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Plasticité Fluage B Origine de la Plasticité

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1 Plasticité Fluage B Origine de la Plasticité
A Plasticité à Basse Température B Origine de la Plasticité C Plasticité à Haute Température J.C. Charmet © 2005

2 Plasticité à Basse Température
A-I Comportement Plastique A-II Frontières de Plasticité A-III Critères de Plasticité A-IV Equations de la Plasticité A-V Chargement Radial

3 A-I Comportement Plastique
A-I -1 Seuil de Plasticité A-I-2 Déformations Plastiques A-I-3 Plasticité Pure A-I-4 Instabilité Plastique

4 I-1 Le Seuil de Plasticité
Limite d’élasticité Vraie sV : Plastification du premier grain de la microstructure Valeur inaccessible à la mesure sV s e Limite d’élasticité Conventionnelle ou Seuil de Plasticité sC(eP) correspond à la contrainte sC produisant une déformation Plastique Permanente eP (conventionnellement 2% après décharge élastique) sC Plastification commençante Décharge élastique Déformation totale Élasto-Plastique eT eT Charge élastique eP Déformation plastique permanente eP

5 I-2 Les Déformations Plastiques
Déformation plastique modérée Faible variation de la Texture (structure interne du matériau) Modules élastiques inchangés s e eP Ecrouissage : Durcissement Elévation du Seuil de Plasticité au cours de l’écoulement plastique sC  eP sC >0 sV Réduction de la Ductilité Réduction progressive de l’Allongement plastique encore possible avant Rupture et Diminution progressive de la Capacité de durcissement  eP2 2sC <0 e s sC Effet Bauschinger s’C Diminution du Seuil de Plasticité pour les Contraintes opposées à celles provoquant l’Ecoulement plastique Déformation plastique intense Forte variation de la Texture  Anisotropie et Modification des Modules élastiques

6 I-3 Plasticité Pure Plasticité Parfaite s sC ee E
La Plasticité pure est Indépendante du temps, Absence d’effets visqueux Plasticité Parfaite s sC ee E Elasticité s < sC  ee= e = e sC eP Ecoulement plastique libre s = sC eP indéterminé eP ee Elasticité s < sC  ee= e – eP = s E e =f(s ) Plasticité Ecrouissante E s ee sC e Elasticité s < sC  ee= e = sC K Ecoulement plastique contenu sI K eP = = s -sC K module plastique eP e =f(s ) e=eP+ee= s( ) = - sC K 1 E s E’ ds de E’= E’ module tangent K<<E  E’K sC sI s = sC + sI sI Contrainte interne de contention e = eP + ee eP ee e s E ee = E module élastique Plasticité ds>0  ds=E’de = KdeP ds Elasticité ds<0  ds=E’de = Edee Chaque point de la courbe de charge est un point de bifurcation  équations incrémentales

7 I-4 Instabilité Plastique
en ou dl sn ou F Courbe de charge : sn=f(en) F=snS0=sS Instabilité dF=0 Striction dsn den =0 e s Loi de comportement : s=f(e) e=Ln(1+en) s= sn Ln(1+en) Allongement uniformément réparti Au RP RP Limite de Résistance Au Allongement uniformément réparti ds de s = = dS S ds s dF F + =0 =-de Rupture Ar Ar Allongement à rupture Re Re Limite élastique = dS S dl l dV V + =0 =-de s e Striction stable (polymères) Déformation plastique à volume constant V=S0l0=Sl

8 A-II Frontières de Plasticité
A-II -1 Frontière Elastique A-II-2 Patin Elasto Plastique A-II-3 Elasticité vs Plasticité A-II-4 Frontière d’Ecoulement A-II-5 Chargement Limite

9 II-1 Frontière Elastique
Frontière Elastique Initiale s1 s2 s3 Dans l’Espace des Contraintes (s1 , s2, s3) s = partant de l’Etat initial =0 s = Surface de charge f( )=0 La Frontière Elastique ou Surface de Charge f( )=0 est constituée de l’ensemble des Points de Plastification Naissante correspondant à tous les Trajets de Charge possibles Le Domaine Elastique f( )<0 est intérieur à la Surface de Charge s = s = le Point de Charge 0 décrit dans le Domaine Elastique un Trajet de Charge s jusqu’au Point de Plastification Naissante 0 = Les Points de Charge sont confinés à l’ Intérieur ou Sur la Surface de Charge f( )  0 s = Frontière Elastique Ecrouie s1 s2 s3 Tout Point de Charge situé sur la Frontière Elastique Initiale f( )=0 est un Point de Bifurcation s = Pour un Incrément de Charge d dirigé vers l’Extérieur de la Surface de Charge, celle-ci est Entraînée par le Point de Charge (Ecrouissage Plastique) et devient la Frontière Elastique Ecrouie f( ,a)=0, a étant le paramètre caractérisant l’écrouissage s = Pour un Incrément de Charge d dirigé vers l’Intérieur de la Surface de Charge, celle-ci n’est Pas Modifiée (Elasticité) s =

10 II-2 Patin Elasto Plastique
X Y F(X,Y) Force Externe S S Seuil de glissement isotrope du patin E E Raideur élastique isotrope Ue(x,y) Allongement élastique y x Matériau Isotrope à Ecrouissage Isotrope y0 x0 UP(x0,y0) Glissement plastique K K Raideur plastique isotrope F0(X0,Y0) Force Interne de contention plastique Frontière Elastique Initiale Frontière Elastique Ecrouie UP(x0,y0)0 UP(x0,y0)=0 X Y O Un Allongement élastique Ue(x= ,y= ) X E Y Ue Un Glissement plastique UP(x0,y0) // F (Loi du Frottement) associé à la Force Interne F0(X0=Kx0,Y0=Ky0) entraînant la Surface de Charge dans la direction q de F (écrouissage isotrope) UP X2+Y2=S2 X Y O Initiale X2+Y2=S2 (X-X0)2+(Y-Y0)2=S2 F0(X0,Y0) q C F(Scosq,Ssinq) q Au delà du point de plastification F=S+F0 induit : Après retrait de F : La frontière élastique écrouie est centrée en C(X0,Y0) Le patin soumis à la Force Interne de Contention -F0

11 II-3 Elasticité vs Plasticité
Matériau isotrope à écrouissage isotrope X Y O dUe L’Incrément de déformation élastique dUe // dF L’écrouissage a généré la Force Interne de Contention F0 F0 dF L’Incrément de Force dF induit : X2+Y2=S2 dUP L’Incrément de déformation plastique dUP // R (Loi du Frottement) dont l’amplitude est fonction de la direction et du module de dF C (X-X0)2+(Y-Y0)2=S2 La Surface de Charge Initiale a été Translatée de OC Par application d’une Force externe F conduisant au Point de Plastification F Le Patin est soumis à la Résultante R =F-F0 (Module S) R L’Incrément de déformation élastique dUe est parallèle à l’Incrément de charge dF appliqué au patin L’Incrément de déformation plastique dUP est parallèle à la Charge Plastifiante R appliquée au patin Traction F Torsion dC d’un fil en régime élasto plastique Dl F F  Ue =Dl // F F dq dC dC  dUe =dq // dC F dC dl dC  dUP =dl // F F Dl F  UP =Dl // F Elastique Plastique Torsion élastique sous l’action de dC Etirement plastique sous l’action de dC Puis passage progressif à la Torsion Plastique

12 Frontière d’Ecoulement
II-4 Frontière d’Ecoulement Tout Matériau admet une Limite de Résistance au delà de laquelle la Déformation Plastique ne peut plus être contenue. Ce Seuil d’Ecoulement est fonction de l’Etat de Contrainte appliqué s1 s2 O Dans l’Espace des Contraintes le long d’un Trajet de Charge Frontière d’Ecoulement La Frontière d’Ecoulement F( )=0 est la Surface Enveloppe de toutes les Frontières Ecrouies ayant atteint le Seuil d’Ecoulement Plastique Libre s = Point de Plastification Naissante : Limite Elastique Initiale Frontière Elastique Ecrouie : f( ,a)=0 s = Point d’Ecoulement Plastique Libre : Limite de Résistance Ecrouissage Insuffisant pour Contenir la Déformation Plastique Frontière Elastique Initiale : f( )=0 s = Entraînement par Ecrouissage : Limite Elastique Ecrouie Frontière d’Ecoulement et Frontière Elastique sont Confondues en l’absence d’écrouissage : Plasticité Parfaite e s

13 Surface de Chargement Limite
II-5 Chargement Limite Toute Structure admet un Chargement Limite M smax= Re Ecrouissage Pour une répartition inhomogène de contrainte la Plastification (même Parfaite) envahit progressivement la structure. Extension des zones plastifiées : Ecrouissage de la Structure Frontière Elastique Ecrouie de la Structure: f( ,a)=0 Q Tant qu’il reste des Zones Elastiques, elles contiennent l’écoulement des Zones en Déformation Plastique Lorsque toute la structure est plastifiée l’écoulement plastique devient libre, la structure a atteint son Chargement Limite ML smax= Re Chargement Limite Points d’Ecoulement Plastique Libre : Limite de Chargement Dans l’Espace des Chargements O Q1 Q2 Surface de Chargement Limite La Surface de Chargement Limite F( )=0 est la Surface Enveloppe de toutes les Frontières Ecrouies ayant atteint le Seuil d’Ecoulement Plastique Libre Q le long d’un Trajet de Charge M smax< Re Domaine Elastique Toute la Structure est en Domaine Elastique Me smax= Re Frontière Elastique Points de Plastification Naissante : Limite Elastique de la Structure Frontière Elastique de la Structure : f( )=0 Q

