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Publié parAndré Vial Modifié depuis plus de 10 années
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Coalescence et grandes structures combinatoires
Philippe Chassaing Institut ELIE CARTAN Nancy Rouen, 6 Juin 2002
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Graphe aléatoire
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Tailles des composantes
Erdös & Rényi, …….. Janson, Luczak, Knuth & Pittel, 1993 Aldous, 1997 La suite converge vers la suite des longueurs des excursions de au dessus de son minimum courant OK pour la loi limite à t fixé ! Quid de la loi du processus en t ? Coalescent multiplicatif ?
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Fragmentation d ’un arbre
Aldous & Pitman 1999 Coalescent additif !!
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Coalescence des blocs ? Quid ?
Parking Coalescence des blocs ? Quid ?
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Excursion & coalescence
f : excursion Brownienne normalisée Bertoin 2000 Coalescence et fragmentation des excursions quand a varie Coalescent additif d ’Aldous & Pitman
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Equations de coagulation
Marian von Smoluchowski, 1916 x entier Cas particulier
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Processus de Marcus Lushnikov
A chaque couple de particules (i,j), de tailles respectives x et y, on associe une variable aléatoire Ti,j de loi donnée par: La première coalescence a lieu à l ’instant : et concerne le couple de particules (I,J) défini par Introduit par M&L pour approcher numériquement les solutions des équations de Smoluchowski Résultats de convergence par Jeon, Norris, Fournier, Deaconu, Tanré, Wagner, etc ...
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Lien Parking—Smoluchowski: le bloc marqué (tagged particle)
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Le bloc marqué Parking ~ Smoluchowski additif ?
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Parking = Marcus-Lushnikov
Pour chaque objet (véhicule) x, la pulsion de parking (!!!) se produit au bout d ’un temps Tx aléatoire exponentiel de moyenne 1. Les Tx sont indépendants ... Date du kème événement: T(k) Changement de temps ? Probabilité d ’agglomérer un bloc de taille x à un bloc de taille y lorsque restent exactement r blocs Parking = Marcus-Lushnikov
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Lien Parking—excursion: hachage & coût de construction
Coût de recherche = ? = déplacement total
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Flajolet, Viola & Poblete, Knuth,
Déplacement total Espérance m places, n objets 1999 Variance Flajolet, Viola & Poblete, Knuth, Cas épars Cas plein
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Polynomes de Kreweras
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Aire sous l ’excursion Brownienne : r
Polynomes de Kreweras Getoor Sharpe 1979, Shepp 1982, Louchard 1984, Biane-Yor 1987, Groeneboom 1989, Takács 1991
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Aire sous l ’excursion Brownienne : r
déjà étudiée comme étant limite du cheminement total dans un arbre au hasard (Takac 1995) Flajolet, Viola & Poblete, 1999
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Lien Parking—excursion: le bloc marqué
La largeur d ’une excursion de Tae est distribué comme (??) Le premier terme du coalescent additif standard est distribué comme (Aldous, Pitman, 2000)
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Lien Parking—excursion: le profil
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Profils successifs cf. Bertoin 2000
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Le modèle limite places vides
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Convergence signifie "unift pour (a,t) [0,A] [0,1], A arbitraire")
Chassaing & Louchard 2000 signifie "unift pour (a,t) [0,A] [0,1], A arbitraire")
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Lien arbres—parking Schutzenberger, Foata-Riordan, Françon,
Kreweras ...
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Fragmentation de l ’arbre ≈ agrégation des blocs
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Hachage et graphes connexes
Nombre de graphes connexes à n sommets et n+k-1 arètes
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Nombres de coupes au hasard pour détruire un arbre:
Élagage (bis) Chassaing & Marchand 2002 Nombres de coupes au hasard pour détruire un arbre:
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Hachage et processus empiriques
31
Largeur et hauteur des arbres
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Applications à l ’algorithmique
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