Des fractions aux décimaux

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1 Des fractions aux décimaux
Animation pédagogique Circonscription de Valenciennes –Bruay

2 Les enjeux didactiques

3 Par rapport à 7, quel est le nombre
La trace laissée par la première approche constitue-t-elle la base de toutes les difficultés ou réussites futures? Tâche proposée à des élèves depuis la fin du CM1 et jusqu’à la 5e : Par rapport à 7, quel est le nombre le plus proche : 6,9 ou 7,08 ? * * Recherches de J. BOLON, dans une thèse de sciences de l’éducation

4 Classe CM1 CM2 6e 5e Réussite 22% 30% 27% 29%

5 Les résultats obtenus par J. Bolon conduisent à penser que :
Classe CM1 CM2 6e 5e Réussite 22% 30% 27% 29% Les résultats obtenus par J. Bolon conduisent à penser que : 1°) Un petit quart des élèves ont déjà une bonne conceptualisation des décimaux dès la fin du CM1.

6 Les résultats obtenus par J. Bolon conduisent à penser que :
Classe CM1 CM2 6e 5e Réussite 22% 30% 27% 29% Les résultats obtenus par J. Bolon conduisent à penser que : 1°) Un petit quart des élèves ont déjà une bonne conceptualisation des décimaux dès la fin du CM1. 2°) En revanche, ceux qui n’ont pas compris les décimaux à ce moment, ne les comprendront vraisemblablement pas beaucoup mieux dans les années qui suivent.

7 Classe CM1 CM2 6e 5e Réussite 22% 30% 27% 29% Les résultats obtenus par J. Bolon conduisent à penser que : 1°) Un petit quart des élèves ont déjà une bonne conceptualisation des décimaux dès la fin du CM1. 2°) En revanche, ceux qui n’ont pas compris les décimaux à ce moment, ne les comprendront vraisemblablement pas beaucoup mieux dans les années qui suivent. L’enjeu des pratiques pédagogiques des maîtres de CM1 concernant les décimaux est donc crucial !

8 Donner du sens à ces nouveaux nombres
Proposer des activités qui permettent de prendre conscience que: les fractions et les nombres décimaux permettent de pallier à l’insuffisance des nombres entiers (pour la résolution de problèmes de mesures ou de partage). certains raisonnements ou certaines procédures correctes avec les nombres entiers ne peuvent plus l’être avec les nombres décimaux et les fractions. l’ensemble des nombres décimaux est un sous- ensemble de celui des fractions (ensemble des fractions décimales).

9 Un apprentissage parfois perturbé par des représentations liées aux nombres entiers…
Il n’existe aucun nombre entre 0 et 1. Plus l’écriture d’un nombre est grande, plus sa valeur est grande. Un nombre décimal, c’est un couple de deux entiers, séparés par une virgule. Le produit de deux nombres est toujours supérieur à chaque facteur du produit. Multiplier un nombre par 10, 100, 1 000, c’est écrire 0, 00, 000 à droite du nombre.

10 … ou par des pratiques maladroites
La façon courante de lire les nombres décimaux: 7,35 lu « sept virgule trente-cinq » ou « sept trente-cinq ». Le fait d’assimiler « fraction » et « quantité inférieure à l’unité » Le fait que l’idée de fractionnement disparaisse derrière des mesures entières: 7,35€ compris comme 7 euros 35 centimes. Certains moyens mnémotechniques employés par les enseignants.

11 Les nombres décimaux et les fractions omniprésents dans la vie courante
 On rencontre les nombres décimaux le plus souvent en lien avec les mesures de grandeurs: Les prix Les distances Les masses Les contenances  Communication massive de données (intéressantes d’un point de vue mathématiques) : emballages, articles de journaux…. MAIS… … des changements majeurs interviennent depuis le début du XXe siècle: Perfectionnement des instruments de mesure (lecture directe) Relégation des fractions usuelles au domaine de l’oral (demi, tiers, quart).