14 A-III Critères de Plasticité
A-III -1 Domaine de Résistance A-III-2 Matériaux Ductiles A-III-3 Tresca et Von Misès A-III-4 Mohr, Caquot et Coulomb A-III-5 Ductilité et Fragilité

15 III-1 Domaine de Résistance
Matériau à Comportement Plastique Isotrope sous Contrainte Homogène Critères de Plasticité et d’Ecoulement f( ,a)=0 Critère de Plasticité (Frontières Elastiques Initiale ou Ecrouie) et F( )=0 Critère d’Ecoulement ou Limite de Résistance sont des fonctions des 3 Invariants ou des 3 Contraintes Principales de s = *Cf. Contraintes- Déformations  Représentation des Contraintes  Critères de Plasticité et de Rupture D s1 s2 s3 Dans l’Espace des Contraintes, ce sont des Surfaces* à symétrie Ternaire autour de l’axe D des Contraintes Isotropes Domaine de Résistance ou Domaine des Déformations Plastiques Contenues F( ) < 0 s = Pour des Matériaux Homogènes (sans vide) le Domaine des Déformations Plastiques Contenues borné par la Surface P P • N’est Pas Limité du coté des Pressions (sm < 0) Une pression hydrostatique ne provoque pas de Rupture • Est Limité par la Surface S ( associée à la Rupture en Traction) du coté des Tractions (sm > 0) S Exemple de Domaines de Résistance Limités du coté des Pressions Faible Cohésion (Résistance à la Traction) Forte Résistance en Traction Tissus t s s Matériaux Inhomogènes Poreux t Faible Résistance à la Compression (Flambement) Résistance Limitée à la Compression (Ecrasement des Pores)

16 III-2 Matériaux Ductiles
Pour les corps à forte ductilité, l’expérience montre que seul intervient le Déviateur des Contraintes D= -sm avec sm Contrainte Normale Moyenne telle que 3sm=I1=Tr( ). s = d On peut donc substituer aux invariants I2 et I3 de les invariants J2= Tr( D2)/2 et J3= Det( D) correspondants de son déviateur D, J1= Tr( D)=0 par définition. Le critère se met alors sous la forme : F(J2,J3)=g(sm) s = *Cf. Contraintes- Déformations  Représentation des Contraintes  Espace des Contraintes Dans le Plan du Déviateur* perpendiculaire à D à la cote sm les projections du vecteur HM représentatif de l’Etat du Déviateur sur les perspectives des trois axes Os1,Os2,Os3 sont donc HMi= (si-sm), son module vérifiant HM2=2J2=Tr( D2). s = 3 2 s1 s3 s2 H M Traction ou Compression Pure s 0 0 0 0 0 = s 3 1 0 0 0 1 0 0 0 1 + 0 -1 0 HM= s 3 2 -1 2J2= s2 Compression Traction HM= 3 2 1 -1 2J2= 2t2 t Cisaillement Cisaillement Pur t t = t déviateur Aux fortes pressions la fonction g(sm) devient une constante indépendante de sm et la surface P se rapproche d’un cylindre de génératrices parallèles à D .

17 III-3 Tresca et Von Misès
Les Matériaux Ductiles cèdent par Cisaillement lorsque le Cisaillement Maximal t atteint la Limite de Résistance au Cisaillement k caractéristique du Matériau. Dans le cas des Métaux kCte ne dépend pas de sm. Dans l’Espace des Contraintes D H s1 s2 s3 f( )=Sup(|si-sj|)-2k=0 s = Critère de Tresca Critère de Von Misès f( )=J2-k2=0 s = , ce sont deux cylindres à base hexagonale et à base circulaire d’axe D. Dans l’Espace de Mohr (s,t), le critère de Tresca se réduit à une bande de largeur 2k t s k Compression Traction est inscrite dans la base hexagonale de Tresca , la base circulaire de Von Misès Plastique RP Elastique A Résistance au Cisaillement k fixée Von Misès J2= s La Résistance à la Traction (telle que J2=k2) vaut RP= k 1 3 Tresca Sup(|si-sj|)=s La Résistance à la Traction (telle que t=k) vaut RP=2k En traction uniaxiale s, pour une même Résistance au Cisaillement k :

18 III-4 Mohr, Caquot et Coulomb
Pour les autres Matériaux la Résistance au Cisaillement k dépend de la contrainte normale moyenne sm. k=f(sm) Critère de Von Schleicher f( )=J2-f(sm)=0 s = f( )=Sup(|si-sj|) -f(sm)=0 s = Critère de Tresca généralisé Roches : f(sm)=A| sm |a a  et  1 Critère de Mohr |t|=f(s) s t s1 s3 La plastification intervient sur la facette dont les composantes Normale s et de Cisaillement t vérifient |t|=f(s) t s j Dans l’espace de Mohr s , t la courbe |t|=f(s) dite courbe de Résistance Intrinsèque ou Courbe Intrinsèque de Caquot délimite le domaine de résistance du matériau |t|=f(s) Critère Non Rigoureux ne prenant pas prendre en compte l’influence de la Contrainte Principale intermédiaire s2 s2 Aux Fortes Pressions, sm<< 0, t tend vers une limite finie (critère de Tresca).  le matériau : Grandes Déformations Plastiques (même les plus fragiles : roches, verres,….) t k Au voisinage du sommet S la Rupture intervient Avant la Déformation Plastique S Critère de Coulomb |t|=µ(sC - s)=tgj(sC - s)=C-µs s t j sC Rupture en traction hydrostatique C Cohésion Cisaillement critique à s=0 généralement faible } C sC Frottement Sec C=sC=0  |t|=-µs

19 III-5 Ductilité et Fragilité
Les Matériaux diffèrent Seulement par la Position de l’origine O des Contraintes par rapport à la Courbe Intrinsèque Matériaux Ductiles k s t S OS > 2k Matériaux Fragiles O OS < 2k sC Plastification en Compression Simple sC  sT  2k sC  2k  10 à 100 sT sT Plastification avant Rupture en Traction Simple sT  2k Rupture avant Plastification en Traction Simple sT < 2k L’action d’un compression hydrostatique revient à déplacer l’origine O des Contraintes Déviatoriques. Les Matériaux Fragiles deviennent Ductiles sous forte pression

20 A-IV Equations de la Plasticité
A-IV-1 Forme Incrémentale A-IV-2 Condition d’Ecoulement Plastique A-IV-3 Potentiel Plastique A-IV-4 Plasticité Associée A-IV-5 Module d’Ecrouissage A-IV-6 Lévy Von Misès

21 IV-1 Forme Incrémentale
Equation Fonctionnelle de la Plasticité La Plasticité étant indépendante du temps, le Temps Conventionnel t caractérise l’Etat Actuel tandis que le Temps conventionnel t {- < t < t} caractérise l’Histoire de Déformation Plastique du Matériau eP = (t)=F[ (t), (t)] - < t < t  à (t) peut correspond re une infinité d’états de contrainte (t) s Equations Incrémentales de la Plasticité L’Histoire de Déformation Plastique du Matériau est caractérisée dans l’Etat Actuel t par les Variables Cachées (t) fonctionnelles de (t) {- < t < t} nommées Variables d’Ecrouissage. a s = A partir de l’Etat Actuel l’évolution de l’Etat de Déformation plastique est caractérisée sous forme incrémentale par da deP = =Y( , ) s a ds =K( , ) Régime Plastique Y Loi d’Ecoulement Plastique K Loi d’Ecrouissage da deP = =0 Régime Elastique Ecoulement Plastique La caractérisation de l’Evolution Plastique nécessite à tout instant la connaissance de La Fonction d’Ecrouissage K( , ) caractérisant l’Evolution de la Forme de la Fonction de Charge s = a da =K( , ) ds f( , )=0 s = La Fonction de Charge f( , ) caractérisant le Seuil d’Ecoulement Plastique a f( , )=0 La Fonction d’Ecoulement Y( , ) caractérisant l’Evolution de la Déformation Plastique du Matériau s = a f( , )=0 ds deP =Y( , )

22 IV-2 Condition d’Ecoulement Plastique
f s = f( , )=0 s a f( , )<0 La Frontière de Charge de normale extérieure délimite le Domaine Elastique Charge Plastique f( , )=0 s = a f s ds } { et >0 ds = f s } { l’Ecoulement Plastique Effectif n’aura lieu que si l’Incrément de Charge est dirigé vers l’Extérieur de la Frontière soit : scalaire > 0 Le Point de Charge doit se trouver sur la Frontière de Charge pour que l’Ecoulement Plastique soit Possible : Condition Nécessaire ds = Charge Neutre f s } { f( , )=0 s a et =0 ds = Décharge Elastique f( , )=0 s a f s } { et <0 ds = Régime Elastique f( , )<0 s a Ecoulement Plastique Pas d’Ecoulement Plastique Condition de Cohérence de la Loi d’Ecrouissage Au cours de l’Ecoulement Plastique : f=0 et df=0 conduisant à df= f s = a da ds =0 + Avec La Condition d’Ecoulement Plastique Effectif s’écrit da =K( , ) s = a ds } =0 f( , )=0 s = a et f s ds } { >0 df={ a +K

