le Théorème fondamental de l’algèbre,

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1 le Théorème fondamental de l’algèbre,
The Musical Score La partition musicale, le Théorème fondamental de l’algèbre, z n + a n-1 a = (z – z ) (z – z ) ... (z – z 1 ) et la mesure des évènements les plus brefs jamais créés Rick Trebino School of Physics Georgia Institute of Technology Atlanta, GA 30332

2 Le dilemne Bien ! Et maintenant, comment mesure-t-on
Pour caractériser un évènement dans le temps, il faut en utiliser un plus bref Pour étudier ce phénomène, il faut une source de lumière stroboscopique plus brève. Photographié par Harold Edgerton, MIT Mais dans ce cas, pour mesurer l’impulsion lumineuse du stroboscope, il faut utiliser un détecteur dont le temps de réponse soit encore plus bref. Et ainsi de suite… Bien ! Et maintenant, comment mesure-t-on l’évènement le plus bref ?

3 Les impulsions laser ultracourtes constituent les phénomènes technologiques les plus brefs jamais créés par l’homme Il est coutumier de générer des impulsions d’une durée inférieure à 10-13 s et les chercheurs parviennent même à générer des impulsions durant à peine quelques fs (10-15 s). De telles impulsions sont à la seconde ce que 5 cents sont à la dette nationale des USA. Ces impulsions ont beaucoup d’applications en physique, chimie, biologie et ingénierie. Il est possible de mesurer un évènement quelconque dès lors qu’on maîtrise des impulsions plus brèves. Dès lors, comment mesurer l’impulsion elle-même ? Il faut se servir de l’impulsion elle-même. Néanmoins, ce n’est pas suffisant car elle est seulement aussi brève que l’impulsion à mesurer et non plus brève. Les techniques fondées sur l’utilisation de l’impulsion à mesurer, elle-même, se sont révélées insuffisantes

4 Nous voulons mesurer l’amplitude et la phase d’une impulsion laser ultracourte en fonction du temps ou de la fréquence. Une impulsion laser est associée au champ électrique suivant dans le domaine temporel : E I(t)1/ 2 exp [ i w t –  (t) ] } Amplitude Phase (t) = Re { (On néglige la composante de fréquence négative.) De manière équivalente, dans le domaine des fréquences: ~ E ( w ) = Re { S(ww0)1/ 2 exp [ -i j ( w – w ) ] } Densité spectrale Phase spectrale La connaissance de l’amplitude de la phase ou de la densité spectrale et de la phase spectrale suffisent à définir l’impulsion.

5 t ddt
La phase décrit l’évolution de la fréquence de l’impulsion (c.-à-d. la couleur) en fonction du temps. t ddt La fréquence instantanée est : Exemple: distorsion de fréquence linéaire Phase, (t) Temps champ électrique Temps Fréquence, w(t) time temps Nous voudrions être à même de mesurer des impulsions à distorsion de fréquence linéaire, mais aussi des impulsions dont les phases temporelles ou spectrales puissent êtres arbitrairement compliquées.

6 Même les plus belles traces d’autocorrélation ont
des interprétations ambiguës Ces profils d’intensité compliqués présentent des traces d’autocorrélation quasi-gaussiennes. Autocorrélation Intensité Temps Retard Les conclusions tirées d’une autocorrélation ne sont pas fiables

7 Intéressons-nous, par exemple, aux ondes sonores.
L’autocorrélation et les techniques similaires fournissent peu de renseignements sur l’impulsion. Peut-être est-il temps de s’interroger sur la manière utilisée par les spécialistes d’autres domaines pour décrire les ondes… Temps Intensité Phase Intéressons-nous, par exemple, aux ondes sonores.

8 La plupart des gens se représentent les ondes sonores sur une portée musicale.
freq fréquence temps Il s’agit d’un relevé des fréquences au cours du temps, accompagné d’informations au sujet de l’intensité (ici, au-dessus de la portée) La partition musicale se situe dans l’espace “temps-fréquence”.

9 Une expression mathématique rigoureuse de
Spectrogram Une expression mathématique rigoureuse de la partition musicale est le “spectrogramme” Le spectrogramme associé à l’onde étudiée E(t) s’écrit : où g(t-t) est une porte temporelle à retard variable et où t est le retard. Sans g(t-t), SpE(w,) se résume à la densité spectrale. Le spectrogramme est une fonction de w et de t. Il s’agit de l’ensemble des spectres associés à toutes les tranches temporelles de E(t).