12 Quelques notions à conforter avant d’aborder les fractions
Compétences de fin de CE1: « Restituer et utiliser les tables de multiplication de 2 à 5 » « Diviser par 2 et par 5 des nombres entiers inférieurs à 1000 » Compétences de CE2: « Connaître et utiliser des expressions telles que double, moitié, triple, quart d’un nombre entier » « Connaître et utiliser certaines relations entre les nombres d’usage courant: entre 5, 10, 25, 50, 100, entre 15, 30, 60… » Ces compétences sont indispensables.  Aide personnalisée pour les élèves aux compétences fragiles.

13 Les fractions

14 Petits rappels  Le terme fraction désigne une écriture fractionnaire d’un nombre rationnel.  Le nombre rationnel est l’unique solution de l’équation: x x b = a (a est un entier naturel et b un entier naturel non nul)  Le nombre rationnel peut être considéré comme le quotient des deux nombres entiers a et b .  a est appelé numérateur, b dénominateur et le trait qui les sépare est le trait de fraction.  Une fraction décimale est une écriture fractionnaire dont le dénominateur est une puissance de 10.  Les nombres rationnels qui possèdent une écriture fractionnaire décimale sont appelés nombres décimaux.

15 Passage des nombres entiers aux fractions = saut conceptuel
Passage des nombres entiers aux fractions = saut conceptuel. Nécessite d’y consacrer du temps. Conséquence sur les programmations: Les apprentissages sur les fractions doivent commencer très tôt dans l’année de CM1.

16 Les programmes CE2 CM1 CM2 Nombres et calcul
Les nombres entiers jusqu’au million Connaître, savoir écrire et nommer les nombres entiers jusqu’au million. Comparer, ranger, encadrer ces nombres. Connaître et utiliser des expressions telles que : double, moitié ou demi, triple, quart d’un nombre entier. Connaître et utiliser certaines relations entre des nombres d’usage courant : entre 5, 10, 25, 50, 100, entre 15, 30 et 60. Les nombres entiers jusqu’au milliard Connaître, savoir écrire et nommer les nombres entiers jusqu’au milliard. La notion de multiple : reconnaître les multiples des nombres d’usage courant : 5, 10, 15, 20, 25, 50. Les nombres entiers Fractions Nommer les fractions simples et décimales en utilisant le vocabulaire : demi, tiers, quart, dixième, centième. Utiliser ces fractions dans des cas simples de partage ou de codage de mesures de grandeurs. Encadrer une fraction simple par deux entiers consécutifs. Écrire une fraction sous forme de somme d’un entier et d’une fraction inférieure à 1. Ajouter deux fractions décimales ou deux fractions simples de même dénominateur. Les compétences des années antérieures sont à consolider. La résolution de problèmes est présente et s’exerce dans tous les stades des apprentissages. Le partage en deux, en quatre est déjà connu des maternelles. Au CP, des situations de partage de quantités ou de longueurs peuvent être proposées.

17 L’introduction des fractions au cm1
 Elles sont introduites le plus tôt possible pour pallier l’insuffisance des nombres entiers dans des cas - de partages - de codage de mesures de grandeurs  L’approche des fractions est liée à des situations de référence concrètes.

18 Introduction dans le contexte de partages
Il s’agit ici d’un partage équitable, chaque part a la même valeur. L’écriture fractionnaire apparaît ici comme un codage de ces partages. Partager 3 tartelettes identiques entre 2 personnes.

19 2 procédures possibles Partage de chaque tartelette en 2:
On obtient trois demi-tartelettes. 1/2T + 1/2T + 1/2T = 3/2T 3 x 1/2T Soit 1T + 1/2T Partage de la totalité des trois tartelettes entre les deux personnes: On obtient une tartelette et demie. 1T + 1/2T Notion de moitié appliquée à chaque objet Notion de moitié appliquée à la totalité de l’ensemble des objets.

20 Introduction dans un contexte de codage de mesures
unité …… …… Les mesures de longueur des bandes sont inférieures ou supérieures à 1 et obligent les élèves à utiliser les fractionnements par demi ou quart de l’unité. Les manipulations précèdent et accompagnent la représentation chiffrée. Le matériel est facile à réaliser. Montrer qu’un segment est tjs partageable en n parts égales. ……

21 Introduction dans un contexte de codage de mesures
unité A …… B …… C …… A = 1/2u C = 1/4u B = 1u + 1/2u 1u + 1/4u + 1/4u …

22 Variables didactiques
Utiliser des unités rigides (bâtonnets) : cela oblige à explorer d’autres stratégies (le guide-âne, la commensuration). Varier les approches en s’appuyant sur des formes et des grandeurs différentes: segments, aires de rectangles, de disques… Travailler sur la droite graduée - pour donner à la fraction son statut de nombre - pour visualiser le rangement et la comparaison.

