Modélisation exponentielle

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1 Modélisation exponentielle
Montage préparé par : André Ross Professeur de mathématiques Cégep de Lévis-Lauzon

2 Introduction Les phénomènes de croissance et de décroissance (culture cellulaire, phénomène d’absorbance, ...) dans les domaines aussi bien scientifiques que techniques sont presque toujours décrits et analysés à l’aide de modèles exponentiels. Croissance d’une population, augmentation de la pollution, accroissement de la demande énergétique, croissance de capital, augmentations salariales, dépréciation de la machinerie et des automobiles sont des phénomènes décrits et étudiés à l’aide de ces modèles. On reconnaît un modèle exponentiel au fait que la variable indépendante est à l’exposant. Cette présentation porte sur la modélisation de situations par des modèles exponentiels, ce qui nous permettra de reconnaître les caractéristiques de situations nécessitant l’utilisation de ce type de modèles. Nous procéderons à partir de mises en situation.

3 Croissance d’un capital
Un capital de $, que nous représentons par C0 est placé à un taux d’intérêt de 6 % capitalisé annuellement. 4 8 12 16 20 24 C0 1,26C0 1,59C0 2,01C0 2,54C0 3,21C0 4,05C0 Notons C(1), le capital accumulé dans un an. Ce capital est constitué du placement C0 auquel s’ajoute 6 % du capital, soit : C(1) = C0 (1 + 0,06) = 1,06C0 Après deux ans, le capital sera : C(2) = C(1) (1 + 0,06) = (1,06)2C0 C 4C0 3C0 2C0 C0 C(3) = C(2) (1 + 0,06) = (1,06)3C0 ………………………………… Au bout de n années, on a : C(n) = (1,06)nC0 On peut calculer quelques valeurs pour représenter graphiquement le lien entre les variables. n 8 16 24

4 Décroissance exponentielle
V Dans les spécifications d’un appareil, on précise que, lorsqu’on coupe l’alimentation du moteur, la roue d’inertie perd 15 % de sa vitesse à chaque minute. 2 4 6 8 10 12 V0 0,73V0 0,52V0 0,38V0 0,27V0 0,20V0 0,14V0 Notons V(1), la vitesse une minute après la coupure de l’alimentation et exprimons-la en fonction de la vitesse initiale V0. On a alors : V(1) = V0 (1 – 0,15) = 0,85V0 Après deux minutes : V(2) = V(1) (1 – 0,15) = (0,85)2V0 V V0 0,6V0 0,4V0 0,2V0 0,8V0 V(3) = V(2) (1 – 0,15) = (1,06)3V0 ………………………………… Au bout de n minutes, on a : V(n) = (1,06)nV0 On peut calculer quelques valeurs pour représenter graphiquement le lien entre les variables. n 4 8 12

5 Fonction exponentielle
DÉFINITION Fonction exponentielle Soit b, un nombre réel tel que b > 0 et b ≠ 1. On appelle fonction exponentielle toute fonction définie par une expression de la forme : y = abx où b est la base de la fonction exponentielle. Une fonction exponentielle est donc une fonction dont la variable indépendante est à l’exposant. Le domaine d’une fonction exponentielle est l’ensemble des nombres réels et son codomaine est l’intervalle ]0; ∞[. y y b > 1 0 < b < 1 Fonction croissante, concave vers le haut. Fonction décroissante, concave vers le haut. x x

6 Exemple 4.1.2 n V On place 20 000 insectes dans un espace clos ne contenant aucune substance nutritive. On observe que les insectes meurent au taux de 1,8% par jour. 12 24 36 48 60 72 V0 0,80V0 0,65V0 0,52V0 0,42V0 0,34V0 0,27V0 V(n) = 20 000 (0,982)n Déterminer un modèle mathématique décrivant le nombre d’insectes après n jours. Combien restera-t-il d’insectes vivants 24 jours après le début de l’expérience? Esquisser le graphique de la fonction décrivant le nombre d’insectes vivants durant les 72 jours de l’expérience. Posons n, le nombre de jours écoulés depuis le début de l’expérience et V, le nombre d’insectes vivants. On doit déterminer l’image par la fonction. Cela donne : Le phénomène est caractérisé par une décroissance exprimée en pourcentage par unité de temps, soit 1,8% par jour. On a donc un modèle de la forme : V(24) = (0,982)24 = ,19 V V0 0,6V0 0,4V0 0,2V0 0,8V0 Même si l’allure générale de la courbe est connue, il faut calculer quelques correspondances. Après 24 jours, il devrait y avoir environ insectes vivants. V(n) = V0 (1 – r)n où le nombre initial d’insectes est V0 = 20 000 et r = 0,018. Le modèle est donc : V(n) = 20 000 (0,982)n n 24 48 72 S S S S

