Modélisation du transport réactif en milieu poreux saturé

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1 Modélisation du transport réactif en milieu poreux saturé
J. Carrayrou Institut de Mécanique des Fluides et des Solides Université Louis Pasteur – CNRS STRASBOURG

2 Plan de la présentation
Présentation des phénomènes Méthodes de résolutions Approche globale Séparation d’opérateurs Résolution des opérateurs Synthèse J. Carrayrou - INRIA 16 décembre 2004

3 Présentation des phénomènes
Transport de solutés Phénomènes chimiques

4 Advection - dispersion - réaction
Échange liquide-gaz Dispersion Dissolution Précipitation Sorption Relargage Biologie u Advection Réactions en solution J. Carrayrou - INRIA 16 décembre 2004

5 Transport réactif cinétique
7 Espèces t = 0 t = t1 t = fin t = t2 Évolution cinétique J. Carrayrou - INRIA 16 décembre 2004

6 Écriture de la cinétique des réactions
Les lois cinétiques prennent des formes très diverses Les temps caractéristiques varient de plusieurs ordres de grandeur Forment un système différentiel raide Exemple de la consommation d’oxygène et de substrat organique par des bactéries : J. Carrayrou - INRIA 16 décembre 2004

7 Transport réactif à l’équilibre
3 Composants 7 Espèces Composants fixés Composants dissous t = t0 t = t0 ’ Équilibre Instantané J. Carrayrou - INRIA 16 décembre 2004

8 Écriture de l’équilibre thermodynamique
Théorie Exemple Nc espèces Ci Nx composant Xj Espèces Composants Réaction Conservation de la matière Loi d’action de masse J. Carrayrou - INRIA 16 décembre 2004

9 Une forme unique pour l’équilibre
Conservation de la matière Loi d’action de masse Coefficient d’activité Partie mobile Partie fixe J. Carrayrou - INRIA 16 décembre 2004

10 Présentation des phénomènes : conclusion
Équation de transport de soluté unique Différence importante entre cinétique et équilibre instantané Formes très diverses pour les loi de vitesse de réaction Nécessité de suivre chaque espèce Équations différentielles raides Écriture de tous les phénomènes sous une forme unique Possibilité de ne suivre que les composants Système d’équations algébriques J. Carrayrou - INRIA 16 décembre 2004

11 Méthodes de résolutions Couplage chimie transport
Approche globale Séparation d’opérateurs

12 Juste quelques notions… Travail de thèse de Marwan Fahs
Approche globale Juste quelques notions… Travail de thèse de Marwan Fahs

13 Travaux de thèse de Marwan Fahs
Approche globale Résoudre l’ensemble des équations transport et chimie. Conduit à des systèmes de très grande taille : Nombre de maille x Nombre d’espèces Nombre de maille x Nombre de composants Travaux de thèse de Marwan Fahs J. Carrayrou - INRIA 16 décembre 2004

14 Un exemple transport – cinétique :
Vitesse U Réaction : Discrétisation spatiale et temporelle : Réorganisation des termes : J. Carrayrou - INRIA 16 décembre 2004

15 Transport - équilibre Système différentiel et algébrique :
Sur chaque composant Dans chaque maille Système non linéaire Nombre d’espèces . nombre de mailles J. Carrayrou - INRIA 16 décembre 2004

16 Substitution – discrétisation :
Ne conserve pas la masse J. Carrayrou - INRIA 16 décembre 2004

17 Discrétisation - substitution :
Conserve la masse J. Carrayrou - INRIA 16 décembre 2004

18 Approche globale : Conclusion
Système de grande taille Compliqués à programmer Mise en place de méthodes spécifiques très difficiles Bénéficient des nouvelles méthodes mathématiques J. Carrayrou - INRIA 16 décembre 2004

19 Séparation d’opérateurs
Comprendre les méthodes

20 Séparation d’opérateurs
COUPLAGE Erreurs de séparation d’opérateurs à minimiser OPÉRATEUR TRANSPORT OPÉRATEUR CHIMIE J. Carrayrou - INRIA 16 décembre 2004

21 Schéma NI Standard Transport non réactif TRANSPORT
CHIMIE Système fermé Pas de temps n n + 1 Transport non réactif Chimie en système fermé J. Carrayrou - INRIA 16 décembre 2004

22 Schéma NI Strang-splitting
CHIMIE Système fermé Pas de temps n n + 1 TRANSPORT Non réactif Demi-pas de temps Transport non réactif sur un demi-pas de temps Chimie en système fermé sur un pas de temps Transport non réactif sur un demi-pas de temps J. Carrayrou - INRIA 16 décembre 2004

23 Schéma I Standard Transport réactif TRANSPORT Chimie en système fermé
Pas de temps n n + 1 Transport réactif Chimie en système fermé Terme puits-source Solution après convergence J. Carrayrou - INRIA 16 décembre 2004

24 Schéma I Symétrique Transport réactif Chimie en système ouvert
Pas de temps n n + 1 J. Carrayrou - INRIA 16 décembre 2004