23 IV-3 Potentiel Plastique
Charge Neutre Déplacement le long de la Surface de Charge sans Plastification Ni Ecrouissage f s = ds } { =0 deP =Y( , ) s a da =K( , ) Y=  h = f s et K=  k f( , )=0 s = a f s Charge La Condition d’Ecoulement Plastique Effectif se réduit à : et ds } { >0 1+ k ( , ) =0 deP = = ( , ) s a h f s ds } { da k Pour tout Incrément de Charge Plastifiante tel que >0 ds = f s } { La Direction de l’Ecoulement Plastique est celle de fonction de l’Etat Actuel de Contrainte et d’Ecrouissage h = s a L’Amplitude de l’Ecoulement Plastique est fonction de l’Incrément de Charge via le scalaire ds = f s } { deP = ( , ) s a h g s = g( , )=0 s a Potentiel est proportionnel au gradient d’une Surface Potentiel Plastique qui fixe la Direction de l’Ecoulement Plastique h Potentiel Plastique = deP3 ds3 = deP2 ds2 ds1 = deP1 }= dl deP = = ( , ) s a h f s ds { g L’Amplitude de l’Ecoulement Plastique étant fixée par dl Le Scalaire dl est une fonction de et de la sensibilité de la Surface de Charge à se distordre quand varie, sensibilité liée à la Loi d’Ecrouissage par la Condition de Cohérence ds = f a s 1+ k ( , ) =0 a s

24 IV-4 Plasticité Associée
Loi d’Ecoulement Plastique Y L’établissement de la Loi Incrémentale nécessite d’exprimer Y en fonction des trois informations : deP = =Y( , ) s a ds Surface de Charge définissant la Condition d’Existence de la Déformation Plastique f( , )=0 s = a Potentiel Plastique précisant la Direction de la Déformation Plastique g( , )=0 s = a Loi d’Ecrouissage définissant L’Amplitude de la Déformation Plastique et l’Evolution de la Surface de Charge k ( , ) s = a En liant l’Incrément d’Ecrouissage à l’Incrément de Déformation Plastique la Condition de Cohérence de la Loi d’écrouissage s’écrit avec deP = g s dl f a da ds =- { } dl= dl M( , ) s a  M scalaire =- f a { } da deP = g s ds dl = M( , ) s a 1 D’où la Loi d’Ecoulement Plastique f s = ds } { M( , ) s a 1 }= dl = ( , ) h g deP =Y( , ) ( , ) Plasticité Non Associée Surface de Charge  Potentiel Plastique (Sables et Sols) f( , )=0 s = a g( , )=0 Plasticité Associée Surface de Charge  Potentiel Plastique (Matériaux Cristallins Ductiles) f( , )=0 s = a g( , )=0 deP = g s dl f est  à la Surface de Charge f( , )=0 s a s = mais et ont des Directions Principales Différentes deP Matériaux Isotropes à Ecrouissage isotrope Le tenseur symétrique admet les mêmes directions principales que et ont Mêmes Directions Principales f s = s deP

25 IV-5 Module d’Ecrouissage
En Plasticité Associée, la Loi d’Ecoulement ne nécessite que la connaissance de la Fonction de Charge dl ( , )= a s = f s deP ds } { M( , ) 1 si f( , )=0 et >0 =0 f( , )<0 ou contenant la Loi d’Ecrouissage Le Module Plastique ou Module d’Ecrouissage est le scalaire K tel que M=K{ } f s = Traction Simple* *Cf. I-3 Plasticité Pure dl l La Contrainte s produit une Déformation Totale (élastique et plastique) e=eE+eP dont l’Incrément est s e b Module Tangent E’= =tgb ds de E’ 1 E K = + E’  K L’évolution du Seuil d’Ecoulement sS en Zone Plastique ( au delà de la Limite Elastique Initiale se eE << eP ) est directement représentée par la Courbe de Première Mise en Charge s=Y(e) : sS  Y(eP) se sS s=Y(e) La Déformation Plastique Cumulée eP étant prise comme variable d’Ecrouissage a, la Fonction de Charge f(s, a)=s-sS= s-Y(eP)=0 f s =1 ds=ds  Incrément de Déformation Plastique deP= ds K Module d’Ecrouissage K= =M deP E Incrément de Déformation Elastique deE= ds

26 IV-6 Lévy Von Misès = s { } = s { } s f( )=0  a= sI-se  da=dsI
Relation de Maurice Lévy Le Critère de Von Misès s’écrit en présence d’Ecrouissgae = sd2-y( )=0 3 2 s = Tr( D2) f( )=J2-y( )= a 1 - y( ) f s = sD Le Loi d’Ecoulement se réduit à dl ( , )= a s deP ds } { M( , ) 1 si et >0 J2-y( )=0 Intensité de Contraintes sI Avec sI2 =3J2= Intensité des Contraintes ou Contrainte équivalente de Von Misès un Etat de Contrainte Complexe est assimilable à une traction simple équivalente d’amplitude sI 3 2 s = Tr( D2) *Cf. III-2 Matériaux Ductiles En Traction Simple* J2= s2 1 2 La Fonction de Charge Initiale de Von Misès s’écrit alors simplement fe( )=sI-se=0 se limite d’élasticité initiale en traction simple s = Ecrouissage Isotrope L’écrouissage isotrope est généralement caractérisé par le scalaire a avec M fonction de a seulement. Son Evolution est contenue dans le critère lui même via la condition de cohérence 1+k =0 da=k(a) f s = ds } { a L’Evolution Plastique est Complètement définie par la donnée de la Seule Fonction de Charge s = La Fonction de Charge de Von Misès évolue par écrouissage selon f( )= fe( )-a=sI-a-se=0 Loi d’Ecoulement Plastique sI s = f 3 2sI sD sI2 =  2 s Tr( D2) f s = ds 3 2sI sD =dsI f( )=0  a= sI-se  da=dsI s = En posant =F(a)=F(sI) Les Lois d’Ecoulement et d’Ecrouissage se réduisent à 1 M(a) deP = 3 2sI sD dsI F(sI) dl da=dsI si sI-a-se=0 et dsI >0

27 A-V Chargement Radial A-V-1 Déformation Plastique Cumulée
A-V-2 Loi d’Hollomon A-V-3 Loi de Hooke généralisée A-V-4 Le Travail Elasto-Plastique A-V-5 Le Travail Plastique A-V-6 Théorème de la Décharge

28 V-1 Déformation Plastique Cumulée
Paramètre d’Ecrouissage Au Potentiel Plastique g=f sont associées les grandeurs énergétiques duales et = dl deP = s f s Au Paramètre d’Ecrouissage associons le Flux d’Ecrouissage tel que =- dl a p dp f a 3 2 Comme et sI2 = dp2=dl2= deI2= deP = 2sI sD dl Tr( 2) dp s’identifie alors à l’Incrément deI de l’Intensité des Déformations Ecrouissage Isotrope =-1 et dp=dl=F(sI )dsI f a eI= 2 3 Tr( 2) deP = eP eI Intensité des Déformations définit au sens de l’équivalence de Von Misès la notion de Déformation Plastique Cumulée La Plastification s’effectuant à Volume Constant, en Traction Simple : s 0 0 0 0 0 de 2 0 -1 0 deP = deD et deI=de de la même manière que sI=s Travail de Déformation Plastique dW= = = sI deI = sD deP 3 2sI F(sI) dsI Ce Travail est Dépensé et non Dissipé car une partie est Bloquée sous forme de Travail Elastique de Contention de la Déformation Plastique e=j(s) Matériau Isotrope à Ecrouissage Isotrope deP = de deE + sI=s eI=e Elasto-Plasticité de Prandtl-Reuss deE = ds 1+h E h - dTr( ) s d eP =0 deP = sD F(sI)dsI 3 2sI si sI-a-se=0 et dsI >0 eP >> eE se eP  eE Au voisinage de se la Contention limite la Déformation Plastique eP  eE eP s’accompagne d’une variation de volume allant décroissante tandis que h½ dj(sI) dsI deI= dsI=F(sI)dsI eP  e=j(s) Au delà la Déformation Plastique eP  e. La Plasticité est entièrement caractérisée par F(sI) obtenue expérimentalement par la Courbe de Traction eP  e=j(s) avec sI=s et eI=e qui fournit F(sI) généralise, au sens des grandeurs sI et eI associée à une Traction Simple Equivalente la notion de Module Plastique Tangent pour sI >se