23 Les allers et retours entre bande de papier et segments de droite aident à la compréhension qu’une fraction peut désigner une mesure de longueur ou indiquer une graduation. La variété de représentation des fractions courantes viendra enrichir les traces écrites qui vont constituer des référents individuels ou collectifs: droite graduées, fiches outils…

24 Quelques outils L’usage des droites graduées doit être poursuivi tout au long de la scolarité primaire. Les « fiches- nombres », à insérer dans les cahiers-outils personnels ou à afficher (= écrits de référence) 0,1 C’est un dixième C’est la moitié de 1. 0,5 0,500 1:10 + En mat., CP, CE1 les bandes numériques sont largement utilisées, elles doivent évoluer vers les graduations dès le cycle 2.

25 Indique une fraction que l’on peut écrire en face de graduation en gras.
Cette situation amène aux graduations. 6/4 ou 2/4 peuvent apparaître. Pour lever les ambigüités, il faudra situer le 0, origine de la bande et le 1, repère de l’unité.

26 Ecris une fraction qui correspond à la mesure de la zone verte.
Unité …… …… ……

27 Les fractions décimales
Le dénominateur d’une fraction décimale est égal à 10, 100, 1000.

28 Les nombres décimaux

29 D’un point de vue historique
Premières évocation au Xe siècle dans un traité de mathématique arabe. En Europe, apparition des nombres décimaux au XVIe siècle, dans l’ouvrage La Disme (Simon Stévin) : notation destinée à faciliter les procédures de calcul en les ramenant à celles utilisées pour les entiers. L’invention du système métrique au XVIIIe siècle contribuera à la diffusion des nombres décimaux et leur écriture décimale par le fait que les rapport entre les unités de mesure d’une même grandeur repose sur le fractionnement décimal. L’usage du système métrique est rendu obligatoire en Les conversions d’unités utiliseront désormais le fractionnement décimal. .

30 Petits rappels 3,54 est l’écriture décimale du nombre 354/100.
354/100 = 177/50 donc 3,54 est l’écriture décimale du nombre 177/50. 3 est la partie entière , 54 la partie décimale. Un nombre décimal est un nombre rationnel qui possède une écriture fractionnaire décimale et dont la partie décimale est finie. 1/2 est un nombre décimal car : = 5/10 (fraction décimale) = 0, (écriture décimale finie) 22/7 n’est pas un nombre rationnel décimal car : il ne possède pas d’écriture fractionnaire décimale son écriture à virgule à une partie décimale infinie 3, …

31 Les nombres entiers naturels sont des nombres décimaux.
Entre deux nombres décimaux, il est toujours possible d’intercaler un autre nombre décimal. Les nombres décimaux permettent d’approcher d’aussi près que l’on veut un nombre réel quelconque.

32 Ce qui peut perturber les élèves
L’oralisation abusive qui ne rend pas compte de la partie décimale. « zéro virgule cent trois »  juxtaposition de 2 entiers D’où : erreurs de calcul, de classement… Les critères de comparaison valables pour les nombres entiers ne sont plus valables pour les nombres décimaux. L’intercalation toujours possible d’un troisième nombre décimal entre deux autres. Les notions de nombres consécutifs, successeur, prédécesseur n’existent que pour les entiers. Pour dépasser ces obstacles: Oralisation correcte Passage par les écritures fractionnaires Recours à la droite graduée.

