1 Chapitre 2 La numération binaire. 2 Chapitre 2 : La numération binaire Introduction 1 - Le système binaire 2 - La conversion des nombres entiers 2.1.

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1 1 Chapitre 2 La numération binaire

2 2 Chapitre 2 : La numération binaire Introduction 1 - Le système binaire 2 - La conversion des nombres entiers 2.1 - Base 2 vers base 10 2.2 - Base 10 vers base 2 ✔ Par divisions successives ✔ Par soustractions successives 2.3 - Opérations binaires (Addition, Soustraction, Multiplication, Division)

3 3 IntroductionIntroduction Les systèmes informatiques sont construits à l’aide de circuits intégrés qui rassemblent sur une puce de silicium plusieurs millions de transistors. Transistor qui fonctionne selon une logique à 2 états : ✔ Le courant ne passe pas (0) ✔ Le courant passe (1) ✔ Toute information à traiter devra donc pouvoir être représentée sous une forme assimilable par la machine, et donc sous une forme binaire.

4 4 IntroductionIntroduction Ne pas confondre : La façon dont l'information est physiquement transmise – C'est l'encodage 1 0 1 1 0 0 1 0 +v Et : La façon dont l'information est organisée logiquement – C'est le codage Aujourd'hui on vas étudier le codage

5 5 IntroductionIntroduction Un langage, c’est : un alphabet : ensemble de symboles utilisés – des mots, des phrases : combinaisons des éléments (des lettres) de l’alphabet – une syntaxe : ensemble de règles qui définissent comment construire ces mots et ces phrases

6 6 IntroductionIntroduction Prenons le système décimal La base 10, on l’utilise tous les jours ! Alphabet : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 Mots : 2.856, 45,... Syntaxe : c’est un code de position. Cela signifie que la valeur d’un chiffre dépend de sa position dans le nombre : son rang. – (ex: 2.856 est différent de 8.652, pourtant se sont les mêmes symboles qui sont utilisés)

7 7 IntroductionIntroduction Le rang : position d’un chiffre dans un nombre, le rang se compte en partant de la droite, à partir du rang 0. 2 8 6 5 RANG 3 2 1 0 POIDS 1.000 100 10 1 VALEUR = (2 x 1.000) + (8 x 100) + (6 x 10) + (5 x 1) 2.000 + 800 + 60 + 5 = 2.865 x (multiplication) Le poids : A chaque rang est associé un poids, c’est à dire le coefficient par lequel il faudra multiplier le chiffre pour obtenir sa valeur réelle.

8 8 IntroductionIntroduction On peut en déduire une formule qui lie le poids et le rang Si on reprend l’exemple précédent, POIDS = BASE RANG RANG 3 2 1 0 (2 x 10 3 ) + (8 x 10 2 ) + (6 x 10 1 ) + (5 x 10 0 ) = 2.865 2 8 6 5 POIDS 1.000 100 10 1 10 3 10 2 10 1 10 0 Pour le système décimal Base = 10 donc POIDS = 10 RANG POIDS = 10 1 = 10 POIDS = 10 0 = 1

9 9 Chapitre 2 : La numération binaire Introduction 1 - Le système binaire 2 - La conversion des nombres entiers 2.1 - Base 2 vers base 10 2.2 - Base 10 vers base 2 ✔ Par divisions successives ✔ Par soustractions successives 2.3 - Opérations binaires (Addition, Soustraction, Multiplication, Division) 3 - La conversion des nombres fractionnaires

10 1010 1 – Le système binaire Alphabet : 0, 1 Mots : 10.101, 101 Syntaxe : code de position Base 2 : Poids = 2 RANG Notation des nombres ● n 2 ex: (1.001) 2 pour un nombre en base 2 ● n 10 ex: (9) 10 pour un nombre en base 10

11 1 Chapitre 2 : La numération binaire Introduction 1 - Le système binaire 2 - La conversion des nombres entiers 2.1 - Base 2 vers base 10 2.2 - Base 10 vers base 2 ✔ Par divisions successives ✔ Par soustractions successives 2.3 - Opérations binaires (Addition, Soustraction, Multiplication, Division) 3 - La conversion des nombres fractionnaires

12 1212 2 – La conversion des nombres entiers  Il est important de connaître par cœur les premières puissances de 2  Rappel n 0 = 1 2.1 – Base 2 vers base 10 2 0 = 1 2 1 = 2 2 2 = 4 2 3 = 8 2 4 = 16 2 5 = 32 2 6 = 64 2 7 = 128 2 8 = 256 2 9 = 512 2 10 = 1.024

