Raisonnement et résolution de problème De la conjecture … … à la démonstration.

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1 Raisonnement et résolution de problème De la conjecture … … à la démonstration

2 Introduction Ce rendez-vous n'est pas une formation en tant que tel mais une réunion d'information ainsi que le début d'une mutualisation, d'un partage. Rôle de prof correspondant retransmettre les informations de cette journée.

3 Échanges sur les pratiques ● Les pratiques avec les TICE évoluent-elles ? ● Certains sont-ils revenus en arrière par rapport à des débuts fracassants ? ● Le constat de l'an passé est-il toujours le même ? ● « L'usage des TICE dépend beaucoup des moyens informatiques à disposition et de la proximité de la salle informatique »

4 Informations institutionnelles La liste de diffusion mathématiques liste-maths@ac- rouen.fr n'est plus modéréeliste-maths@ac- rouen.fr et accessible par l'adresse en @ac-rouen.fr : volonté de rendre cette liste dynamique et de recevoir tout questionnement mathématique lié ou non aux TICE. Changement d'adresse du site de maths académique http://maths.spip.ac-rouen.fr/ Page collège : Documents officiels Ressources académiques pour la classe Travail du pôle de l'an passé : Les épreuves pratiques en 3ème

5 Page collège et ses deux rubriques http://maths.spip.ac-rouen.fr/ http://maths.spip.ac-rouen.fr/

6 Les épreuves pratiques en 3ème

7 Thème de la journée : Faire des mathématiques, c'est résoudre des problèmes (Extrait de document ressource pour le socle commun dans l’enseignement des mathématiques au collège) Pourquoi ouvrir un énoncé ? Énoncé fermé : l'élève discipliné fera son travail « parfaitement », mais sans réflexion au-delà de la question qu'on lui pose ; donc sans résolution réelle du problème, sans être capable de reproduire sa démarche pour un autre problème. Énoncé ouvert : Faire un même énoncé ou un énoncé supplémentaire qui permet à l'élève de mener sa propre démarche.

8 En quoi les TICE sont utiles... Les TICE peuvent aider à ce que le problème soit réalisable. Les TICE peuvent créer une conjecture. Les TICE peuvent être une aide à la démonstration.

9 Exemple d'exercice fermé

10 Phase de conjecture Appropriation du problème Dessin à main levée et / ou Dessin aux mesures

11 Phase de conjecture Implémentation dans un logiciel TICE, puis émission de la conjecture

12 Phase de démonstration Reprise des questions fermées Ou ré-écriture de la question 3, en demandant d'en déduire la preuve de la conjecture émise.

13 L'exercice ouvert Situation On considère un rectangle ABCD avec AB = 7 cm et BC = 5 cm. Pour tout point M du segment [AB], on considère les points N, P et Q situés respectivement sur les segments [BC], [CD] et [DA] tels que AM = BN = CP = DQ. Problématique Existe-t-il une position du point M pour laquelle MNPQ a une aire minimale ? Conjecture Créer la figure à l'aide d'un logiciel de géométrie dynamique. En faisant varier le point M, quelle conjecture peut-on émettre sur sa position afin que ABCD ait une aire minimale ? Démonstration Reprise des questions d'origine, en finissant avec : en déduire la preuve de la conjecture émise.

14 Second exemple Enoncé initial (Source : Manuel Sésamath 4ème)

15 Première ouverture On met en évidence l'aspect fonctionnel et les limites de la représentation graphique.

16 Remarque

17 Deuxième ouverture Utilisation du tableur pour approcher la solution

18 Troisième ouverture

19 Et maintenant ? A partir de problèmes, imaginer des ouvertures : quels logiciels les élèves peuvent-ils utiliser ? quelle démarche peuvent-ils entreprendre ? Il ne faut pas chercher la difficulté, le niveau n'est pas imposé.

20 Les logiciels disponibles Géométrie dynamique GeoGebra, Tracenpoche, Geoplan,... Tableur Excel, Calc,... Calcul formel WIRIS,... Algorithmique Algobox,...