Cours 2 Vecteurs Matrices. Généralités pour un objet… Un objet est caractérisé par son nom, son contenu, mais aussi ses deux attributs son mode: il en.

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1 Cours 2 Vecteurs Matrices

2 Généralités pour un objet… Un objet est caractérisé par son nom, son contenu, mais aussi ses deux attributs son mode: il en existe quatre principaux: numérique, caractère, complexe et logique sa longueur: nombre d’éléments de l’objet Pour connaître son mode et sa longueur, on peut utiliser respectivement les fonctions mode() et length() Une valeur manquante est représentée par NA, (mot réservé) Une valeur de mode caractère est représentée entre guillemets doubles

3 Génération de vecteurs En saisissant les valeurs séparées par des virgules à l’aide de la fonction c() : exemple: v=c(1,2,3) En générant des suites numériques l’opérateur : exemple v=1:10 les fonctions seq(): génère des suites régulières rep(): duplique une suite sample():effectue un tirage aléatoire En utilisant d’autres vecteurs et des opérations numériques +,-,*, /, ^ ou logiques (&,I,!,>, =,<=,==,!=)

4 Exemples: Si v1 et v2 sont deux vecteurs de même longueur, v3=v1+v2 V3=v1/v2 V3=v1^2 V3=v1>v2 paste( ): colle des vecteurs terme à terme après les avoir transformé en chaine de caractères: exemple paste(c(0,1,2),c(a,b,c)) “ 0a “ “ 1b “ “ 2c “

5 Séléction d’éléments dans un vecteur Deux modes de sélection ● Utiliser les indices de position des éléments de v ● Utiliser un vecteur booléen de même longueur que v, valant TRUE aux positions des éléments à sélectionner Exemples: v= -3:2; v[3];v[c(4,6)] ;a=c(4,6); v[a]; l=c(TRUE, TRUE, TRUE,FALSE,TRUE,FALSE); v[l]; l=v>0; v[l] l=which(v<0); v[l]

6 La fonction which() donne les positions pour lesquelles l’indicateur logique vaut TRUE. Exemple:v=c(1,2,3,4); which(v>2) 3 4 La fonction which()

7 “Dé-sélectionner” un élément dans un vecteur Utilisation d’indices négatifs pour dé-selectionner Exemple: w=c(1:4);w; [ 1] 1 2 3 4 v=w[-4] ;v; [ 1] 1 2 3

8 La fonction rep() rep(x, times) x=1:4;y=rep(x,2);y 12341234 Avec l’argument each z=rep(x,each=2);z; 11223344 w=rep(x,c(1,2,1,2)); w ; 122344

9 La fonction seq() crée une suite régulière Arguments principaux: from, to, by, lenght Exemples: x=seq(17); x; 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 y=seq(from=3,to=8);y; 3 4 5 6 7 8 y=seq(3,8);y; 3 4 5 6 7 8

10 La fonction seq() suite Argument by z=seq(from=3,to=8,by=0.5);z; 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 6.5 7 7.5 8 Argument lenght t=seq(0,1,lenght=11);t; 0 0.1 0.2 0.3.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

11 Exemple d’utilisation de seq() x=seq(-3,3,by=0.05); y=exp(x); plot(x,y); > x [1] -3.00 -2.95 -2.90 -2.85 -2.80 -2.75 -2.70 -2.65 -2.60 -2.55 -2.50 -2.45 [13] -2.40 -2.35 -2.30 -2.25 -2.20 -2.15 -2.10 -2.05 -2.00 -1.95 -1.90 -1.85 [25] -1.80 -1.75 -1.70 -1.65 -1.60 -1.55 -1.50 -1.45 -1.40 -1.35 -1.30 -1.25 … 3.00

12 > y [1] 0.04978707 0.05233971 0.05502322 0.05784432 0.06081006 0.06392786 [7] 0.06720551 0.07065121 0.07427358 0.07808167 0.08208500 0.08629359 [13] 0.09071795 0.09536916 0.10025884 0.10539922 0.11080316 0.11648416 [19] 0.12245643 0.12873490 0.13533528 0.14227407 0.14956862 0.15723717 [25] 0.16529889 0.17377394 0.18268352 … [121] 20.08553692

13 Construction de courbes

14 Un vecteur comme représentation d’une série statistique simple Soit x=c(x1,…,xn) On peut calculer la moyenne Mox=sum(x)/length(x) ou mean(x) La variance Vax par sum((x-mean(x))^2)/length(x) L’écart-type par Etx=sqrt(Vax)

15 Pour une série statistique pondérée… La moyenne, si x=c(x1,x2,…,xn) est pondérée par p=c(p1,p2,…pn), on peut poser A=p*x; B=p*(x^2) Et grace à ces vecteurs on peut calculer la moyenne des xi (formule  i pixi) par m=sum(A) Ou la variance des xi (formule  i pi(xi- m) 2 ) par v=sum(p*(x-m)^2) ou par la formule de Koenig (formule v= E(x^2)-E(X)^2) v= sum(B)-m^2