13 1313 2 – La conversion des nombres entiers Exemple (11.100.110) 2  (?) 10 POIDS = 2 RANG RANG 7 6 5 4 3 2 1 0 Valeur = (1 x 2 7 ) + (1 x 2 6 ) + (1 x 2 5 ) + (0 x 2 4 ) + (0 x 2 3 ) + (1 x 2 2 ) + (1 x 2 1 ) + (0 x 2 0 ) 1 1 1 0 0 1 1 0 POIDS = 2 5 = 32 POIDS 2 7 2 6 2 5 2 4 2 3 2 2 2 1 2 0 2.1 – Base 2 vers base 10 Valeur = 128 + 64 + 32 + 0 + 0 + 4 + 2 + 0 = (230) 10

14 1414 Chapitre 2 : La numération binaire Introduction 1 - Le système binaire 2 - La conversion des nombres entiers 2.1 - Base 2 vers base 10 2.2 - Base 10 vers base 2 ✔ Par divisions successives ✔ Par soustractions successives 2.3 - Opérations binaires (Addition, Soustraction, Multiplication, Division) 3 - La conversion des nombres fractionnaires

15 1515 2 – La conversion des nombres entiers 2.2 – Base 10 vers base 2 Première méthode : les divisions successives Principe On divise le nombre en base 10 par 2 Puis, on divise successivement le quotient de chaque division par 2 jusqu’à ne plus pouvoir diviser par 2. Le nombre binaire s’obtient en relevant le reste de chaque division en partant de la dernière division vers la première (sens de lecture vers le haut).

16 1616 2 – La conversion des nombres entiers 2.2 – Base 10 vers base 2 Sens de lecture Exemple : 230 10  (?) 2 Première méthode : les divisions successives Réponse : (11.100.110) 2 230 1 0 3 1 1 0 5 0 2 57 1 15 2 28 17 1 2 14 0 2 7 0 2 3 1 2 1 1 2 0 1 0 Stop ! 2

17 1717 2 – La conversion des nombres entiers 2.2 – Base 10 vers base 2 Deuxième méthode : les soustractions successives Principe : R etrancher du nombre la plus grande puissance de 2 possible, et ainsi de suite dans l’ordre décroissant des puissances. Si on peut retirer la puissance de 2 concernée, on note (1) sinon on note (0) et on continue de la même manière jusqu’à la plus petite puissance de 2 possible

18 1818 2 – La conversion des nombres entiers 2.2 – Base 10 vers base 2 Poids 128 64 32 16 8 4 2 1 11 1 0011 0 10238666200 Reste ()2)2 Deuxième méthode : les soustractions successives Exemple : 230 10  (?) 2 On recherche le plus grand poids que l’on peut retrancher au nombre à convertir (230) 10 Ici, on peut retirer 128 (2 7 ) donc on note 1 sous ce poids

19 1919 Chapitre 2 : La numération binaire Introduction 1 - Le système binaire 2 - La conversion des nombres entiers 2.1 - Base 2 vers base 10 2.2 - Base 10 vers base 2 ✔ Par divisions successives ✔ Par soustractions successives 2.3 - Opérations binaires (Addition, Soustraction, Multiplication, Division) 3 - La conversion des nombres fractionnaires

20 2020 2 – La conversion des nombres entiers * 1 + 1 = 10 Je pose 0 et je retiens 1 01 10*0* + 01 0 1 1 0 1 1 + 1 1 0 ---------------------------------- 10001 11 Exemple (1.011) 2 + (110) 2 (10.001) 2 1 2.3 – Les opérations binaires 2.3.1 - L’addition

21 2121 2 – La conversion des nombres entiers * Je pose 1 et je retiens 1 01*1* 10 - 01 0 1 1 0 1 1 - 1 1 0 ----------------------------------- 1010 1 Exemple (1.011) 2 - (110) 2 (101) 2 2.3 – Les opérations binaires 2.3.2 – La soustraction

22 2 2 – La conversion des nombres entiers 00 01 x 01 0 1 1 0 1 1 x 1 1 0 ------------------------. 110 Exemple (1011) 2 x (110) 2 (1.000.010) 2 0 0 1.. 1 10 0 1 000 -------------------------------------- 1 1 1 1 1 0 1 2.3 – Les opérations binaires 2.3.3 – La multiplication

23 2323 2 – La conversion des nombres entiers Exemple : (101.100) 2 ÷ (100) 2 1 0 1 1 0 0 1 0 0 -1 0 0 ------- 1 1 0 - 1 0 0 ------- 0 101 (1.011) 2 1 1 1 1 01 1 0 0 Sens de lecture 2.3 – Les opérations binaires 2.3.4 – La division

24 2424 Conclusion Le monde se divise en 10 catégories. Ceux qui savent compter en binaire Ceux qui ne savent pas C'est tout...