Extraire une racine carré. Histoire des racines carrées La devise pythagoricienne était « Tout est nombre » au sens de nombres rationnels ( quotient de.

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1 Extraire une racine carré

2 Histoire des racines carrées La devise pythagoricienne était « Tout est nombre » au sens de nombres rationnels ( quotient de deux entiers). L'erreur des pythagoriciens est d'avoir toujours nié l'existence des nombres irrationnels. Exemple: par la diagonale d'un carré de côté 1, ils trouvent le nombre inexprimable 2 qui étonne puis bouleverse les pythagoriciens. Dans un carré d'une telle simplicité niche un nombre indicible et jamais rencontré jusqu'alors. Mais une tablette d'argile datée du XVIII ème siècle av J.C montre que les Babyloniens connaissaient la racine carré de deux et un algorithme de calcul. Pythagoricien:Qui appartient à une école de philosophes géomètres, dont Pythagore était le chef Arithmétique: sciences des nombres Algorithme: Un ensemble d'instructions pour résoudre un problème. Dans racine carrée, on entend racine, qui évoque l'idée d'un nombre enfoui dans un autre, et carrée, qui renvoie pour ses deux significations, tant géométrique qu'arithmétique, à la figure du carré. Les racines carrées ont en effet leur origine dans le problème consistant à trouver le côté d'un carré dont l'aire est donnée

3 Origine du symbole: II ème siècle: l2= côté d'un carré d'aire 2 (l = côté) 1525, Christoph RUDOLFF, mathématicien allemand: 12 XVIe siècle, Michael STIFEL:: 12 (combinaison du « v » de Rudolff et de la barre « » ancêtre des parenthèses)

4 Méthodes et application La racine carré du nombre est le plus grand nombre dont le carré est inférieur ou égal au nombre donné. Le reste est la différence du nombre donné et du carré de la racine trouvée. Ex: Soit à trouver la racine carré de 77, le plus grand nombre dont le carré est inférieur ou égal au nombre donné est 8 car, 8x8=64, alors que 9x9=81. Donc 8 est la racine carré de 77, le reste est 77-64, soit 13. 1°) Méthode de la « potence » Cette technique fût longtemps enseignée pour le certificat d’étude jusqu’à ce que celle-ci ne servent plus énormément à cause de l’apparition des calculatrices électroniques. Exemple: n = 54 321. On commence par figurer une barre verticale et une barre horizontale comme pour une division. On dispose le nombre n à la place du dividende, sa racine carrée sera lue à la place du diviseur. On décompose ensuite n en tranches de deux chiffres en commençant par unités et dizaines. 5 43 21 On cherche alors le plus petit entier dont le carré est inférieur à la tranche de gauche, on l’écrit à la place du diviseur et on retire son carré de la première tranche. 5 étant compris entre le carré de 2 (4) et le carré de 3 (9), le premier chiffre de la racine est donc 2. - 4 1 5|43|21 2

5 On abaisse ensuite la tranche suivante pour former ce qu’on appelle le reste partiel et on porte à la place du quotient le double du nombre écrit à la place du diviseur. Vient alors l’étape la plus délicate : on recherche le plus grand chiffre x qui substitué aux points d’interrogation conduit à un résultat inférieur au reste partiel. - On reporte alors ce chiffre à la place du diviseur et on retire le résultat de l’opération du reste partiel. - On abaisse ensuite la tranche suivante et on reprend le processus décrit ci-dessus… On peut même poursuivre le calcul après la virgule en abaissant des tranches de 00. Donc: la racine carré de 54 321 est environ égal à 233,06.. 5|43|21 2 4 143 4?×? = 5|43|21 23 4 1 43 43×3 = 129 129 14 5|43|21 233 -4 1 43 43×3 = 129 -129463×3 = 1389 14 21 - 1389 32

6 2°) Autre méthodes 1. La méthode de Héron d’Alexandrie. 2. Méthode de Newton - ou méthode de la tangente. 3. Un algorithme au " compte goutte ". (donnant les décimales unes à unes)...