33 Partie entière : comparaison des nombres entiers.
La comparaison entre 2 nombres décimaux fait intervenir 2 stratégies différentes. Partie entière : comparaison des nombres entiers. Partie décimale : comparaison chiffre après chiffre à partir de la virgule (cf procédé lexicographique des dictionnaires) Le recours aux écritures fractionnaires décimales de même dénominateur ramène à une comparaison de nombres entiers: 3,7 > 3,54 car 3,7 = 370/100 et 3,54 = 354/100 or 370>354 Le recours à la droite graduée permet de visualiser le positionnement de l’un par rapport à l’autre. ATTENTION! Le recours à comparaison basée sur l’expression en centièmes (54 centièmes et 70 centièmes) est correcte mais risque de renforcer les confusions de l’oralisation abusive (prendre la partie décimale comme des nombres entiers). ATTENTION! La procédure de transformation en fraction ne doit pas être exclusive car elle ne favorise pas la compréhension de la signification des chiffres de la partie décimale.

34 Les programmes CM1 CM2 Nombres et calcul Fractions
 Nommer les fractions simples et décimales en utilisant le vocabulaire : demi, tiers, quart, dixième, centième.  Utiliser ces fractions dans des cas simples de partage ou de codage de mesures de gradeurs.  Encadrer une fraction simple par deux entiers consécutifs. - Écrire une fraction sous forme de somme d’un entier et d’une fraction inférieure à 1.  Ajouter deux fractions décimales ou deux fractions simples de même dénominateur. Nombres décimaux  Connaître la valeur de chacun des chiffres de la partie décimale en fonction de sa position (jusqu’au 1/100ème).  Savoir : . les repérer, les placer sur une droite graduée, . les comparer, les ranger, . les encadrer par deux nombres entiers consécutifs, . passer d’une écriture fractionnaire à une écriture à virgule et réciproquement.  Connaître la valeur de chacun des chiffres de la partie décimale en fonction de sa position (jusqu’au 1/10 000ème). . les repérer, les placer sur une droite graduée en conséquence, . produire des décompositions liées à une écriture à virgule, en utilisant 10 ; 100 ; et 0,1 ; 0,01 ; 0,001...  Donner une valeur approchée à l’unité près, au dixième ou au centième près.

35 Effectuer un calcul posé
Les programmes CM1 CM2 Nombres et calcul Calcul Calculer mentalement  Consolider les connaissances et capacités en calcul mental sur les nombres entiers.  Multiplier mentalement un nombre entier ou décimal par 10, 100,  Estimer mentalement un ordre de grandeur du résultat. Effectuer un calcul posé  Addition et soustraction de deux nombres décimaux.  Multiplication d’un nombre décimal par un nombre entier.  Division euclidienne de deux entiers.  Division décimale de deux entiers.  Connaître quelques fonctionnalités de la calculatrice utiles pour effectuer une suite de calculs. Problèmes  Résoudre des problèmes engageant une démarche à une ou plusieurs étapes.  Consolider les connaissances et capacités en calcul mental sur les nombres entiers et décimaux.  Diviser un nombre entier ou décimal par 10, 100,  Addition, soustraction, multiplication de deux nombres entiers ou décimaux.  Division d’un nombre décimal par un nombre entier.  Utiliser sa calculatrice à bon escient.  Résoudre des problèmes de plus en plus complexes.

36 Les compétences sont nombreuses dès le CM1.
Elles reposent sur les savoirs et savoir-faire concernant les fractions courantes et décimales. On n’est pas obligé d’attendre une totale maîtrise des fractions pour aborder les nombres décimaux. Le calcul mental constitue un enjeu important. Cette partie du programme doit faire l’objet d’un travail croisé avec les autres champs mathématiques (grandeurs et mesures, organisation et gestion de données) mais aussi avec les sciences, l’histoire, la géographie, l’EPS… Donner du sens à ces nouveaux nombres et aux calculs qui s’y rapportent.

37 Introduction des nombres décimaux
Pour introduire les nombres décimaux, l’écriture fractionnaire est à privilégier car elle présente le nombre décimal comme un nombre. L’écriture décimale introduite par les mesures pourrait apparaître comme le résultat d’un recodage dû à un changement d’unité: 234c = 2,34€

38 En utilisant le fait que le nombre rationnel a/b peut être vu comme « abe », on va utiliser la décomposition canonique et le tableau de numération pour comprendre le nouveau codage. 6537/1000 = 6 + 5/10 + 3/ /1000 u 1/10 1/100 1/1000 6 5 3 7 La virgule vient séparer la partie entière et la partie décimale pour obtenir l’écriture 6,537.