16 de même pour le moment centré d’ordre k, dont la formule est... On peut …

17 Compléments sur les vecteurs Il y a quatre types de base: Numériques, caractères, logiques, facteurs A chaque type correspond ses opérateurs. Par exemple on ne peut pas additionner des vecteurs caractères. Par contre on peut,bien sur, si v et w sont des vecteurs numériques, effectuer les opérations: w=v+2: ajoute 2 à tous les éléments de v k=v+w : attention si les deux vecteurs ne sont pas de même longueur, donne un vecteur de la longueur du plus grand, en dupliquant le plus court

18 On peut modifier ou tester le mode d'un vecteur as.numeric() :impose le mode numérique is.numeric() :booléen TRUE ou FALSE as.character() :impose le mode caractère is.character() :booléen TRUE ou FALSE as.factor(),is.factor(), as.logical(),is.logical()… Certaines fonctions modifient le mode d'un objet: factor(): contraint à être facteur cut():contraint un vecteur numérique à être un facteur paste(): transforme en chaine de caractères etc...

19 Exemples de conversion d ’objets Conversion en numérique:as.numéric() FALSE->0 TRUE ->1 “ 1 ”, “ 2 ”,..->1,2, “ A ”->NA Conversion en logique: as.logical() 0->FALSE autres nombres ->TRUE “ FALSE”->FALSE“ TRUE” ->TRUE autres caractères ->NA Conversion en caractère:as.character() 1,2,…-> “ 1 ”, “ 2 ” FALSE- > “ FALSE ” TRUE -> “ TRUE ”

20 Génération de nombres aléatoires Rappel: Un échantillon est une partie d'une population sur laquelle s'éffectue une étude statistique. On peut disposer d'échantillons issus d'une expérimentation, ou, si on connait la loi de la variable parente X,(de distribution connue) simuler ces observations: on parlera d'échantillon empirique (ou observé) et d'échantillon simulé. La taille d'un échantillon est le nombre d'observations de l'échantillon

21 Exemple 1 X: v.a.r taille de la population P Un échantillon de taille 5 issu d'une expérimentation: E=c(1.60,1.80,1.72,1.78,1.63) Un échantillon simulé la loi uniforme discrète U (n)(où les pi sont tous égaux):sample() E=sample(1:15,10);a; [1] 12 8 11 10 9 4 2 14 1 5

22 Exemple 2: lois discrètes La loi binomiale B(n,p), rbinom() P ( X = k )=[n!/p!(n-p)!] p^k ( 1 - p )^n-k rbinom(10,10,0.3) [1] 3 5 0 2 3 1 3 5 4 6 rbinom(100,10,0.3) [1] 4 3 5 2 3 4 4 4 0 0 2 2 4 4 1 4 3 2 4 3 4 3 2 3 1 3 5 3 3 4 4 2 2 1 3 5 3 5 2 5 5 1 6 2 3 4 3 2 2 4 2 1 1 4 4 3 2 2 3 2 1 2 5 6 5 2 3 3 4 2 3 4 4 3 1 3 3 4 6 1 2 6 4 1 2 7 3 4 3 4 3 5 2 1 1 4 2 4 3 1

23 la loi de Poisson P ( ):rpois() (rappel: p(X=k)=e^{- } ^k/k!) exemple: b=rpois(10, 5);b [1] 7 5 5 6 4 7 4 6 3 6 la loi géométrique g (p): rgeom() (rappel:p(X=k) = p (1-p)^k ) c=rgeom(10,0.25); c; [1] 1 2 0 0 3 2 1 2 1 0

24 La loi normale N (m,  ): Exemples: Un échantillon simulé de taille 10 en supposant que X suit une loi normale de paramètres (1,75;15) x=rnorm(10,175,15);x [1]209.38 186.99 167.24 168.71 184.49 175.63 162.25 177.86 183.27 181.68 rnorm(100):génère 100 observations issues de la loi normale de paramètres 0 et 1 (par défaut) rnorm(100, mean=2,var=3): génére 100 observations issues de la loi normale de paramètres 2 et 3

25 Quelques précisions sur la fonction sample() Plusieurs sens sample():échantillon, tirages avec ou sans remise, permutations exemples: v1= sample(1:10) : permutation de{1,2,..,10} v2= sample(1:10,3) : tirage sans remise (par défaut )de 3 éléments parmi 10 v3= sample(1:2,10,replace=TRUE) : tirage avec remise de 10 valeurs 1 ou 2 au hasard pour un tirage non uniforme on précise le vecteur probabilité(p1,…pn) avec  pi=1. v4=sample(1:5,3,prob=c(0.1,0.2,0.1,0.5,0.1))

26 Tableau Comparatif ouiNumérique, caractère, complexe logiqueListe list ouiNumérique,caractère,complexe logiqueSérie temporelle ts OuiNumérique,caractère,complexe logiqueData.frame NonNumérique,caractère,complexe logiqueMatrice matrix NonNumérique,caractère,complexe logiqueTableau array NonNumérique,caractèreFacteur factor NonNumérique,caractère,complexe logiqueVecteur vector Plusieurs modesModes possibles