10 Le spectrogramme d’une onde E(t)
Nous devons calculer le spectre associé au produit : E(t) g(t- ) t E ( t ) g(t- t ) a une contribution g(t- t ) E(t) a une contribution à l’ intensité et non à la phase (c.-à-d. la couleur), à la phase (c.-à-d. de couleur), à l’impulsion “signal”. à l’impulsion “signal” E(t) g(t- t ) temps t Le spectrogramme décrit la couleur et l’intensité E(t) à l’instant t .

11 Spectrogrammme d’une impulsion à distortion de fréquence linéaire
Impulsion à distorsion négative Impulsion sans distorsion Impulsion à distorsion positive Fréquence Temps Fréquence Retard Comme une partition musicale, le spectrogramme représente graphiquement les fréquences en fonction du temps

12 Propriétés du spectrogramme
Il existe des algorithmes permettant d’extraire E(t) de son spectrogramme. Le spectrogramme détermine de manière quasi-univoque l’intensité I(t) et la phase (t) de l’onde. Il existe quelques ambiguïtés, mais celles-ci s’éliminent facilement. La porte temporelle ne doit et ne devrait pas être beaucoup plus brève que l’impulsion E(t) Supposons que la porte temporelle soit une fonction d : = L’intensité. Il n’y a aucune information sur la phase Le spectrogramme résout le dilemme! Il ne nécessite pas l’utilisation d’un évènement plus bref ! Il résout les composantes variant lentement dans le domaine temporel et les composantes variant rapidement dans le domaine des fréquences.

13 Découpage temporel résolu en fréquences (FROG)
La technique FROG consiste à découper temporellement l’impulsion à l’aide d’une réplique d’elle-même, retardée avec un délai variable, au sein d’un milieu présentant une non-linéarité optique instantanée ; puis à résoudre spectralement chaque tranche de l’impulsion. Impulsion Montage à “découpage par polarisation” à mesurer E sig (t, t ) E(t) |E(t- )| 2 Diviseur Lame de phase de phase (rotation de polarisation de 45°) Caméra Spectro- mètre Spectro- E(t- t ) meter E(t) Retard variable I FROG ( w , t ) = E sig (t, ) e - i dt ò ï 2 Milieu à non-linéarité optique instantanée Utilise une quelconque interaction due à une non-linéarité optique : génération de seconde harmonique, auto-diffraction, etc. Trebino, et al., Rev. Sci. Instr., 68, 3277 (1997) Kane and Trebino, Opt. Lett., 18, 823 (1993).

14 | Frequency-Resolved Optical Gating E (t, t ) µ E(t) E(t- sig 2
FROG Frequency-Resolved Optical Gating E sig (t, t ) E(t) | E(t- 2 Impulsion signal E(t) E(t- t ) E(t) intervient dans |E(t- t )| 2 n’intervient que la phase (la couleur), dans l’intensité et non de l’impulsion signal. dans la phase (la couleur), de l’impulsion signal. temps 2t /3 t L’impulsion signal reproduit la couleur de l’impulsion découpée temporellement, E(t), à l’instant 2t/3.

15 FROG Traces for Linearly Chirped Pulses
Traces FROG associées à des impulsions présentant une distorsion de fréquence linéaire. FROG Traces for Linearly Chirped Pulses FROG Traces for Linearly Chirped Pulses Impulsion à distorsion négative Impulsion sans distorsion Impulsion à distorsion positive Negatively chirped Unchirped pulse Positively chirped pulse pulse Fréquence Frequency Time Temps Fréquence Frequency Retard Delay La trace FROG représente de façon visuelle la fréquence en fonction du temps. The FROG trace visually displays the frequency vs. time.

16 Traces FROG associées à des impulsions plus complexes
Impulsion soumise à de l’auto-modulation de phase Impulsion à profil de phase spectrale cubique Impulsion double Intensité Fréquence Temps Fréquence Frequency Delay Retard

17 La trace FROG est un spectrogramme de E(t)
En remplaçant Esig(t, ) dans l’expression de la trace FROG : Esig(t,)  E(t) |E(t–)|2 fournit: g(t–) |E(t–)|2 où: Malheureusement, les algorithmes d’inversion d’un spectrogramme nécessitent la connaissance de la fonction d’ouverture temporelle g .