39 Les décompositions additives usuelles sont à systématiser.
L’utilisation du tableau va permettre de faire apparaître les écritures 0,1 ; 0,01 ; 0,001 qui seront utilisés dans les décompositions. , Unités Dixièmes Centièmes Millièmes 1 1/10 1/100 1/1000 , , , , 6,537 = 6 + (5 x 1/10) + (3 x 1/100) + (7 x 1/1000) 6,537 = 6 + (5 x 0,1) + (3 x 0,01) + (7 x 0,001) Les décompositions additives usuelles sont à systématiser.

40 Importance du calcul mental
Revisiter les tables de multiplication avec les nombres décimaux, avec une oralisation explicite pour aider à la compréhension et au renforcement du sens: 0,5 x 7 c’est « cinq dixièmes multiplié par sept » Le résultat est « trente-cinq dixièmes ». C’est donc « trois unités et cinq dixièmes » que l’on écrit 3,5. Recherche des compléments à l’unité qui renvoie à des pratiques sociales telles que rendre la monnaie…

41 Multiplication et division par une puissance de dix
La pratique courante veut que l’on décale la virgule vers la droite ou vers la gauche. La compréhension du mécanisme s’acquiert en passant par les fractions décimales. La justification utilise l’aspect « abe » de la notation fractionnaire et le tableau de numération.

42 10 000 1 000 100 10 1 1/10 1/100 1/1000 Centaines de milliers Dizaines Unités Dixièmes Centièmes Millièmes 3 4 6 5 , 134,65 = /10 + 5/100 ; c’est 134 unités, 6 dixièmes et 5 centièmes. Multiplié par 100, on obtient : 134 centaines, 600 dixièmes, 500 centièmes soit 5 unités car 100 centièmes = 1 donc le nombre Les chiffres ont changé de valeur, le nombre a glissé vers la gauche. ( La virgule ne s’est pas décalée vers la droite, elle est toujours à la même place !) Multiplié par 1 000, on obtient: 134 milliers, 6000 dixièmes, 5000 centièmes on a ajouté un zéro dans la colonne des unités (cf les entiers) Divisé par 10, on obtient: 13 unités, 4 dixièmes, 6 centièmes et 5 millièmes. Les chiffres ont changé de valeur, le nombre a glissé vers la droite.

43 Addition et soustraction des nombres décimaux
 Les techniques opératoires peuvent dans un premier temps prendre appui sur le tableau de numération. 10 000 1 000 100 10 1 1/10 1/100 1/1000 Centaines de milliers Dizaines Unités Dixièmes Centièmes Millièmes 2 4 6 5 7 8 3 , On verbalisera : « 5 dixièmes + 8 dixièmes = 13 dixièmes et « 13 dixièmes, c’est 1 unité et 3 dixièmes ».

44 Un nombre décimal par un nombre entier
Multiplication Un nombre décimal par un nombre entier Le calcul revient à un calcul sur un nombre entier: 2,75 x 31 revient à faire 275 x 31 puis à diviser par 100 le résultat final pour compenser la multiplication par 100 qui a transformé 2,75 en 275.

45 Un nombre décimal par un nombre décimal
Multiplication Un nombre décimal par un nombre décimal On va utiliser les équivalences d’écriture. 2,5 x 3,4 c’est (25 x 1/10) x (34 x 1/10) 25 x 1/10 x 34 x 1/10 25 x 34 x 1/10 x 1/10 (25 x 34) x (1/10 x 1/10) 850 x 1/100 8,50 147, x 1/100 X 3, x 1/10 x 35 x 1/ on divise un entier par 1 000, il y aura donc 3 chiffres derrière la virgule. Dans tous les cas, il faut parvenir à la procédure usuelle : Multiplier sans tenir compte de la virgule. Puis placer la virgule dans le résultat: la partie décimale du résultat doit avoir autant de chiffres que la somme des chiffres des parties décimales des deux facteurs. (avant d’enlever le(s) zéro(s) de la fin.)

46 La division Division à quotient décimal de 2 nombres entiers La technique opératoire de la division peut prendre appui sur le tableau de numération. 22 : 7 , 7 3,14 100 10 1 1/10 1/100 1/1000 2 7 3 8