25 Séparation transport cinétique chimique
J. Carrayrou - INRIA 16 décembre 2004

26 Solutions Exactes Réaction Bilan de Masse
Solution Exacte Réaction Irréversible (1 espèce) Solution Exacte Réaction Réversible (2 espèces) J. Carrayrou - INRIA 16 décembre 2004

27 Opérateur de Transport
Opérateur de Chimie Équation de Bilan de Masse Condition Initiale Solution à Flux Constant Équation en Bilan de Masse Équation en Bilan de Masse Total J. Carrayrou - INRIA 16 décembre 2004

28 Schéma NI Standard Formulation par Récurrence
Solution Explicite Réaction Réversible (2 espèces) Solution Explicite Réaction Irréversible (1 espèce) J. Carrayrou - INRIA 16 décembre 2004

29 Schéma NI Strang-splitting
Formulation par Récurrence Solution Explicite Réaction Irréversible (1 espèce) Solution Explicite Réaction Réversible (2 espèces) J. Carrayrou - INRIA 16 décembre 2004

30 Schéma I Standard Récurrence sur les Itérations
Formulation Explicite par Itérations Récurrence sur les Pas de Temps Solution Explicite Réaction Réversible (2 espèces) Solution Explicite Réaction Irréversible (1 espèce) J. Carrayrou - INRIA 16 décembre 2004

31 Schéma I Symétrique Condition Initiale Chimie Transport
Solution Générale J. Carrayrou - INRIA 16 décembre 2004

32 Erreurs et Nombres Adimensionnels
Nos NI Standard A vérifier numériquement : - sur les bilans de masse - sur les profils de concentration J. Carrayrou - INRIA 16 décembre 2004

33 Erreurs sur le bilan de masse en régime permanent
J. Carrayrou - INRIA 16 décembre 2004

34 Erreurs sur les concentrations en régime permanent
J. Carrayrou - INRIA 16 décembre 2004

35 Application à un cas concret :
60 m Lit de sable (100 m) Bactéries aérobies Oxygène (3 mg/L) Flux d’eau (1 m/j) Oxygène (3 mg/L) Substrat organique (10 mg/L) Consommation de l’oxygène et du substrat jusqu’à épuisement de l’oxygène. Concentration en substrat restant : Sub = 8,5 mg/L J. Carrayrou - INRIA 16 décembre 2004

36 Transport et cinétique biologique
J. Carrayrou - INRIA 16 décembre 2004

37 Séparation transport équilibre instantané
J. Carrayrou - INRIA 16 décembre 2004

38 Schéma NI Standard Pas de contraintes sur la mise en œuvre
TRANSPORT Non réactif CHIMIE Système fermé Pas de temps n n + 1 Transport Équilibre instantané Pas de contraintes sur la mise en œuvre Diffusion numérique importante J. Carrayrou - INRIA 16 décembre 2004

39 Schéma I Standard Formulation de l’opérateur de transport
Réactif Pas de temps n n + 1 CHIMIE Système fermé Schéma I Standard Formulation de l’opérateur de transport implicite en temps nécessaire Diffusion numérique faible J. Carrayrou - INRIA 16 décembre 2004

40 Conditions du Test Précipitation de calcite et de strontionite
Échange d’ions calcium - strontium Longueur 12 cm Référence : mailles Test : 120 mailles d’après Lefèvre et al. 1993 J. Carrayrou - INRIA 16 décembre 2004

41 Courbes d’élution du Strontium
Peref = 0,16 Pecomp = 1,6 J. Carrayrou - INRIA 16 décembre 2004

42 Importance de la résolutions des opérateurs
Exemple de l’Opérateur de transport

43 Méthodes de résolution
Différences finies (centrées) Éléments finis discontinus Éléments finis J. Carrayrou - INRIA 16 décembre 2004

44 Éléments finis discontinus
Maîtrise de la diffusion numérique Absence d’oscillation Autorise les profils de concentration discontinus Très adaptés au fronts raides ou compressifs J. Carrayrou - INRIA 16 décembre 2004

45 Séparation d’opérateur et EFD
Peref = 0,16 Pecomp = 1,6 J. Carrayrou - INRIA 16 décembre 2004

46 Conclusion

47 Modélisation phénoménologique
Phénomènes modélisés Transport : advection – dispersion Cinétique chimique Équilibre instantané Modélisation phénoménologique Description fondamentale Application possible à d’autres domaines J. Carrayrou - INRIA 16 décembre 2004

48 Approche par séparation d’opérateur
Distinguer chimie à l’équilibre et cinétique Réduire les erreurs de séparation en adaptant le schéma Avantages : Programmation très modulaire Utilisation de méthodes spécifiques pour chaque opérateur J. Carrayrou - INRIA 16 décembre 2004

49 Merci de votre attention
J. Carrayrou - INRIA 16 décembre 2004

50 Opérateur de chimie à l’équilibre :
Transport Cinétique Équilibre J. Carrayrou - INRIA 16 décembre 2004

51 Systèmes Chimiques Espèces Composants Nc espèces Ci Nx composant Xj
Théorie Exemple Espèces Composants Nc espèces Ci Nx composant Xj Réaction Conservation de la matière Loi d’action de masse J. Carrayrou - INRIA 16 décembre 2004

