VECTEURS. I Translation II Vecteurs III Somme de vecteurs IV Produit d ' un vecteur par un réel V Coordonnées d ' un vecteur.

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1 VECTEURS

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3 I Translation II Vecteurs III Somme de vecteurs IV Produit d ' un vecteur par un réel V Coordonnées d ' un vecteur

4 VECTEURS I Translation a ) Définition d ' une translation Soit P et P ' deux points distincts du plan. On appelle translation qui envoie P sur P ' la transformation dont l ' image F ' d ' une figure F est obtenue en faisant glisser la figure F. ● Selon la direction de la droite ( PP '), ● Dans le sens de P vers P ', ● D ' une longueur égale à PP '.

5 VECTEURS I Translation b ) Exemple translation de vecteur

6 VECTEURS I Translation b ) Exemple translation de vecteur

7 VECTEURS I Translation c ) Méthode construire l ' image d ' une figure

8 VECTEURS II Vecteur a ) Définition d ' un vecteur Soit t la translation qui envoie A sur A ', B sur B ' et C sur C '. Les couples de points ( A, A ') ( B, B ') et ( C, C ') définissent un vecteur caractérisé par : ● Une direction : celle de la droite ( AA '), ● Un sens : de A vers A ', ● Une longueur : la longueur AA '.

9 VECTEURS

10 II Vecteur b ) Egalité de vecteur Les vecteurs AB et CD sont égaux lorsqu ' ils ont même direction, même sens et même longueur AB.

11 VECTEURS

12 II Vecteur c ) Propriété du parallélogramme Soit A, B, C et D quatre points deux à deux distincts. Dire que les vecteurs AB et CD sont égaux revient à dire que le quadrilatère ABDC est un parallélogramme, éventuellement aplati.

13 VECTEURS

14 II Vecteur d ) Méthode construire un point à partir d ' un autre point et d ' un vecteur

15 VECTEURS II Vecteur e ) Propriété du milieu Dire que B est le milieu du segment [ AC ] revient à dire que AB et BC sont égaux.

16 VECTEURS II Vecteur f ) Vecteur nul Un vecteur AB est nul lorsque les points A et B sont confondus.

17 VECTEURS II Vecteur e ) Vecteur opposé Deux vecteurs sont opposés lorsqu ’ ils ont la même direction, la même longueur et qu ’ ils sont de sens contraire.

18 VECTEURS III Somme de vecteurs a ) Exemple

19 VECTEURS III Somme de vecteurs a ) Exemple

20 VECTEURS III Somme de vecteurs b ) Propriété La composée ( ou l ' enchaînement ) de deux translations est une translation. c ) Définition u et v sont deux vecteurs quelconques. On appelle somme des vecteurs u et v, notée u + v, le vecteur w associé à la translation composée des translations de vecteurs u et v

21 VECTEURS III Somme de vecteurs d ) Relation de Chasles Pour tous points A, B, C du plan on a : AC = AB + BC

22 VECTEURS III Somme de vecteurs e ) Appliquer la relation de Chasles

23 VECTEURS III Somme de vecteurs e ) Exercice

24 VECTEURS III Somme de vecteurs f ) Propriété caractéristique du parallélogramme : Dire que ABCD est un parallélogramme revient à dire que AC = AB + AD

25 VECTEURS III Somme de vecteurs g ) Différence de deux vecteurs : u et v sont deux vecteurs quelconques. On appelle différence du vecteur u avec le vecteur v : le vecteur noté u - v Tel que : u – v = u + (- v ).

26 VECTEURS III Somme de vecteurs h ) Construire un point défini à partir d ' une somme de vecteur :

27 VECTEURS IV Produit d ' un vecteur par un réel a ) Définition u est un vecteur quelconque différent de 0 k un nombre réel non nul. On appelle produit du vecteur u par le réel k, le vecteur noté k u : - de même direction que u, - de même sens que u si k > 0 et de sens contraire si k < 0, - de norme égale à : k fois la norme de u si k > 0, -k fois norme de u si k < 0.

28 VECTEURS IV Produit d ' un vecteur par un réel a ) Définition

29 VECTEURS IV Produit d ' un vecteur par un réel b ) Représenter un vecteur defini comme produit et somme de vecteurs

30 VECTEURS IV Produit d ' un vecteur par un réel b ) Représenter un vecteur defini comme produit et somme de vecteurs

31 VECTEURS IV Produit d ' un vecteur par un réel c ) Construire un point vérifiant une égalité vectorielle.

32 VECTEURS IV Produit d ' un vecteur par un réel c ) Construire un point vérifiant une égalité vectorielle.

33 VECTEURS IV Produit d ' un vecteur par un réel d ) Exprimer graphiquement un vecteur en fonction d ' autres vecteurs.

34 VECTEURS IV Produit d ' un vecteur par un réel d ) Colinéarité Deux vecteurs non nuls u et v sont colinéaires signifie qu ’ ils ont même direction c ’ est à dire qu ’ il existe un nombre réel k tel que u = k v

35 VECTEURS IV Produit d ' un vecteur par un réel d ) Démontrer que des vecteurs sont colinéaires

36 VECTEURS IV Produit d ' un vecteur par un réel d ) Propriétés : 1) A, B, C et D étant quatre points deux à deux distincts du plan. Dire que les droites ( AB ) et ( CD ) sont parallèles revient à dire que les vecteurs AB et CD sont colinéaires. 2) Dire que les points distincts A, B et C sont alignés revient à dire que les vecteurs AB et AC sont colinéaires.

37 VECTEURS V Coordonnées d ' un vecteur

38 VECTEURS V Coordonnées d ' un vecteur

39 VECTEURS V Coordonnées d ' un vecteur

40 VECTEURS V Coordonnées d ' un vecteur

41 Révision

42 A suivre en 1ère