18 Examinons maintenant la trace FROG dans le cadre d’un problème à 2D de reconstruction de la phase.
Si nous voyons Esig(t,), comme la transformée de Fourier en le retard t d’un nouveau champ Esig(t,W), alors :    L’impulsion E(t) à caractériser s’obtient au départ de, Esig(t,W): E(t)  Esig(t,) et  Il nous reste à inverser cette équation intégrale pour trouver Esig(t,W). Ce problème d’inversion de l’intégrale est le problème à 2D de reconstruction de la phase, pour lequel la solution existe et est unique. De plus, des algorithmes simples permettent de le résoudre. Stark, Image Recovery, Academic Press, 1987.

19 Comparaison de la reconstruction de phase à 1-D & à 2-D
Reconstruction de phase à 1-D : Supposons que nous mesurions S(w) et recherchons E(t), où : Nous supposons que E(t) et E(x,y) ont un support fini. Pour une fonction S(w) donnée, il existe une infinité de solutions, pour E(t). Il nous manque la phase spectrale. Reconstruction de phase à 2-D : Supposons que S(kx,ky) et recherchons E(x,y) : Stark, Image Recovery, Academic Press, 1987. Pour S(kx,ky), il existe essentiellement une solution pour E(x,y) !!! Nous voyons qu’il est possible de reconstruire la phase spectrale à 2-D ! Ces résultats sont liés au théorème fondamental de l’algèbre.

20 Reconstruction de phase et théorème fondamental de l’algèbre
Le théorème fondamental de l’algèbre stipule que tout polynôme peut se factoriser fN-1 zN-1 + fN-2 zN-2 + … + f1 z + f0 = fN-1 (z–z1 ) (z–z2 ) … (z–zN–1) Le théorème fondamental de l’algèbre n’a pas d’équivalent pour les polynômes à 2 variables. Seul un ensemble de mesure nulle peut être factorisé. fN-1,M-1 yN-1 zM-1 + fN-1,M-2 yN-1 zM-2 + … + f0,0 = ? En quoi cela importe-t-il ? L’existence du théorème fondamental de l’algèbre à 1-D implique l’impossibilité de reconstruire la phase à 1-D. L’inexistence d’un théorème fondamental de l’algèbre à 2-D implique qu’il est possible de reconstruire la phase à 2-D.

21 Phase Retrieval & the Fund Thm of Algebra 2
Reconstruction de la phase 1-D et théorème fondamental de l’algèbre. La transformée de Fourier {F0 , … , FN-1} d’un ensemble discret à 1-D [de données], { f0 , …, fN-1}, est: où z = e–ik polynôme! Le théorème fondamental de l’algèbre stipule que tout polynôme, fN-1zN-1 + … + f0 , peut être factorisé sous la forme : fN-1 (z–z1 ) (z–z2 ) … (z–zN–1) Dès lors, l’amplitude de la transformée de Fourier de nos données peut s’écrire : |Fk| = | fN-1 (z–z1 ) (z–z2 ) … (z–zN–1) | où z = e–ik La conjugaison complexe d’un quelconque des facteurs laisse l’amplitude inchangée mais modifie la phase, ce qui conduit à l’ambiguïté ! C’est pourquoi la reconstruction de la phase à 1-D est impossible.

22 Phase Retrieval & the Fund Thm of Algebra 2
Reconstruction de la phase à 2-D et théorème fondamental de l’algèbre. La transformée de Fourier {F0,0 , … , FN-1,N-1} d’un ensemble discret à 2D de données, { f0.0 , …, fN-1,N-1}, est: où y = e–ik et z = e–iq Polynôme à 2 variables ! Il n’est pas possible de factoriser les polynômes des deux variables. De ce fait, nous ne pouvons appliquer la conjugaison complexe qu’à l’expression entière (ce qui introduit une ambiguïté sans importance). Seul un ensemble de polynômes de mesure nulle peut être factorisé. Ceci rend la construction de phase à 2D possible ! Les ambiguïtés sont très clairsemées.

23 Generalized Projections
Projections généralisées Une projection envoie l’approximation actuelle de l’onde sur le point le plus proche de l’ensemble des contraintes. Ensemble d’ondes qui satisfont la con- trainte décrivant la non-linéarité optique : Esig(t,)  E(t) |E(t–)|2 La solution! Ensemble d’ondes qui satisfont la contrainte sur les mesures : Candidat initial pour Esig(t,) (t, t ) sig La convergence est garantie pour des ensembles convexes, mais elle apparaît généralement, même quand les ensembles sont non convexes.