27 Matrices

28 Génération de matrices matrix() Ce sont des vecteurs qui possèdent un argument supplémentaire, qui est lui-même un vecteur de longueur 2, sa dimension, et qui définit le nombre de lignes et de colonnes M=matrix(data=NA,nrow=1,ncol=1,byrow=FALSE,) exemple:M=matrix(5:16,3,4,byrow=TRUE) Sélection dans une matrice,sous-matrices M[1,2],M[c(2,3),c(3,4)] M[i,],M[,j]: sélection d’une ligne ou d’une colonne, on obtient un vecteur M[c(1,5,4),]: sélection de plusieurs lignes (1,5 et 4), on obtient une nouvelle matrice Dimension d’une matrice: dim(): renvoie la dimension de la matrice. On peut aussi imposer cette dimension

29 Sélection dans une matrice exemple: v=1:12; M=matrix(v);dim(M)=c(3,4);M; [,1] [,2] [,3] [,4] [1,] 1 4 7 10 [2,] 2 5 8 11 [3,] 3 6 9 12 Indice linéaire (par colonne) M[v],M[-v] exemple:M[-3] donne la matrice privée de son troisième élément, soit le vecteur... M[M[,1]>0,]:sélectionne la sous matrice pour laquelle les valeurs dans la première colonne sont positives, soit...

30 Opérations sur les matrices Les opérateurs habituels fonctionnent élément par élément Le produit matriciel algébrique:%*% t():transposition diag(): si v est un vecteur, diag(v)crée une matrice diagonale ayant v sur la diagonale si M est une matrice, diag(M) extrait la diagonale de M sum():si v est un vecteur ou une matrice, sum(v) calcule la somme de tous les éléments de v sum(v,na.rm=TRUE):somme sans tenir compte des NA

31 det(): déterminant d ’une matrice carrée solve():inverse d ’une matrice, ou résolution d ’un système d ’équations linéaire eigen(): calcul des valeurs propres et vecteurs propres Opérations sur les matrices (suite)

32 Opérations sur les matrices: la fonction apply() apply(M,margin,fun,…):applique à M la fonction fun (ou un opérateur, mais qui doit alors être mis entre guillemets),margin indique si l’action doit être appliquée sur les lignes ( margin=1), les colonnes ( margin=2) exemples: apply(M,1,sum):le résultat est une colonne formée des sommes des lignes de la matrice apply(M,2,sum):pareil pour les colonnes

33 Listes, series temporelles

34 Les listes Création de listes: avec la fonction list() Il n’y a aucune contrainte sur les objets qui y sont inclus Exemple: x=1:10;y= letters ; L=list(x,y); crée une liste sans nom L=list(chiffres=0:9,lettres=letters);L $chiffres [1] 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 $lettres [1] "a" "b" "c" "d" "e" "f" "g" "h" "i" "j" "k" "l" "m" "n" "o" "p" "q" "r" "s" "t" "u" "v" "w" "x" "y" "z" Les deux champs sont accessibles par L$chiffres; L$lettres;

35 Les listes (exemple) On trouve souvent des listes comme résultat d'une commande R exemple:lm() est une fonction retournant pour un modèle linéaire une liste contenant au moins: coefficients, résidus, valeurs estimées,rangs, poids....

36 Les series temporelles La fonction ts() va créer une série temporelle à partir d’un vecteur (ou d’une matrice), et des options suivantes ts(data=,start=,end=,frequency=…) data:un vecteur ou une matrice start: le temps de la première observation end:le temps de la dernière observation frequency: le nombre d’observations par unité de temps

37 t=ts(matrix(rpois(36,5),12,3),start=c(1961,1), frequency=12) Series 1 Series 2 Series 3 Jan 1961 7 6 8 Feb 1961 7 8 4 Mar 1961 4 2 5 Apr 1961 3 3 4 May 1961 7 6 10 Jun 1961 4 6 6 Jul 1961 5 5 4 Aug 1961 3 3 6 Sep 1961 7 3 3 Oct 1961 4 3 7 Nov 1961 7 2 7 Dec 1961 3 4 4

38 plot(t)

39 Modes ouiNumérique, caractère, complexe logiqueListe list ouiNumérique,caractère,complexe logiqueSérie temporelle ts OuiNumérique,caractère,complexe logiqueData.frame NonNumérique,caractère,complexe logiqueMatrice matrix NonNumérique,caractère,complexe logiqueTableau array NonNumérique,caractèreFacteur factor NonNumérique,caractère,complexe logiqueVecteur vector Plusieurs modesModes possibles

40 Conversion d ’objets Conversion en numérique:as.numéric() FALSE->0 TRUE ->1 “ 1 ”, “ 2 ”,..->1,2,..“ A ”->NA Conversion en logique: as.logical() 0->FALSE autres nombres ->TRUE “ FALSE”->FALSE “ TRUE” ->TRUE autres caractères ->NA Conversion en caractère:as.character() 1,2,…-> “ 1 ”, “ 2 ” FALSE- > “ FALSE ” TRUE -> “ TRUE ”