Cours 8 Les tests statistiques. Intervalle de confiance pour une proportion ● Dans le cas de grands échantillons (np>5 et n(1-p)>5 ) ● l'intervalle de.

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1 Cours 8 Les tests statistiques

2 Intervalle de confiance pour une proportion ● Dans le cas de grands échantillons (np>5 et n(1-p)>5 ) ● l'intervalle de confiance au niveau (1-  ) est pour la proportion inconnue p : ● f=k/n ● ic (1-  ) =]f-u (1-  /2)  /sqrt(f(1-f)/n) ; ● m+u (1-  /2)  /sqrt(f(1- f)/n)[ ● on utilise la fonction prop.test()

3 Exemple : k=121 n=241 prop.test(121,241) ; 1-sample proportions test with continuity correction data: 121 out of 241, null probability 0.5 X-squared = 0, df = 1, p-value = 1 alternative hypothesis: true p is not equal to 0.5 95 percent confidence interval: 0.4373710 0.5667112 sample estimates: p ● 0.502074

4 Intervalles de confiance pour une moyenne, Dans le cas de grands échantillons ou de petits avec hypothèse de normalité, l'intervalle de confiance au niveau (1-  ) est obtenu par : IC (1-  ) =]m-t (1-  /2)  /sqrt(n) ; m+t (1-  /2)  /sqrt(n[ la fonction R correspondante est : t.test() exemple: A=iris[,1] ; t.test(A,conf.level=0,9)$conf.int [1] 5.731427 5.955240 attr(,"conf.level") [1] 0.9

5 Dans le cas de petits echantillons, on fait un calcul exact, car nP suit une loi binomiale de paramètres n et p, on utilise la fonction binom.test() Exemple binom.test(121,241) data: 121 and 241 number of successes = 121, number of trials = 241, p-value = 1 alternative hypothesis: true probability of success is not equal to 0.5 95 percent confidence interval: 0.4371893 0.5669084 sample estimates: probability of success 0.5020747

6 Tableau récapitulatif

7 les test du chi-deux La fonction chisq.test(x,y,p) Premier exemple: on lance un dé 300 fois et on obtient le résultat suivant: 1 2 3 4 5 6 43 49 56 45 66 41 x=c(43, 49, 56, 45, 66, 41) prob=rep(1/6,6) chisq.test(x,p=prob) Chi-squared test for given probabilities data: x X-squared = 8.96, df = 5, p-value = 0.1107

8 Second exemple sur un tableau de contingence Exemple d ’un tableau donnant la cécité en fonction du sexe: tab=matrix(c(442,514,38,6),nrow=2,byrow=TRUE) colnames(tab)=c("homme","femme") rownames(tab)=c("voyant","aveugle") homme femme voyant 442 514 aveugle 38 6

9 X2=chisq.test(tab,correct=FALSE) On teste s ’il y a une relation entre sexe et cécité (l ’hypothèse par défaut est celle d ’indépendance) Pearson's Chi-squared test data: tab X-squared = 27.1387, df = 1, p-value = 1.894e-07

10 attributes(X2) $names [1] "statistic" "parameter" "p.value" "method" "data.name" "observed" [7] "expected" "residuals" $class [1] "htest » par exemple:

11 X2$expected homme femme voyant 458.88 497.12 aveugle 21.12 22.88 valeurs attendues sous hypothèse d ’indépendance X2$residuals homme femme voyant -0.787994 0.7570801 aveugle 3.673039 -3.5289413 sum(X2$residuals^2) 27.13874 la somme des carrés des résidus est la valeur du chi-deux

12 Soit le tableau de contingence suivant: roux blond brun bleu 13 20 7 marron 24 10 18 le test du chi-deux d ’indépendance s ’effectue ainsi: chisq.test(m)

13 Pearson's Chi-squared test data: m X-squared = 10.0494, df = 2, p-value = 0.006574 on teste l ’hypothèse nulle suivante « H0:il y a indépendance entre la couleur des yeux et celle des cheveux »

14 Test sur une moyenne: t.test() Pour comparer une moyenne à une valeur de référence (cas d'un échantillon) Le test Ho : m=m0 H : (m>m0 ou m<m0) Sous H0 la statistique de test est T= sqrt(n) (X -m0)/  et suit une loi de student à n- 1 ddl Mesure=IMC>30 t.test(mesure, mu=0,58,alternative = c("two.sided", "less", "greater"), conf.level = 0.95, correct = TRUE) Data mesure t=1,52 df=8 p-value=0,082 alternative hypothesis:true mean is different from 0,58 95 percent confidence interval 0,57 inf Sample estimates mean of x 0,6188

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16 Tests du chi-deux