24 Champs électriques d’impulsions laser ultracourtes mesurés par FROG
Kohler traces Champs électriques d’impulsions laser ultracourtes mesurés par FROG Traces FROG Longueur d’onde (nm) Champs électriques obtenus par FROG Intensité Temps (fs) Temps (fs) Données aimablement fournies par les professeurs Bern Kohler et Kent Wilson du département de chimie de l’UCSD.

25 FROG à une seule occurrence fournit un contrôle en temps-réel des performances d’un laser.
Un compresseur d’impulsions à réseau requiert un espacement très précis entre les deux réseaux, sans quoi l’impulsion subira de la distorsion de fréquence (positive ou négative). Aligner un tel dispositif peut s’avérer très difficile. Remarquons que la trace a tourné de 90˚. Données enregistrées par Toth et ses collaborateurs

26 Impulsions les plus brèves au fil des ans
Graphique élaboré en 1994, reflétant la situation à cette époque. Durée de l’impulsion la plus brève Au milieu des années 90, l’impulsion la plus brève produite par un laser à Titane-saphir durait 10fs, mais son spectre était insuffisamment large pour en supporter une plus brève encore. Année

27 10-fs spectra and autocorrs
Pour cette impulsion, la densité spectrale mesurée avait deux bosses et l’autocorrélation présentait des ailes. Deux théories concurrentes coexistent et s’accordent avec les données. Théorie n°1 Coherence ringing Théorie n°2 Dispersion matérielle Données expérimentales Spectre Longueur d’onde (nm) Autocorrélation Retard (fsec) De Harvey et. al, Opt. Lett., v. 19, p. 972 (1994) De Christov et. al, Opt. Lett., v. 19, p (1994) Données aimablement fournies par K. et M., WSU Bien qu’elles prédissent des profils d’impulsions différents, les deux théories étaient compatibles avec les données mesurées.

28 FROG permet de départager les deux théories
Coherent ringing Dispersion matérielle Retard (fs) Impulsion mesurée Phase (rad) Intensité Longueur d’onde (nm) Retard (fs) Retard (fs) Taft, et al., J. Special Topics in Quant. Electron., 3, 575 (1996).

29 Mesures d’impulsions de 4.5-fs par SHG FROG !
Expérience Reconstruit Longueur d’onde (µm) Longueur d’onde (µm) Baltuska, Pshenichnikov, and Weirsma, J. Quant. Electron., 35, 459 (1999). Temps (fs) Temps (fs) Domaine temporel Domaine fréquentiel Intensité Phase Temps (fs) Longueur d’onde (nm)

30 Mesure d’un continuum de fréquences ultralarge
Un continuum de fréquences ultralarge fut généré en propageant des impulsions de 1 nJ, 800 nm, 30 fs dans 16 cm de fibre micro-strucutre Lucent. L’impulsion à 800 nm fut mesurée par FROG et constitua une impulsion de référence idéale pour servir de porte temporelle. Intensité et phase reconstruites Trace X-FROG Intensité [u.a.] Longueur d’onde du signal de somme de fréquence (nm) Longueur d’onde du continuum (nm) Temps (ps) Retard (ps) Kimmel, Lin, Trebino, Ranka, Windeler, and Stentz, CLEO 2000. Intensité [u.a.] Cette impulsion a un produit temps-fréquence proche de Elle constitue le phénomène ultracourt le plus complexe jamais mesuré. Longueur d’onde (nm)

31 Sensibilité de FROG 1 microjoule = 10 J 1 nanojoule = 10 J
– 6 J 1 nanojoule = 10 – 9 J Frog peut mesurer des impulsions contenant une quantité d’énergie aussi faible que : 1 picojoule = 10 – 12 J 1 femtojoule = 10 – 15 J 1 attojoule = 10 – 18 J On suppose être dans des conditions de mesures en multi-coup, à 800 nm, pour des impulsions de 100 fs à 100 MHz de taux de répétition.