29 Il en va de même pour et les Equations Incrémentales sont Intégrables
V-2 Loi d’Hollomon Déformation Simple 1) Les Charges Externes (Traction, flexion, torsion,…) varient de manière proportionnelle entre elles, le tenseur garde une Orientation Fixe (Radiale dans l’Espace des Contraintes) . s = p 2) Le Matériau est Isotrope à Ecrouissage Isotrope, et ont mêmes directions propres p = s deP Il en va de même pour et les Equations Incrémentales sont Intégrables eP = eI= =j(sI) 2 3 Tr( 2) deP = eP =sd = sI = sD p 3 2 deP = sD dsI= 3 2sI dj dsI p 1 2 Tr( 2)=3  p = eP = sD j(sI) 3 2sI dj dsI p 1 2 sI-se se traduit l’égalité = ps pe sD sd sI 2 3 eD eI ed Loi de Hencky Misès conduisant à 2 3 = eD eI sD sI =1 eI = 2 3 e = Tr( D2) et liant à tout instant les grandeurs actuelles et eP = s 2 3 sI eI j(sI) par le Module Sécant En Déformation Simple eI=j(sI) est Universelle pour tous les Chargement Radiaux Monotones : L’Elasto-Plasticité se réduit à la Traction Simple d’une éprouvette équivalente soumise à la Contrainte présentant une Déformation Cumulée dans l’Etat Actuel sI = 3 2 s = Tr( D2) eI = e Tr( D2) Loi d’Hollomon Ecrouissage sI > se sI= eI c se Plasticité Parfaite 0  c Ecrouissage linéaire  1 Métaux et Alliages RP (Mpa) A (MPa) c Acier doux recuit ,28 Acier 0,6% C trempé revenu ,15 Acier allié laminé ,14 Acier inoxydable recuit ,45 Cuivre recuit ,54 Laiton a (70-30) recuit ,49 Aluminium recuit ,20 Al Cu Mg (2024) ,16 sI eI 2 3 j(sI) = eI=j(sI)

30 V-3 Loi de Hooke généralisée
sI eI O Hooke sI M M’ M’’ 3Gw(eI)eI w(eI) = 3G eI-sI 3G eI MM’ M’’M’ = Caractérise l’écart relatif en terme de Contrainte par rapport à un Comportement purement Elastique Ecoulement Plastique à Volume Constant eP = eS eD e - 2 3 sI eI = Hencky-Misès eD sD eS e - ( ) sS = eS Compressibilité sm=3Kem=Kq =3K =KTr( ) e d Elasticité Pure =3G sD = eD sd=2Ged sI=3GeI se ee 3G sI eI deI dsI Modules Elastique Sécant Tangent 0  3G   sS = sD s + 2 3 sI eI 9 =(K )Tr( ) + e d Ecrivant sI=f(eI) Caractéristique du Matériau sous la forme sI=3G(1-w(eI)) eI Matériau Ecrouissable sI=f(eI)  eI=j(sI) Inversibilité w Ecrivant eI=j(sI) Caractéristique du Matériau sous la forme 3G eI= (1+y(sI))sI y(sI) = 1-w Caractérise l’écart relatif en terme de Déformation par rapport à un Comportement purement Elastique 3 2 eI sI 1 e = =( )Tr( ) + s d 3K Par Inversion Avec et y sS = sD s + 1 3 Tr( ) d Partition des déformations eP = eE e + Elastique eE = 1 3K + 2G sD sS sI eIE= e = 1 3K sS + 2G sD y(sI) Plastique eP = y(sI) 2G sD eIP=

31 V-4 Le Travail Elasto-Plastique
Expression générale eS = eD e + em +ed d pe sS sD s sm +sd ps Travail Elasto-Plastique des Forces Internes dW=Tr( )=smdemTr( )+smdedTr( )+sddemTr( )+sddedTr( ) s = de d pe ps =3smdem+sddedTr( ) = pe ps Déformation Simple = ps pe p Tr( 2)=3 q=3em sIeI=3sded dW=dW Différentielle Exacte dW=dWF+dWV dWF=3smdem=smdq dWV=3sded = sIeI Le Travail Elasto-Plastique des Forces Internes Ne Dépend Plus du Chemin Suivi W=WF=Cte+WV=Cte WF=Cte= smdq q WV=Cte= sIdeI eI sm= W q W(q, eI) est le Potentiel des Contraintes = s W e sI = W eI = sD WV=Cte eD Potentiel WF=Cte Changement de Volume à Forme Constante action de la Contrainte Normale Isotrope Moyenne sm WF=Cte = Kq2 1 2 Nature Purement Elastique (Plastification à Volume Constant) sm=3Kem=Kq  Potentiel WV=Cte Changement de Forme à Volume Constant action de la Contrainte Déviatorique Moyenne sd Nature Elasto Plastique WV=Cte =WE+WP WE Purement Elastique Récupérable Changement de Forme Réversible WP Purement Plastique Dépensé Changement de Forme Irréversible

32 V-5 Le Travail Plastique
Le Potentiel W V=Cte =WE+WP Changement de Forme à Volume Constant est lié à la Courbe d’Ecrouissage sI=f(eI) et Indépendant du Chemin Suivi sI eI se ee O 3G Partie Elastique Récupérable WE Changement de Forme Réversible WE Récupérable sature à WEmax = se2 1 6G O’ M M’’ WE = sI2 1 6G sd < k Limite de Résistance au Cisaillement sd=2Ged sI =3GeI  Surface O’MM’’O’  Plasticité Parfaite sI = se  Plasticité Ecrouissante sI  avec la Progression de la Plastification et WE  mais le Module Tangent  et rapidement WP >> WE Partie Plastique Dépensée WP Changement de Forme Irréversible 3G sI eI se O M S Ce Travail est Dépensé et non Dissipé car une partie est Bloquée sous forme de Travail Elastique de Contention de la Déformation Plastique O’’ W* Surface OSMO’’O WV=Cte Surface OSMM’’O M’’ =WE+WP WV=Cte= sIdeI eI WE Surface O’MM’’O’ WE = sI2 1 6G O’ WP = sIdeI eI sI2 1 6G WP Surface OSMO’O Potentiel des Déformations Plastiques (hors Changement de Volume) W*V=Cte= sIeI-WV=Cte= sIeI- sIdeI= eIdsI eI sI sI eI = W* sD = W*V=Cte eD

33 V-6 Le Théorème de la Décharge
Chargement Plastifiant OSM 2 3 sI eI 9 s = M=(K )Tr( M) M e d M’ = sfM Pour obtenir la Déformation avec un Matériau Purement Elastique il aurait fallu une charge eM sI eI se O M S 3G = sM sIM eM eIM Décharge Elastique Partielle MN N = eN eIN sN sIN Selon la Loi Elastique sI=3GeI 2 3 s =(K- G)Tr( )+2G =Lq +2G e d =L(qM- qN) +2G( ) = sM sN eM eN d Décharge Elastique Totale MZ Z = sZ sIZ ePM sIZ = 0 = 0 qZ = 0 eZ Donne la Déformation Plastique en M I = srM Rétablir la forme initiale et annuler  une décharge jusqu’au point I ePM 2G = LqM G - = ePM d eM sM Charge Elastique Fictive OSM’ =LqM +2G = sfM eM d Théorème de la Décharge 2G = = ePM sM sfM Contrainte Interne de Contention Plastique = srM = srM =-2G =-( ) ePM sM sfM Champ de Contrainte Autoéquilibré associé à l’Energie Elastique Bloquée = srM DivD( )=0 = srM La Déformation Plastique résultant d’un chargement Réel s’obtient à partir de la différence entre la Contrainte Fictive solution du problème Elastique Linéaire et la Contrainte Réelle du problème Elasto-Plastique

34 Origines de la Plasticité
B-I Le Glissement Plastique B-II Les Dislocations B-III Les Interactions B-IV Les Obstacles Intrinsèques B-V Les Obstacles Etrangers

35 B-I Le Glissement Plastique
B-I-1 Origine des Déformations Permanentes B-I-2 Paradoxe de la Contrainte Théorique

36 I-1 Origine des Déformations Permanentes
Les Déformations Permanentes ont toujours pour origine des Mécanismes de Glissement Sols Les grains ne se déforment quasiment pas (sauf aux hautes pressions où ils se cassent). Le Glissement s’effectue par Roulement des Grains Polymères La Rupture des Liaisons Faibles (Hydrogène, Van der Waals ) provoque le Glissement relatif des Macromolecules Métaux A Haute Température (Changements de Structure et de Phase) : Glissement Inter-Grains A Basse Température : Glissement Intra-Grains Monocristaux A Basse Température la Déformation Plastique résulte de Glissements le long de Directions Particulières dans les Plans cristallographiques les Plus Denses Contrainte Théorique de Glissement dans un Monocristal t b x a x = 0 t x L’Instabilité de Glissement Plastique se produit lorsque a 2 x = t = tth tth Le Réseau Atomique retrouve une Position d’Equilibre pour un Glissement Plastique x = a x t  tth sin2p x a t  tth sin2p g b a Comportement Elastique x << a t=mg Le Glissement g est relié au Déplacement Relatif x des Plans Atomiques g = x b a b m 2p tth = m 10 tth  E 10 Rth  t  tth 2p g b a g << 1

37 I-1 Paradoxe de la Contrainte Théorique
La Résistance à la Traction RP des matériaux est toujours inférieure à la Résistance Théorique Rth Les Données Expérimentales RP (Gpa) Rth (Gpa Monocristaux Al (CFC) , Zn (Hexagonal) 0, Polycristaux Al , Fe , Alliages Acier doux , Duralumin , Acier spéciaux , Rth RP Les Trichites Whiskers Cristaux filamentaires F  1 µm Photo D. Chambolle (Gpa) RP Rth Graphite 19, ,5 Al2O , ,4 SiC ,8 Fe , ,6 Rth RP Trop petits pour contenir des Dislocations, ils ont une Résistance proche de la Limite Théorique Le Mécanisme du Glissement Progressif t t t t t t Taylor (1934) Le Glissement des Plans Atomiques ne s’effectue pas d’un Bloc mais Progressivement par Propagation d’un Défaut appelé Dislocation dans l’arrangement des atomes. Son Déplacement n’intéressant qu’un petit nombre d’atomes se fait sous Contrainte Plus Faible et conduit à la Même Déformation de Glissement lorsqu’il a Balayé tout le Plan Atomique

38 B-II Les Dislocations B-II-1 Dislocations Vis et Coin
B-II-2 Le Champ de Contrainte Interne B-II-3 Energie libre et Tension de Ligne B-II-4 Densité de dislocations

39 II-1 Dislocations Vis et Coin
Découpe selon S en appui sur l b Translation des lèvres de Vecteur de Bürgers Déplacement de matière et Recollage  Crréation d’un Champ Contraintes Internes Indépendant de S Caractérisé par la Ligne de Dislocation l orientée ( ) et son vecteur t b Réseau sans défaut déplacement d’un atome par rapport au réseau sans défaut du t du =0 t t1 b1 t2 t3 b2 b3 b S =0 Loi des Nœuds tous convergents ou divergents ti Une Ligne de Dislocation se termine à la Surface, en Boucle ou sur un Noeud Dislocation Coin  t b t b du =- = u Grad dx b t b Dislocation Vis // t b t b t b Insertion d’un demi Plan atomique

40 II-2 Le Champ de Contrainte Interne
Dislocation Vis // t b r z 2pr g Invariance par Translation uz=f(r,j) t b z r x j µb 2pr t = µg = t = e 0 0 0 0 0 1 0 1 0 b 4p 1 r u = b 2p j = s 0 0 0 0 0 1 0 1 0 µb 2p 1 r b 2pr g = Glissement Simple Sans variation de Volume Dislocation Coin  t b Invariance par Translation uz=0 ur = { sinj+2jcosj Lnrsinj} b 4p 1 1-h 1 -2h uj =- {2jsinj Lnrcosj} y r x z j b t ur uj u = =- e = (1-2h)sinj –2cosj –2cosj (1-2h)sinj 0 b 4p 1 r 1-h =-bD s = sinj -cosj 0 -cosj sinj hsinj 1 r 2p(1-h) D = Sans variation de Volume

41 II-3 Energie Libre et Tension de Ligne
Par unité de longueur de ligne de dislocation E = Tr( )dV 1 2 s = e E = srjerj2prdqdr= 1 2 µb2 4p dr r Dislocation Vis Divergence logarithmique Cœur de Dislocation Distance moyenne Energie libre F et Entropie de Configuration S par atome lD  10-4 cm Nombre Positions Dislocation L,b L3 Lb2 L2 b2 = r0  b  m L b Nombre Atomes sur L L b r0 Elasticité lD Entropie (Boltzmann) S = k Ln b L L2 b2 Energie E = µb2L = µb3 b L 1 2 Energie Libre F = E-ST = µb3- Ln kT 1 2 b L L2 b2 F = Ln  µb2 µb2 4p lD r0 1 2 Cu : b=2, m , µ=40 Gpa, L= 10-4 cm S = k, T=300 °K et kT= 2, eV E = 2 eV et F=E L’Energie d’une dislocation est très grande devant son Entropie. Une dislocation augmente fortement l’ Energie Libre Réseaux Auto Stabilisés Une dislocation Isolée est thermodynamiquement Instable. Mais elles forment toujours des Réseaux Auto Stabilisés qui les rendent fortement Métastables. En moyenne leurs champs de contraintes s’annihilent (statistiquement il y a autant de dislocations de chaque signe) à une distance de l’ordre de lD générant un Champ de Contraintes Internes Autoéquiibré Tension de Ligne L’>L Courber un segment de dislocation  sa longueur L et son Energie W=FL. T T= µb2 1 2  Force de Rappel : Tension de Ligne T= =F= µb2 dW dL 1 2 L

42 II-4 Densité de Dislocations
Définition de la Densité Densité de Dislocation rD = Longueur Totale de Dislocation par Unité de Volume (cm-2) L b l Un cube d’arête L<<l contient N Segments de Dislocations de Vecteur de Bürgers Par comptage rD = NL V L3 N L2 S = Densité de Dislocation rD = Nombre de Dislocation traversant Unité d’Aire Estimation de la Densité Etat rD (cm-2) Monocristaux solidifiés avec précaution Monocristaux recuits Polycristaux recuits Polycristaux fortement écrouis DV/V (b=3, m) Variation de Volume Le Champ de Contraintes Internes crée par les Dislocations étant Autoéquilibré < > = 0  DV = 0 s = Mais Cœur de Dislocation Tube Vide de Rayon r0  b, Section S  b2  Variation Relative de Volume DV V SL = = rDb2 Négligeable justifiant l’hypothèse des Déformations Plastiques à Volume Constant de la Mécanique des Solides Cohérents

43 B-III Action d’une Contrainte Externe
B-III-2 Force de Peach-Köhler B-III-3 Interactions entre Dislocations B-III-4 Déformation Plastique Macroscopique B-III-5 Multiplication des Dislocations

44 III-1 Action d’une Contrainte Externe
sD = ED La Contrainte Interne de la Dislocation piège une Energie de Déformation Elastique ED L’Equilibre Mécanique de la Dislocation  = =0 sur V sD = fD n ET Les Efforts Externes créent Energie de Déformation Elastique ET indépendante de ED T l V V t E = ED + ET uD s = Le Travail des Efforts Externes et du Champ de Contrainte Externe dans le Champ de Déplacement induit par la Création de la Dislocation T est Nul b TD Le Travail Dépensé pour Translater de les Lèvres par l’action de imposée est égal à l’Energie de Dislocation ED Lorsque varie T du dW= ( ) dS= dS=dET V fD Avant coupure selon SD l’Energie de Déformation vaut ET SD n Dislocation Existante Une Mesure des Constantes Elastiques Ne Permet Pas de Détecter les Dislocations Il faut que la Dislocation se Déplace induisant une Déformation Plastique Création d’une Dislocation L’Energie de Déformation vaut alors E = ED + ET WT+Ws=0 Travail des Efforts Externes WT= dS V T uD V T uD dS= ( ) dS SD b s = n Travail du Champ de Contrainte Externe Ws= ( )(- )dS=- ( ) dS s = SD n b

45 III-2 Force de Peach-Köhler
Mouvement d’une Dislocation l V V t T b s = Déplacement (s), s abscisse curviligne de la ligne l  dx duD Travail des Efforts Externes dW= dS V T duD D’après uD dS= ( ) dS SD b s = n F est la Force par Unité de Longueur de Ligne de Dislocation traduisant l’action du Champ de Contrainte Externe sur la Dislocation s = =d ( ) dS SD b s = n = ( )(  )ds l s = b t dx = (  ) ds l s = b t dx Force de Peach-Köhler =  s = b t F En écrivant ce travail sous la forme dW= ds l dx F F t Plan de Glissement et Cission résolue Le Plan de Glissement p est le Plan défini par les vecteurs et Unique pour les Dislocations Coin b t p La Direction Effective du Glissement imposée par la structure atomique dans le Plan p est celle de =b b n Cission résolue t : Composante de Cisaillement dans la direction du Glissement v s = n t T crée sur la Facette de p de normale le vecteur contrainte n s = v t = dont la composante t dans la Direction du Glissement est t F l v Forces de Montée et de Glissement = fM +f v F n fM f La composante fM  p est appelée Force de Montée La composante f Force de Glissement est la Seule Partie Active de à Basse Température F =b(  ) = b (  ) = b n F t f = s = v La relation entre la Cission résolue et la Force de Glissement f=tb

46 III-3 Interactions entre Dislocations
Interaction Vis-Vis // // deux dislocation Vis // admettent toujours un Plan de Glissement Commun : Interaction à Symétrie Radiale t b b1 t2 b2 t1 r j z La Dislocation 1 crée au niveau de la Dislocation 2 un champ de contrainte t = s 0 0 0 0 0 1 0 1 0 µb1 2pr =  s = b2 t2 F f exerçant sur 2 une force = dirigée selon r 2pr µb1b2 f = Répulsive si b1b2>0 Attractive si b1b2<0 Interaction Vis // Surface Libre Equilibre Surface libre  =0 s = x h z x b1 t1 Toujours Attractive Les Dislocations Vis et Coin Sont attirées par la Surface Libre 4ph µb12 f =- f - b1 t2 Dislocation Vis Image dans Miroir Surface h y x z v n Plans de Glissement (x,z) // de normale y Interaction Coin-Coin // b1 b2 t La Dislocation 1 crée au niveau de la Dislocation 2 un champ de contrainte = s sxx sxy 0 sxy syy 0 szz f exerçant sur 2 une Force de Glissement selon x f = b2 n s = v j r µb1 2p(1-h)r sxy = cosjcos2j µb1b2 8p(1-h)h f =b2sxy = sin4j= f0 sin4j b1b2>0 b1b2<0 f f0 x h j0 Attraction Répulsion Joints de Grains Dipôles Stable x=y p 4 j= l q= b Répulsion |x|>|y| Attraction |x|<|y| b1b2>0 b1b2<0 Attraction |x|>|y| Répulsion |x|<|y| Empilement Stable x=0 p 2 j=

47 III-4 Déformation Plastique Macroscopique
Glissement Macroscopique Moyen Sous l’action de la Cission t induisant la Force f f t t S Lorsque la Dislocation a balayé la surface S=Ll L l la Dislocation se déplace induisant Glissement Macroscopique b elle a produit un décalage b dx dS dg =b =b = ldx lL2 L2 bdS V et un Glissement Macroscopique Moyen g = b L Travail de t : tLl b = fl L : Travail de f  f = tb dg = bdS V g =blDrD Si V contient N Dislocations de longueur l se déplaçant d’une Distance Moyenne lD g =Ndg = blD=blDrD NL V Grain de Polycristal Recuit F=100 µm rD=108 cm-2 b=2, m  g = 2,5 % Dislocations d’Accommodation géométrique Poutre Non Déformée Circuit de Bürgers ABCD B C D A rG Densité de dislocations nécessaire pour courber une poutre au rayon R b } BB’=Nb B C B’ D A Poutre Déformée Circuit de Bürgers ABB’CD rG = = N S ABxCD q R q = = BB’ AB rG = 1 Rb R m cm cm rG (cm-2) rG / rD Avec b=2, m et rD=105 cm-2 Nécessité de Mécanismes de Création de Nouvelles Dislocations

48 III-5 Multiplication des Dislocations
Moulin de Frank – Read Le Moulin de Frank – Read est un des mécanismes efficaces de Multiplication des Dislocations A B tFR jusqu’à R= pour t = tFR Contrainte Critique d’Activation du Moulin L 2 B t R Sous l’action de la Cission réduite t qui s’exerce dans le plan de glissement il se courbe (Rayon R) A où la recombinaison des portions de signes opposés éjecte une boucle qui se propage par glissement A B Lorsque t  R A B et un nouveau segment AB Un segment de Dislocation de longueur L vecteur de Bürgers b est ancré en deux points A et B A B L b q fds T L’arc ds est en équilibre sous l’action de la Force fds=tbds et des Tensions de Ligne T A B fds=2Tsinq 2Tq = Tds R T= µb2 1 2 tFR = µb L qui démarre un nouveau cycle Photos J.M. Marchon, G. Wyon Un tel moulin peut produire jusqu’à 500 boucles

49 B-IV Les Obstacles Intrinsèques
B-IV-1 La résistance du Réseau Atomique B-IV-2 Ecrouissage et Réseau de Frank B-IV-3 Résistance des Joints de Grains B-IV-4 Ecrouissage et Restauration

50 IV-1 La Résistance du Réseau Atomique
Force de Peierls - Nabarro A la barrière de potentiel DEPN entre vallées correspond une Cission Critique tPN Résistance du Réseau pour faire basculer les liaisons atomiques tPN L’Energie de Cœur est minimale lorsque la Dislocation suit une rangée atomique dense Vallée de Peierls DEPN Si les vallées sont peu profondes le Passage ne s’effectue pas d’un bloc mais Progressivement par la Propagation d’un Décrochement + La Liaison Métallique est délocalisée peu sensible au rapprochement d’ions de même signe. Vallées de Peierls peu profondes Force de Traînage Faible tPN  E/1000 Faible Friction du Réseau Métaux Céramiques Les Métaux sont intrinsèquement ductiles Liaison Ionique + - Le Glissement amène des ions de même signe face à face Forte Dépense d’Energie Coulombienne Les Céramiques sont intrisèquement fragiles mais Dures (abrasifs, …). Les Dislocations restent Rectilignes et leur Déplacement Quasi Impossible à l’ambiante. La Rupture Brutale intervient Toujours avant la Plastification Liaison Covalente Très Rigide et Directive Forte Dépense de Rupture des Liaisons Vallées de Peierls très profondes Force de Traînage Forte tPN  E/30 Forte Friction du Réseau

51 IV-2 Ecrouissage et Réseau de Frank
Le réseau de Frank Réseau Tridimensionnel de Densité rD formé par les Dislocations interagissant entre elles en se plaçant en position d’énergie minimale Distance Moyenne des Dislocations lD telle que lD2 rD =1 b1 b2 >0 Jonction Attractive et Stable Points d’ancrage des Moulins de Frank - Read Attractif Ancrage Certaines sont dans des Plans de Glissements // à p, d’autres percent p ce sont les Arbres de la Forêt Déplacer une Dislocation dans son Plan de Glissement p implique de lui faire franchir les collines d’Interaction avec ses voisines p b1 b2 >0 Jonction Répulsive et franchissement par un Cran Répulsif Cran Deux Dislocations qui s’intersectent se combinent pour former une Dislocation de vecteur de Bürgers + et d’Energie b1 b2 1 2 | |2 Dislocations mobiles : les Vis Les Dislocations Coin se bloquent en formant des Dipôles Stables Les Dislocations Vis changent facilement de Plans de Glissements au sein de la Forêt. Elles sont Mobiles 2pr µb2 f = D’après leur loi d’interaction Avec f = tb et r = lD la Cission qui s’oppose à leur Mouvement tC µb 2p rD Interaction avec la Forêt La Distance Moyenne entre deux Arbres Attractifs étant 2lD la Contrainte d’Activation des Moulins de Frank – Read tFR = µb 2lD rD tC = µb 2 Lorsque rD augmente tC augmente traduisant l’Ecrouissage du Matériau à l’Echelle Macroscopique

52 IV-4 La Résistance des Joints de Grains
Limite Elastique d’un Grain tY Le Polycristal est constitué de Grains de taille moyenne F d’orientations différentes séparées par des Joints de Grains Limite Elastique Initiale Lorsque la Contrainte appliquée t devient supérieure à la Résistance de Réseau tPN le Glissement des Dislocations s’amorce dans les Grains les plus favorablement orientés vis à vis de t t = tPN tY = tPN Limite élastique Ecrouie Lorsque t - tPN atteint le Seuil d’Activation tFR des Sources de Dislocations, les Dislocations crées viennent s’accumuler aux Joints de Grains jusqu’à ce que les Forces en Retour exercées par ces Empilements sur les Sources viennent les Tarir Contention par les grains voisins moins bien orientés travaillant en régime élastique Source t > tPN r  g t = tY = tPN + tFR g =bF r tFR   µb µb F r Ecrouissage tY - tPN = µ = k gb F 1 Loi de Petch caractérisant la Résistance tJG des Joints de Grain Lorsque t - la Concentration de Contrainte au Joint active les Sources proches des Grains voisins et le Glissement se propage progressivement de Grains en Grains Photo P. Mussot Cu écroui à 20% A Basse Température le Durcissement par les Joints est d’autant plus Elevé que les Grains sont plus Petits

53 IV-4 Ecrouissage et Restauration
t < tPN Dislocations Immobiles Comportement Parfaitement Elastique tPN < t < tFR Formation d’arcs entre points d’ancrage Balayage Réversible avec Hystéresis e élastique supplémentaire Comportement Anélastique Dissipatif t > tFR rD  Densification du Réseau de Frank, Formation d’écheveaux fortement stabilisés, Ecrouissage Durcissement par Freinage du Mouvement au sein de la Forêt, Déformation Plastique Croissante jusqu’au Blocage provoquant la Rupture 1 µm  Hastalloy Recuit Photos CEA-SRMA Ecroui Ecroui à 15% formation d’amas Restauration Déblocage du Réseau par Diffusion des Atomes sous Activation Thermique provoquant le Désancrage des Dislocations qui quittent leur plan de glissement par Montée avec Annihilation des Dipôles et Formation de Parois de Dislocations  Création de Sous Grains Polygonisation suivie d’une Recristallisation si l’Ecrouissage a été suffisant  Nouvelle Structure de Grains à Faible Densité de Dislocation à Dureté Abaissée et à Capacité d’Ecrouissage Restaurée La Taille des Grains Recristallisés est une fonction  de T de Recuit et  du Taux d’Ecrouissage Préalable C’est tout l’Art du Forgeron qui alterne Ecrouissage Mécanique et Recuit de Restauration

54 B-V Les Obstacles Etrangers
B-V-1 Durcissement Solutions Solides et Précipités B-V-2 Vers la Plasticité Macroscopique

55 V-1 Durcissement Solutions Solides et Précipités
Solution Solides La différence de diamètre entre les atomes de la Solution et du Soluté crée des Contraintes qui rendent le plan de glissement Rugueux, augmentant la Résistance au mouvement des Dislocations. (Laiton : Cu-Zn jusqu’à 30%) Contrainte Critique tSSR  c concentration en soluté c Efficace à l’ambiante ce Durcissement perd son efficacité à chaud par diffusion du Soluté  Désancrage et Fluage Précipités Formation de Précipités Stables Petits et Durs par trempe d’une solution Solide Sursaturée Cisaillement des petits précipités Contournement des gros précipités F tCP L w T K En Limite d’Arrachement L R t avec abandon de boucles tOR K Résistance du Précipité K - tCP b w = 2 T cos F Mécanisme d’Orowan analogue à celui du Moulin de Frank - Read Equilibre de l’Arc tCPb b (L-w) = 2 T cos F tCP = K Lb tOR = µb L-2R La Contrainte Critique  lorsque la distance entre précipités , Le Durcissement maximal est produit par des précipités à dispersoïdes durs et rapprochés.

56 V-2 Vers la Plasticité Macroscopique
Courbe de Consolidation tY = Max{tPN, tSS, tCP , tOR}+k µb F 1 r La Limite d’Ecoulement tY résulte des diverses contributions à la Résistance au Mouvement des Dislocations Durcissement de Joints de Grain k Durcissement d’Ecrouissage  µb F 1 r Résistance du Réseau Atomique tPN Durcissement de Solution Solide tSS Durcissement de Précipités et Particules tCP , tOR Monocristal Critère de Plasticité Plusieurs Systèmes de Glissement Facile  Plusieurs Fonctions de Charge Loi d’Ecrouissage Loi d’évolution des Contraintes Critiques tC (Paramètres d’écrouissage) et des Densités de Dislocation r avec l’Ecoulement Plastique Loi d’Ecoulement Plastique Caractérisation de la Fraction rm et de la Vitesse Moyenne v des Dislocations Mobiles et de leur évolution avec la Contrainte Appliquée s Polycristal Aux Difficultés Précédentes s’ajoutent celles liées à la Présence des Joints de Grains Echelle Microscopique Nature des Interactions entre Dislocation de Réseau et Défauts constituant le Joint Site privilégié de Ségrégation d’impuretés, Précipités, … Echelle Mésoscopique Hétérogénéité de Comportement du Grain. La Zone Cristalline Proche du Joint étant Riche en Défauts et Plus Ecrouie que l’Intérieur du Grain Echelle Macroscopique Frontière d’Orientation entre Grains, Déformations Plastiques Incompatibles  Fluctuation Importante des Contraintes Locales Même si le Passage Quantitatif Micro – Macro se heurte à de Nombreuses Difficultés, la Compréhension Qualitative des Mécanismes de Glissement Plastique est un Guide précieux pour l’élaboration de Nouveaux Matériaux

57 Plasticité à Haute Température
C-I Le Fluage C-II Origines du Fluage

58 C-I Le Fluage C-I-1 Fluage et Température de Fusion
C-I-2 Fluage et Contrainte Visqueuse C-I-3 Le Fluage Secondaire

59 I-1 Fluage et Température de Fusion
Le Fluage Sous l’action de Charges qui, à Température Ambiante ne provoquent pas de Déformations Permanentes, les Matériaux commencent à Fluer de manière Irréversible lorsque la Température Augmente Basse Température =f( ) eP = s La Déformation est Indépendante du Temps : Plasticité Haute Température =f( ,t,T) s = eV La Déformation est fonction du Temps et de la Température : Visco-Plasticité Le Fluage est une Déformation Lente et Continue fonction du Temps, de la Température et de la Contrainte Appliquée La Température de Fusion La Température à laquelle un Matériau commence à Fluer est une fonction de sa Température de Fusion Tf (°K) ou de sa Température de Ramollissement (Transition Vitreuse Tg )des Polymères Fluage Métaux Céramiques Polymères T > ,3-0,4 Tf ,4-0,5 Tf Tg Tungstène Tf > 3000 °K Ambiante T = 300 °K Très Basse Température Ampoule Electrique T = 2000 °K Haute Température Fluage du filament sous poids propre l’ampoule grille par court circuit entre spires Plomb Tf = 600 °K Ambiante T = 300 °K Haute Température Fluage Lent sous poids propre Glace Tf =273 °K T < Tf Très Haute Température Fluage des Glaciers et Calottes Glaciaire

60 I-2 Fluage et Contrainte Visqueuse
Essai de Fluage Traction Simple sous Charge et Température Constantes t eV Rupture Fluage Tertiaire Fluage Primaire Secondaire Fluage Secondaire  tandis que le Matériau se Durcit eV Observable Seulement à Basse Température T < 0,3 Tf Loi empirique eV =ALn(1+t/t0) eV = Cte Fluage Stationnaire Loi empirique de Norton eV =( )M s-sS K Prépondérant dès que T > 0,3 Tf  tandis que le Matériau s’Endommage Rapidement (Cavités, Déformations Localisées,…) eV Contrainte Visqueuse L’Elasto-Visco-Plasticité présente, comme l’Elasto-Plasticité, une Déformation Permanente après Décharge La Viscosité Interdit les Déformations Plastiques Instantanées e=eE+eV avec eV=f(t) ou eV=f( ) Vitesse de Charge e Plasticité Instantanée e   Plasticité Instantanée à Grande Vitesse Plasticité Ecrouissante  0 Plasticité Ecrouissante Classique e Saturation e s e  eV C sV sV( , a) Contrainte Visqueuse  0 quand  0 e eV A B t e La Viscosité se manifeste également par le Retard à la Déformation lors des Changements de Vitesse de Charge sP sP(eV, a) Contrainte Plastique Avec a Paramètre d’Ecrouissage s(eV, a)= sP(eV, a)+ sV( , a) eV

61 I-3 Le Fluage Secondaire
Le palier Athermique E RP Tf T 0,1 0,2 0,3 0,4 e TC Expérimentalement =f(T, )  Constante pour T > TC  0,2-0,3 Tf E RP e La Dépendance en Contrainte eV =( )M s-sS K 0,3 Tf < T < Tf Loi empirique de Norton Lorsque T > 0,5 Tf sS = 0 =( )M eV s K T = Cte M Ln s Ln eV Ln eV s = Cte T 1 R Q - M = 3-8 fonction du Matériau Lorsque T > 0,7 Tf et s faible M =1  Matériau La Dépendance en Température A s Cte et T > 0,5 Tf suit une Loi d’Arrhenius eV eV =Cexp( ) Q RT R Cte des Gaz parfaits et Q énergie d’activation thermique égale à l’énergie d’autodiffusion QA pour les métaux purs Métal M Q QA (kcal/mole) Al , Cu 4,8 48,4 47,1 Ni ,6 66,5 66,8 Zn ,1 21,6 24,3 La Dépendance en Temps =( )M eV s K exp( ) Q RT Loi de Monkman - Grant ( )qtR=CMG Cte du Matériau q  1 eV tR  CMG( )M s K exp( ) Q RT Durée de Vie à Rupture La Conception des pièces de fluage Pour une Durée de Vie Prévue t et des conditions de fonctionnement données en Température et en Contrainte : • La Déformation de Fluage ef doit être compatible avec la fonction e la pièce (Ex. Ailettes de Turbo Réacteurs) • La Ductilité en Fluage efR (Déformation à rupture) doit être Supérieure à ef • La Durée de Vie à Rupture tR doit être Supérieure (avec un facteur de Sécurité) à la Durée de Vie Prévue t

62 C-II Origines de Fluage
C-II-1 Les Mécanismes du Fluage C-II-2 La Diffusion dans les Solides C-II-3 Les Modes de Fluage C-II-4 Le Fluage Dislocation Montée-Glissement C-II-5 Le Fluage Dislocation Ecrouissage-Restauration C-II-6 Le Fluage Diffusion C-II-7 Les Cartes de Fluage

63 II-1 Les Mécanismes du Fluage
Une Bonne Tenue au Fluage nécessite une Température de Fusion Tf élevée Basse Température T < 0,3 Tf : Domaine de la Plasticité Le Fluage est Négligeable : Le Matériau ne peut se Déformer de manière Permanente que si la Contrainte appliquée s est Suffisante pour que les Dislocations, assujetties à Rester dans leur Plan de Glissement, puissent franchir les Obstacles Intrinsèques (Friction de Réseau, Forêt de Frank) ou Etrangers (Solutés, Précipités). Moyenne Température 0,3 Tf < T < 0,7 Tf : Domaine du Fluage Dislocation Les Dislocations Libérées par la Diffusion des Atomes peuvent Franchir les Obstacles par Changement de Plan de Glissement sous l’action de la Force de Montée. Leur Mouvement est responsable de la Déformation Permanente et Continue du Fluage Secondaire qui intervient sous l’action d’une Contrainte s appliquée Plus Faible que celle nécessaire en Plasticité à Basse Température en l’absence d’Activation Thermique Haute Température T > 0,7 Tf : Domaine du Fluage Diffusion Création de Déformations Permanentes par Modification de la Forme des Grains sous l’action d’une Diffusion Rapide d’Atomes au sein des Grains, Diffusion Anisotrope Dirigée par la Contrainte s Appliquée La Dépendance en Température du Fluage est toujours contrôlée par la Diffusion (Thermiquement Activée) La Dépendance en Contrainte du Fluage est contrôlée par : • Les Obstacles à Franchir en Fluage Dislocation (Loi de Norton d’exposant M) • Le Contrôle du Flux de Diffusion d’atomes par la Contrainte s en Fluage Diffusion ( ~ s, M=1) eV

64 II-2 La Diffusion dans les Solides
Le Coefficient de Diffusion Dans les Solides les atomes peuvent sauter d’un site atomique à l’autre lorsqu’ils acquièrent, par agitation thermique, une énergie supérieure à la barrière énergétique séparant deux sites voisins. D=D0exp( ) Q RT Le Coefficient de Diffusion D varie avec la Température selon une Loi d’Arrhenius caractéristique des processus thermiquement activés Pour une Classe de Matériaux donnée D0  Cte et Q proportionnel à Tf Matériaux D0 m2s-1 Q/RTf Cubique Centré W, Mo, Fe <911°C,… , ,8 Hexagonaux Zn, Mg, Ti,… ,3 Cubique Face Centrée Cu, Al, Ni, Fe >911°C,… ,4 Oxydes MgO, FeO, Al2O3,… , ,4 Le Fluage st un phénomène Diffusif contrôlé par la Température de Fusion T Tf eV =Cexp( ) Q RTf Les Chemins de Diffusion en Volume Diffusion Lacunaire des Atomes de taille comparable au constituant majeur vers les sites cristallins vides Fe C Cu Zn Diffusion Interstitielle des petits Atomes C, O, N, B, H Les Chemins de Diffusion Rapide d Le Joint de Grain se comporte comme un canal plan de largeur d ~2-4b Le Cœur de Dislocation se comporte comme un tube de section ~2b2 Le Coefficient de Diffusion Local est très Supérieur au Coefficient de Diffusion en Volume La Contribution des Chemins Rapides au Flux de Diffusion est fonction de la Densité de Joints et de Dislocations Lorsque les Grains sont Petits et les Dislocations Nombreuses leur contribution peut devenir prépondérante dans certains domaines de Température T et de Contrainte s appliquées

65 II-3 Les Modes de Fluage Fluage Dislocation Fluage Diffusion
Franchissement des Obstacles Les Dislocations doivent Franchir des Obstacles caractérisés par leur Barrière Energétique q0, et leur Portée L Sous Agitation Thermique T >0,3 Tf le Franchissement des Obstacles q L Obstacles Faible < 0,2 µb3 ~1-10 b Friction réseau Solutions solides Moyen 0,2 –1 µb3 ~ b Réseau de Frank Précipités cisaillés Fort > µb ~ b Précipités contournés Faibles à courte portée est Réversible Forts à longue portée est Irréversible Le Fluage est contrôlé par les Obstacles Forts Précipités et Réseau de Frank Contrainte Interne Un fois les Obstacles Franchis, le Glissement ne peut se produire que si la Contrainte appliquée s > sS Contrainte Interne Moyenne résultant des actions à longue portée des Autres Dislocations sS est fonction de la Température T (par l’intermédiaire des Modules Elastiques) et du Taux de Déformation qui contrôle l’évolution des Cellules de Dislocation du Réseau de Frank eV Sous l’action de l’Energie d’agitation thermique kT, les Fréquences de Saut v+ et v- de la barrière énergétique q sont égales v+ v- s Fluage Diffusion v = v+ = v- = v0 exp( ) q kT v+ v- Distance Energie L’action d’une Contrainte s fournit à l’atome de volume W une Energie Mécanique sW, induisant un Flux de Diffusion en Facilitant le Saut dans la Direction de la Contrainte Appliquée s <v> = v+ - v- = 0 v- = v0 exp( ) q+sW kT q+ sW v+ = v0 exp( ) q-sW kT q- sW <v> = v+ - v- = 2 v0 exp( ) sh( ) sW kT q D = D0 exp( ) sh( ) sW kT Q RT La Contrainte appliquée s contrôle le Flux de Diffusion

66 II-4 Le Fluage Dislocation (Montée Glissement)
Obstacle Fort : Précipité La Réaction f0 d’un Précipité sur une Dislocation Ancrée équilibre f0 t fG • La Force fG= tb qui tend à faire Glisser la Dislocation Dans son Plan fM • La Force fM qui tend à faire Monter la Dislocation Hors de son Plan T < 0,3 Tf Plasticité Classique t > tOR Franchissement par Contournement dans le Plan de Glissement avec abandon d’une boucle Mécanisme de Montée T > 0,3 Tf Agitation Thermique  Diffusion des Atomes  Montée des Dislocation sous l’action de fM Puis Glissement si s > sS Contrainte Interne Moyenne résultant des actions à longue portée des Autres Dislocations Mécanisme de Glissement La Répétition du Mécanisme Montée–Glissement traduit la nature Continue et Progressive du Fluage Macroscopique 0,3 Tf <T< 0,7 Tf Diffusion des Atomes dans le Tube de la Dislocation : Domaine de Fluage Dislocation par Diffusion de Cœur T> 0,7 Tf Diffusion des Atomes dans le Volume du Cristal : Domaine de Fluage Dislocation par Diffusion en Volume Vitesse de Déformation Macroscopique de Fluage eV Plus s appliquée  plus fM  plus Grand est le Flux de Dislocations Désancrées plus Grande est leur Vitesse de Glissement et plus est Elevée eV =( )M s K exp( ) Q RT M >> 1  lorsque s  alors  Très Rapidement  eV Le Fluage Dislocation n’est Important que dans un Domaine de Contrainte s proche de la Limite Elastique

67 II-5 Le Fluage Dislocation (Ecrouissage Restauration)
Fluage Stationnaire : Réseau de Frank Le Régime Stationnaire résulte de la Compétition entre l’Ecrouissage associé à  de la Densité de Dislocations rD et la Restauration associée à sa  par recombinaison de paires (+-) se rapprochant au cours du Mouvement régi par la Diffusion sS e t Taux de Consolidation h = eV = Cte  sS = Cte  dsS dt sS e t t e = =0 h r eV = sS t e Vitesse de Restauration r =- Taux de Consolidation Réseau de Frank : Cellules de Dislocations de Taille Moyenne l  sS = µb l sS e t h = = = Cte a Ecrouissage Linéaire sS = e a Les Dislocations mobiles glissent sur une distance l et la Déformation Macroscopique e = rmbl = a rDbl e = ab l Avec rDl2 = 1 Vitesse de Restauration Pour Minimiser l’Energie, le Réseau de Frank tend à  le Nombre de ses Cellules en  leur Taille l sS t e l r = =- dl dt dl dt 1 l = D0exp( ) Q RT sSb3 kT sS l e =  µb l2 r = exp( ) Q RT D0b kT sS4 µ2 La Croissance des Cellules s’effectuant par Montée d’ Arcs de Dislocation par Diffusion de Lacunes sur la distance l D l dl dt t = La loi de Diffusion l2=Dt  D = D0 exp( ) sh( ) sSW kT Q RT contrôlant le Flux de Lacunes D(sS,T) étant le Coefficient de Diffusion sous Contrainte Volume des Lacunes W  b3 sh( )  sSW kT sSb3 Vitesse de Déformation Macroscopique de Fluage eV A s et T fixés, prend une valeur telle que sS(T, )=s eV = aexp( ) Q RT D0b kT s4 µ3 h r eV = correspondant à un exposant de Norton M = 4

68 II-6 Le Fluage Diffusion
Monocristal : cube d’arête d sans dislocations et en Cisaillement pur s d Diffusion Lacunaire S = ddJ dJ S b3 d2 dd = dd produit un allongement n Création d’une Lacune  Ejection d’un Atome A F correspond la Vitesse de Fluage eV = F d = F b3 d3 F Loi de Fick : Flux en nombre de Lacunes (Coefficient Diffusion DL) traversant S S c+ Flux de Lacunes  Flux opposé d’Atomes (Coefficient de Diffusion D = DL n0 = DL c0b3) Un atome (volume b3) sortant par une face en Tension (aire d2) sb3 kT c+ - c- d sh( )  2c0DL à Faible Contrainte sW F = SDLc  SDL = 2c0DL S n s n s c- Face en Traction Barrière q-sW Concentration c+=c0exp(sW) Équilibre Thermique Barrière q Concentration c0 Face en Compression Energie q -sW Concentration c-= c0exp(-sW) Diffusion des Lacunes et des Atomes c0 = = N V n0 b3 n0 fraction atomique de lacunes à l’équilibre thermique } sb3 kT F = D sh( ) S db3 Vitesse de Fluage eV dd d d = = b3 d3 et une déformation élémentaires Diffusion en Volume T > 0,7 Tf Fluage Diffusion eV ~ D d2 sb3 kT S = d2 eV ~ s Comportement Visqueux Newtonien (Norton M=1) D = D0 exp( ) Q RT eV ~ Vitesse de Fluage  avec T Diffusion aux Joints 0,5 Tf < T < 0,7 Tf eV ~ DdJ d3 sb3 kT eV ~ 1 d2 Vitesse de Fluage  quand la Taille d du Grain 

69 II-7 Les Cartes de Fluage
Cartes adimensionnelle indiquant les domaines de Contrainte et de Température des Mécanismes de Fluage T Tf En abscisse : Température réduite 0,3 0,5 0,7 1 10-1 10-2 10-3 10-4 10-5 10-6 En ordonnée : Contrainte équivalente réduite s m s = 1 2 = Tr( D2) avec Résistance théorique Plasticité Lignes de Vitesse de Déformation Constante eV Tr( 2) = 2 e = (s-1) 10-2 10-4 10-6 10-0 10-9 10-7 10-10 Palier athermique Coeur Volume Fluage Dislocation Elasticité Résistance au Fluage Température de fusion Tf élevée Fluage Diffusion En fluage dislocation, important sous forte contrainte : Multiplier les obstacles au mouvement des dislocations (précipités stables à la température d'usage) et matériaux à forte friction intrinsèque de réseau (liaisons covalentes de nombreux oxydes, silicates, carbures et nitrures) Volume Joints de Grains Le fluage diffusion est important quand les grains sont petits et la pièce soumise à de faibles contraintes à haute température (les céramiques se déforment de manière prépondérante par ce mécanisme les grains étant de petite taille et la friction intrinsèque de réseau, qui supprime le fluage en loi puissance, importante) Accroître la taille de grain par des traitements thermiques adaptés (afin que les distances de diffusion soient élevées et la diffusion aux joints négligeable) et forcer une précipitation intergranulaire pour bloquer le glissement aux joints améliore la résistance au fluage diffusion.


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