52 Fonction Objectif Conservation de la matière Loi d’action de masse
Coefficient d’activité Nx Fonctions Objectifs J. Carrayrou - INRIA 16 décembre 2004

53 Méthode de Newton-Raphson
Jacobien de la fonction objectif Calcul analytique Calcul analytique Développement au 1er ordre Développement au 1er ordre Pas d’avancement Nouvelles concentrations des composants J. Carrayrou - INRIA 16 décembre 2004

54 Méthode de Newton-Raphson : schéma de principe
X1 Y1 X2 Y2 X3 Y3 X4 J. Carrayrou - INRIA 16 décembre 2004

55 Newton-Raphson : non convergence
Divergence vers des valeurs aberrantes Piège en boucle J. Carrayrou - INRIA 16 décembre 2004

56 Intervalle chimiquement acceptable
Respect de la borne inférieure : Respect de la borne supérieure : J. Carrayrou - INRIA 16 décembre 2004

57 Méthode des fractions continues positives
Somme des Réactifs Somme des Produits Équilibre J. Carrayrou - INRIA 16 décembre 2004

58 Intervalle Chimiquement Acceptable
Algorithme Combiné SPECY Fractions Continues Positives  Convergence grossière rapide Approche très rapide de la solution Intervalle Chimiquement Acceptable  Peu de calculs nécessaires  Renforce la stabilité Newton-Raphson  Convergence incertaine loin de la solution  Convergence précise rapide à proximité de la solution Recherche fine rapide de la solution Fractions Continues Positives  Convergence précise lente  Convergence assurée Assure la convergence dans tous les cas J. Carrayrou - INRIA 16 décembre 2004

59 Acide Gallique J. Carrayrou - INRIA 16 décembre 2004

60 J. Carrayrou - INRIA 16 décembre 2004

61 Newton Raphson NR + Sécante SPECY
J. Carrayrou - INRIA 16 décembre 2004

62 Pyrite J. Carrayrou - INRIA 16 décembre 2004

63 J. Carrayrou - INRIA 16 décembre 2004

64 NR + CAI SPECY NR+ Sécante Newton-Raphson
J. Carrayrou - INRIA 16 décembre 2004

65 Perspectives Quelques applications… Transport de cadmium
Transport de tributyl étain

66 Transport de Cadmium Expérience en colonne (C. Bürgisser, 1994)
Échange d’ions Complexation de surface Injection Cristobalite pH pH = 4,97 pH = 9 Cd 2+ 17,35 M t / t0 t / t0 = 0 t / t0 = 80 t / t0 = 140 J. Carrayrou - INRIA 16 décembre 2004

67 Paramètres d’après J. Lützenkirchen, 1996
J. Carrayrou - INRIA 16 décembre 2004

68 Détermination des paramètres (J. Lützenkirchen, 1996)
Modèle DLM : Couche diffuse Détermination des paramètres (J. Lützenkirchen, 1996) Modèle CCM : Capacité constante J. Carrayrou - INRIA 16 décembre 2004

69 Cd2+ J. Carrayrou - INRIA 16 décembre 2004

70 Transport réactif du TBT à 7 pH différents
J. Carrayrou - INRIA 16 décembre 2004

71 Situation initiale : Erreur = 0.3
J. Carrayrou - INRIA 16 décembre 2004

72 Un sable naturel… Composition massique : silice : 99,9 %
oxydes de fer, d’aluminium Composition de la surface : Silice Oxydes J. Carrayrou - INRIA 16 décembre 2004

73 Estimation de paramètres
Erreur Paramètre J. Carrayrou - INRIA 16 décembre 2004

74 Résultats : après optimisation F = 0.19
J. Carrayrou - INRIA 16 décembre 2004

75 Conclusion

76 Présentation des phénomènes
Transport : advection – dispersion Cinétique chimique Équilibre instantané Modélisation phénoménologique Description fondamentale Application possible à d’autres domaines Méthodes de résolutions Couplage chimie – transport Résolution des opérateurs J. Carrayrou - INRIA 16 décembre 2004

77 Perspectives Limites Compréhension des phénomènes
Prévision - dimensionnement Estimation de paramètres Limites Méthodes numériques Structure du milieu Mécanismes réactionnel Échelle J. Carrayrou - INRIA 16 décembre 2004

78 Schéma ELLAM pour le transport
Formulation variationnelle de l’équation de transport On sépare les fonctions tests qui dépendent de z et de t : On choisit une définition lagrangienne des fonctions tests : J. Carrayrou - INRIA 16 décembre 2004

79 Simplification de l’équation :
Condition aux limites J. Carrayrou - INRIA 16 décembre 2004

80 J. Carrayrou - INRIA 16 décembre 2004

81 Schéma des caractéristiques, du maillage mobile et des fonctions tests entre deux pas de temps.
J. Carrayrou - INRIA 16 décembre 2004