La loi normale et l’estimation de paramètres

Présentation au sujet: "La loi normale et l’estimation de paramètres"— Transcription de la présentation:

1 La loi normale et l’estimation de paramètres
Lien avec le marketing? Inférence statistique: généralisation de l’information obtenue auprès d’échantillons. Quelle proportion des adultes à Montréal portent des souliers de taille supérieur à 13 ?

2 L’estimation par intervalle de confiance
Ex: J’aimerais savoir quelle est la vraie moyenne par rapport aux dépenses en cosmétiques par mois pour les femmes au Québec. Après avoir fait un sondage, on trouve que c’est 100$/mois Je veux savoir quelle est la vraie moyenne. Mon chiffre ne vient que d’un seul sondage. La lettre qui représente ce chiffre (moyenne dans un échantillon) Je dois donc calculer une marge d’erreur et créer une intervalle de confiance.

3 Salaire moyen au Qc d’une personne qui travaille en Tech admin niv.3 ?
56181$ avec un écart type de 5000$ Si les salaires suivent une courbe normale, P(X>70000$)

4 Niveau de confiance Quand un fait un échantillonnage: risque d’erreur.
Pour établir l’intervalle de confiance, on a besoin d’appliquer la loi des probabilités. Nous allons utiliser la loi normale.

5 La courbe normale Comment est-ce qu’on a crée la courbe normale?
Caractéristiques d’un être humain Taille, mensurations diverses, pression artérielle, performance à un test de mémoire Longueur des épis de maïs, circonférence de troncs d’arbres Distance parcourue par une balle de golf Quel est le nom de ce graphique?????? Créer graphique avec poids bébés au Québec

6 Caractéristiques de la loi normale
La courbe normale couvre toutes les possibilités (donc 100%). L’aire entre une courbe normale et l’axe des abscisses vaut toujours 1 Alors, l’aire sous la moitié de la courbe est = à….

7 Comment calculer la proportion avec la table de la loi Normale centrée réduite?
On veut calculer la proportion des cotes z qui prennent une valeur entre 0 et 0.21 Regarder la table normale centrée réduite et aller à l’intersection de la ligne 0.20 et la colonne 0.01 Ça donne _______? Ceci veut dire que _____% des cotes z sont compris entre 0 et 0.21 Exemple, moyenne d’un test de QI est de 100 et l’écart type est de 15 On veut savoir quel proportion des gens ont eu entre 90 et 100 P(90<X<100)

8 Les étapes pour estimer une proportion avec la loi normale
Dessiner la courbe avec les données du problème pour bien comprendre ce qui est demandé. Transformer les valeurs en cote Z (pour être capable d’utiliser la table de la loi normale centrée réduite). Ceci est la loi normale pour une moyenne de 0 et une variance de 1 (Une des situations possibles parmi une infinité de possibilités). Façon simple de mesurer des aires sous la courbe normale. Cote Z=(X- moyenne)/écart type 3. Aller chercher les % qui correspondent aux cote Z

9 Quelle est la distance entre Britney et l’arbre
Quelle est la distance entre Britney et l’arbre? Quelle est la distance entre Homer et l’arbre?

10 Que faire si la cote z recherchée n’apparaît pas directement dans la table?
Choisir la valeur K la plus proche de la proportion donnée Si les 2 proportions de la table sont équidistances de la proportion donnée, fait la moyenne Ex: si on recherche la cote z qui donne une proportion de 39.53%

11 Moyenne échantillonnale
Taille Moy filles dans population (cégep): 1,63m Écart type dans popul : 6,6cm Si tu fais un polygone de fréquence, ça va ressembler à une cloche. Si tu fais un sondage avec un n>30 et que tu utilises la méthode d’échantillonnage aléatoire simple Ton polygone de fréquence va aussi ressembler à une cloche!

12 Estimer avec une intervalle de confiance
Si on prend un échantillon et on veut estimer le µ à partir de la moyenne d’un échantillon, que faire? Si la taille de l’échantillon >30 et que l’échantillonnage a été fait avec la méthode aléatoire simple, on pourra utiliser la table de la loi normale centrée réduite avec une petite modification à l’écart type. On fait un échantillon du poids des gars au cégep. La moyenne est de 179 lbs. Je veux estimer la vraie moyenne dans la population. (moy +Marge d’erreur;moy – ME) On calcule la marge d’erreur (Ex: 4lbs) Donc, on est confiant que la vraie moyenne est entre (175 lbs et 183 lbs)

13 Étapes pour calculer la marge d’erreur pour la moyenne
Étape 1: On divise le niveau de confiance (le %) par 2 Ensuite, on va chercher ce % dans le tableau de la loi normale centrée réduite Étape 2: On trouve la cote Z qui correspond à ce % Ex: 95%/2=47.5% ou Le Z qui correspond à ce % est _____? Étape 3: Ensuite, on multiplie cette cote Z par l’écart type échantillonnale qui est (s/√n).

14 Estimation par intervalle de confiance
On a 90 dossiers médicaux pour des hommes décédés en 2000. L’âge moyen de l’échantillon était de 68.3 ans avec un écart type de 8.1 ans On veut l’intervalle qui va contenir la vraie moyenne avec un niveau de confiance de 99% Formule: Borne inférieure: moy échant – la marge d’erreur Borne supérieure: moy échant+ la marge d’erreur

15 Estimation d’une proportion par intervalle de confiance
Borne inférieure : p – marge d’erreur Borne supérieure : p + marge d’erreur Marge d’erreur = cote z x √(p(1-p)/n)

16 Calcul de la taille de l’échantillon
Exercice Excel