnaire.
Forme Matricielle:

42 Dualité Estimation de z > a z>5 avec (0,0,1,0)
…. Estimation de z <b ? Quel est le témoin?

43 Dualité Montrons que z <275/3 2nd contrainte . 5/3 Donc z <275/3

44 Dualité 2nd contrainte +3ème contrainte Donc z <58
Méthode systématique.

45 Dualité Conditions pour que le membre gauche >

46 Dualité On obtient donc: