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Publié parGervais Godin Modifié depuis plus de 10 années
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Permutations de Baxter & Orientations bipolaires planes
ALEA 2008 Permutations de Baxter & Orientations bipolaires planes Nicolas Bonichon, Mireille Bousquet-Mélou & Eric Fusy
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Permutations Une permutation = (1)(2)…(n), est une bijection de [n] sur [n] Le diagramme d’une permutation , est l’ensemble des points (i, (i)). On note Sn l’ensemble des permutations de [n]. Montée, descente, saillants … =
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Permutation de Baxter [Glen Baxter 64]
est de Baxter ssi : Bn = Sn(25314, 41352) Motifs interdits :
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Orientation bipolaire plane
Une orientation bipolaire plane est une carte planaire orientée : Acyclique 1 seule source et 1 seul puits tous 2 sur la face externe. Prop 1 : Prop 2 : Une carte M admet une orientation bipolaire ssi M+(s,t) est 2-connexe. V: F:
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Orientation bipolaire plane : applications
Dessin de visibilité Dessins orthogonaux Structures transverses …
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Enumération [Chung et al 79] [Mallows’79] Permutation Bijections
[Cori, Dulucq, Viennot, Guibert, Gire] Arbres jumeaux Triplets de chemins de grand Dyck [Rodney Baxter’01] Bipolaires planes Bijections [Fusy, Poulalhon, Schaeffer’07] Triplets de chemins de grand Dyck [Fusy’07] Structures Transverses [Felsner, Fusy, Noy, Ordner’07] permutations. [MBM’03]
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Résultat principal Thm : Une bijection qui envoie les permutations de Baxter sur les bipolaires : taille n k descentes l montées i saillants sup gauche i’ saillants inf droite j saillants sup droite j’ saillants inf gauche n arêtes k faces internes l+2 sommets Chemin gauche de longueur i Chemin droit de longueur i’ Puits de degré j Source de degré j’
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: Etape 1
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: Etape 2
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Propriétés Lemme 1 : les sommets noirs sont de degré 2. Lemme 2 : Le dessin est planaire. Prop 1 : est une application des permutations de Baxter vers les orientations bipolaires
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Arbre de génération des Baxter
Bn+1 -> Bn : suppression de l’élément n+1. Bn -> Bn+1 : ajout du n+1 (a) avant le k-ème saillant sup. gauche (b) après le k-ème saillant sup droit. Lemme : l’arbre de génération des Baxter est isomorphe à l’arbre : (1,1) (i,j) -> {(k, j+1) : 1 <= k <= i} U {(i+1, k) : 1 <= k <= j} Rq : Ces paramètres correspondent aux nombres de saillants supérieurs gauches et droits.
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Arbre de génération des Baxter
Bn+1 -> Bn : suppression de l’élément n+1. Bn -> Bn+1 : ajout du n+1 (a) avant le k-ème saillant sup. gauche (b) après le k-ème saillant sup droit. Lemme : l’arbre de génération des Baxter est isomorphe à l’arbre : (1,1) (i,j) -> {(k, j+1) : 1 <= k <= i} U {(i+1, k) : 1 <= k <= j} Rq : Ces paramètres correspondent aux nombres de saillants supérieurs gauches et droits.
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Arbre de génération des Bipolaires
On+1 -> On Soit e=(t,v) l’arête la plus à droite du puits. (a) deg-(v) > 1 Supprimer e (b) deg-(v) = 1 Contracter e
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Arbre de génération des Bipolaires
On -> On+1 : (a) Ajouter une arête vers le k-ème sommet du bord gauche. (b) « déléguer les k premières arêtes » Lemme : l’arbre de génération des bipolaires est isomorphe à l’arbre : (1,1) (i,j) -> {(t, j+1) : 1 <= t <= i} U {(i+1, t) : 1 <= t <= j}
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est bien une bijection.
Arbres isomorphes une bijection . Par récurrence sur n on montre que () =()
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Symétrie selon la 1ère diagonale
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Rotation de 90° et Dualité
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-1 Tx Ty
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Remarque On retrouve l’algorithme de dessin de [di Battista et al. 92]
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Treillis des orientations bipolaires
Thm [Ossona de Mendez 94] : l’ensembles des orientations bipolaires d’une carte a une structure de treillis distributif. La relation de couverture est la suivante : Corollaire : les cartes 2-connexes sont en bijection avec les bipolaires sans LOP Lemme : les cartes séries-parallèles sont en bijection avec les bipolaires sans LOP ni ROP. LOP ROP
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Spécialisations de Lemme : () contient un LOP contient 41352
() contient un ROP contient 25314 Rq : Sn(25314,3142) = Sn(25314, , 41352) Sn(2413,3142) = Sn(25314, 25314, , 41352) Corollaire : est une bijection de Sn(25314,3142) vers les cartes 2-connexes à n+1 arêtes Sn(2413,3142) vers les cartes séries-parallèles à n arêtes
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Cartes séries-parallèles
Spécialisations de Baxter Baxter Sn(2413) Sn(2413,3142) = = = Sn(25314, 41352) Orientations Min Sn(25314,3142) Cartes 2-connexes Sn(2413,3142) Orientations bipolaires Orientation Min&Max Cartes séries-parallèles [Dulucq Gire West 96] [Gire 93]
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Perspectives Permutations de Baxter alternantes 2n (2n+1)
Enumérées par Cn.Cn (Cn.Cn+1 ) [Cori Dulucq Viennot’86] [Dulucq Guibert’98] Permutations de Baxter doublement alternantes 2n (2n+1) Enumérées par Cn [Guibert Linusson’00]
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Travaux en cours Orientations mono-source Involutions de Baxter
Liens avec les cartes Eulériennes
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Motif exclu contient le motif si le diagramme de est obtenu à partir de celui de en supprimant des lignes et des colonnes. On note Sn() l’ensemble des permutations qui excluent . Ex : Sn()=213
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Arbre de génération Un arbre de génération d’un ensemble E est un arbre tel que : Chaque objet de En apparaît une fois au niveau n. Les arêtes reliant les sommets de niveau n à ceux du niveau n+1 correspondent aux règles de génération permettant de construire les objets de En+1 à partir de ceux de En. Ex : Chemins de Dyck : En+1 -> En : suppression du dernier pic En -> En+1 : ajout d’un pic dans la dernière descente. L’arbre de génération des chemins de Dyck est isomorphe à l’arbre : (0) (p) -> (1), (2), …,(p), (p+1) Rq : Ce paramètre correspond à la longueur de la dernière descente.
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Motif barré. Ex : 25314 Une permutation barrée est une permutation avec un élément distingué. On note ’ la permutation sans l’élément barré. Ex : = 25314 ’ = 2413 On dit qu’une permutation contient le motif barré , s’il existe une occurrence de ’ qui ne soit pas une sous-occurrence de . Rq : Sn(25314) ssi toute sous-suite 2413 de est aussi une sous-suite de
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Permutation de Baxter = Sn(25314, 41352)
Définition par factorisation : [Glen Baxter]
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