32 Mesure d’impulsions lumineuses ultracourtes et ultrafaibles
Commes les impulsions ultracourtes et ultrafaibles sont souvent créées au départ d’impulsions beaucoup plus énergétiques, on dispose en général d’une impulsion de référence plus énergétique. E inc réf t Spectromètre Caméra 1/t fréquence Utilisez l’interférométrie spectrale S SI ( w ) = réf + inc 2 cos[ j - t ] Ceci n’implique aucune non-linéarité ! ... et un retard unique ! Froehly, et al., J. Opt. (Paris) 4, 183 (1973) Lepetit, et al., JOSA B, 12, 2467 (1995) C. Dorrer, JOSA B, 16, 1160 (1999) Fittinghoff, et al., Opt. Lett., 21, 884 (1996). FROG + IS= TADPOLE (Temporal Analysis by Dispersing a Pair Of Light E-fields) Analyse temporelle par dispersion lumineuse d’une paire de champs électriques lumineux

33 Sensibilité de l’interférométrie spectrale (TADPOLE)
1 microjoule = 10 – 6 J 1 nanojoule = 10 – 9 J On a mesuré un train d’impulsions qui contenait à peine 42 zepto- joules (42 x J) par impulsion. Ceci équivaut à l’énergie d’un photon pour 5 impulsions ! Fittinghoff, et al., Opt. Lett. 21, 884 (1996). 1 picojoule = 10 – 12 J 1 femtojoule = 10 – 15 J 1 attojoule = 10 – 18 J peut mesurer des impulsions TADPOLE contenant une quantité d’énergie aussi faible que : 10 1 zeptojoule = – 21 J

34 La lumière non polarisée n’existe pas...
...mais il existe cependant de la lumière dont l’état de polarisation se modifie trop vite pour être mesuré avec les instruments disponibles ! C’est pourquoi nous mesurons E(t) pour deux polarisations, en fonction du temps, en utilisant deux dispositifs TADPOLE : E réf E inc Polarisation verticale Spectromètre Caméra Polarisation Polariseurs horizontale Spectromètre Caméra POLLIWOG (POLarization-Labeled Interference vs. Wavelength for Only a Glint*) * Glint = “a very weak, very short pulse of light” POLLIWOG ( POL arization L abeled I nterference vs. W avelength for O nly a G lint* ) * Glint = “a very weak, very short pulse of light” Interférences distinctes en polarisation en fonction de la longueur d’onde, appliquées à une impulsion très peu énergétique et très brève. Walecki, Fittinghoff, Smirl, and Trebino, Opt. Lett. 22, 81 (1997)

35 Application de POLLIWOG
La mesure de l’évolution de l’état de polarisation du signal émis par un puits quantique multiple d’AsGa-AsAlGa lorsque les excitons basés sur des trous lourds et ceux contenant des trous légers sont excités permet de comprendre la physique de ces dispositifs. PQM Densité spectrale du laser d’excitation et spectres des excitons hh et lh (heavy-hole & light-hole). Évolution de l’état de polarisation de l’émission : Référence Retard fixé temps (fs) A. L. Smirl, et al., Optics Letters, Vol. 23, No. 14 (1998)

36 FROG est le dispositif de mesure en amplitude et phase le plus simple
FROG est le dispositif de mesure en amplitude et phase le plus simple. Malgré cela, peut-on le simplifier davantage ? SHG FROG [FROG basé sur le doublage de fréquence] utilise un diviseur de faisceaux et une ligne à délai qui présentent 3 degrés de liberté. Le spectromètre offre 3 degrés supplémentaires. L’utilisation d’un cristal fin est pénible et conduit à une sensibilité médiocre (puissance du signal  L2). Les alternatives à FROG sont pires ! Des faisceaux colinéaires, par exemple, offrent 5 degrés de liberté ! Caméra Cristal générant l’harmonique seconde E(t) E(t- t ) Retard variable Spectromètre Le cristal doit être très fin Éliminons la ligne à retard ! Éliminons le cristal fin ! spectromètre ! Étonnamment, il est possible de construire un système FROG s’affranchissant de toutes complications !

37 L’ouverture angulaire de l’harmonique seconde est inversément proportionnelle à l’épaisseur du cristal. Supposons que de la lumière blanche atteigne un cristal à génération de seconde harmonique, avec une grande ouverture. L’ouverture du faisceau d’harmonique seconde créé est inversement proportionnelle à l’épaisseur du cristal. Un cristal très fin crée un spectre doublé très large dans toutes les directions. Les autocorrélateurs et dispositifs FROG classiques utilisent de tels cristaux. Un cristal fin crée un spectre doublé plus étroit dans une direction donnée et ne peut de ce fait être utilisé dans un autocorrélateur ou dispositif FROG. Cristal doubleur fin Cristal doubleur très fin Un cristal épais commence à séparer les couleurs. Cristal doubleur épais Un cristal très épais agit comme un spectromètre ! Pourquoi ne pas remplacer le spectromètre du dispositif FROG par un cristal épais ? Cristal doubleur très épais

38 GRating-Eliminated No-nonsense Observation of Ultrafast Incident Laser Light E-fields (GRENOUILLE)
Remplaçons le diviseur de faisceau et la ligne à retard par un biprisme de Fresnel qui sépare Remplaçons le cristal fin et le spectromètre par un cristal épais. le faisceau en deux parties se croisant. Longueur d’onde Impulsion incidente Retard Caméra Cristal épais à GSH La lentille cylindrique produit une focalisa- tion sur une ligne, permettant d’opérer en régime mono-coup. Lentilles cylindriques Les lentilles cylindriques imagent horizontalement et transposent l’inclinaison en position verticale. Bi-prisme de Fresnel Patrick O’Shea, Mark Kimmel, Xun Gu and Rick Trebino, Optics Letters, 2001; Trebino, et al., OPN, June 2001.

39 Configuration des faisceaux dans “GRENOUILLE”
La lentille transpose la position dans Vue de haut le cristal (donc le retard t) en une position sur la caméra. On peut placer une fente permettant d’éliminer les autres faisceaux. Lentille d’imagerie Cristal à GHS épais Lentille cylindrique Biprisme de Fresnel Caméra Lentille de TF Vue de profil La lentille transpose l’inclinaison (donc la longueur d’onde) en une position verticale sur la caméra.

40 Tester GRENOUILLE concrètement
FROG Mesuré : Reconstruit : Même pour des impulsions hautement structurées, GRENOUILLE fournit une reconstruction précise de l’amplitude et de la phase. Longueur d’onde (nm) Longueur d’onde (nm) Retard (fs) Retard (fs) Longueur d’onde (nm) Longueur d’onde (nm) Retard (fs) Retard (fs) Impulsions reconstruites dans le domaine temporel et dans le domaine fréquentiel Intensité (u.a.) Intensité (u.a.) Phase (rad) Phase (rad) Temps (fs) Longueur d’onde (nm)

41 La technique FROG présente plusieurs avantages !
FROG fournit les profils complets d’amplitude et de phase en fonction du temps (et de la fréquence). FROG est très précis, en particulier, pour mesurer la phase sur les ailes de l’impulsion. FROG est facile à mettre en œuvre et GRENOUILLE est d’une simplicité surprenante. FROG est très générale : elle permet de mesurer des impulsions de structures simples ou extêmement complexes (PTF > 1000 !). FROG permet la mesure d’impulsions durant de quelques fs à plusieurs ps. Elle opère de l’infrarouge-moyen au domaine UV. FROG fonctionne en mono - et multicoup. FROG est très sensible : elle peut mesurer des impulsions de ~1-pJ (multicoup) et de ~1-µJ (monocoup). Les traces FROG sont intuitives (en particulier, dans les versions PG, SD & TD). Les traces FROG ont une étendue proportionnelle au produit temps-fréquence. FROG est insensible au bruit (ajout de 10% de bruit < 1% d’erreur sur l’intensité et la phase). Les valeurs marginales de FROG permettent un excellent contrôle de la validité des mesures. FROG utilise plus de mesures qu’il n’en faut pour caractériser l’impulsion, ce qui permet de repérer d’éventuelles erreurs systématiques. FROG permet l’élimination des erreurs systématiques, même de causes inconnues. L’algorithme de reconstruction de l’impulsion est d’utilisation aisée et peu coûteuse (~ 500 USD). FROG s’adapte très facilement et peut exploiter quasiment n’importe quel nouvel effet. Les mesures FROG peuvent être taillées sur mesure pour quasiment toute expérience, en appliquant des changements mineurs — ce qui conduit à de plus grandes précision et aisance d’utilisation. FROG se révèle rapide : l’algorithme de Kane, utilisant les composantes principales peut produire 20 Ips. FROG permet la mesure simultanée de deux impulsions. FROG fournit naturellement des barres d’erreur pour l’intensité et la phase reconstruites. FROG est rigoureuse et a fait ses preuves.

42 Pour en apprendre davantage au sujet de FROG, connectez-vous au site web dédié à FROG !
Ou lisez le livre!

43 Réalisée par Pascal Kockaert Service d'optique et d'acoustique
Traduction française Réalisée par Pascal Kockaert Service d'optique et d'acoustique Université libre de Bruxelles