7 Caractéristique du modèle exponentiel
Les modèles obtenus dans les situations présentées en introduction sont de la forme y = abx. Dans la première situation, le capital croît de 6% par année. La base de l’exponentielle est alors : b = 1 + r = 1 + 0,06 = 1,06 et a = 10 000$, c’est le capital initial. Dans la deuxième situation, la vitesse décroît de 15% par minute. Dans ce cas, la base de la fonction exponentielle est : b = 1 – r = 1 – 0,15 = 0,85 et la vitesse initiale est a = 250 t/min. Ces situations sont caractérisées par le fait que : la variation de la variable dépendante peut s’exprimer en pourcentage (sans unité) par unité de la variable indépendante. C’est ainsi que l’on reconnaît une situation descriptible par un modèle exponentiel.

8 Critère algébrique du modèle exponentiel
Dans les situations présentées en introduction, notre démarche de modélisation a permis d’établir les relations suivantes : Modélisation du capital Modélisation de la vitesse C(1) = 1,06 C(0) C(2) = 1,06 C(1) C(3) = 1,06 C(2) C(n + 1) = 1,06 C(n) V(1) = 0,85 V(0) V(2) = 0,85 V(1) V(3) = 0,85 V(2) V(n + 1) = 0,85 V(n) On constate qu’on peut décrire cette caractéristique des modèles exponentiels par l’expression : L’existence d’un lien exponentiel pour des données à pas constant est confirmée si le rapport : f(x + 1) = (1 + r )f(x) f(x + p) f(x) = bp est constant Si r > 0, le modèle décrit un phénomène de croissance et si r < 0, le modèle décrit un phénomène de décroissance. De façon plus générale, lorsque le pas est p, la relation est exponentielle lorsque : f(x + p) = (1 + r)f(x) S

9 Exemple 4.1.3 I(x+p) I(x) x I Un matériau a été soumis à des tests pour déterminer sa capacité d’absorption des rayons X. On a utilisé des plaques de différentes épaisseurs que l’on a soumises au bombardement d’un faisceau de rayons X dont l’intensité est de 2,400 unités et on a mesuré l’intensité du faisceau de l’autre côté de la plaque. Les résultats de ces mesures ont été compilés dans le tableau ci-contre. I(x) = 2,400 ´ (0,7815)x Vérifions cette hypothèse 1 2 3 4 5 6 7 8 2,400 1,872 1,460 1,140 0,888 0,693 0,540 0,422 0,329 – 0,780 0,779 0,781 0,800 0,775 On constate que les rapports sont relativement constants et la valeur moyenne de ces rapports est 0,7815. En utilisant cette valeur comme base de l’exponentielle et la valeur initiale est 2,400, le modèle est donc : À l’aide du modèle, trouver l’intensité du faisceau qui a traversé une plaque de 2,6 cm de ce matériau. On doit déterminer l’image de 2,6 par le modèle. I(x) = 2,400 ´ (0,7815)x I(2,6) = 2,400 ´ 0,78152,6 = 1, Déterminer un modèle mathématique décrivant ce phénomène. I 2,4 2,0 1,6 1,2 0,8 0,4 En tenant compte de la précision des données, on acceptera que l’intensité du faisceau ayant traversé une plaque de 2,6 cm d’épaisseur est de 1,264 unités. La représentation graphique donne une courbe décroissante et concave vers le haut. La correspondance est définie lorsque la variable indépendante est nulle et la valeur correspondante est non nulle. On peut faire l’hypothèse d’un lien exponentiel entre les variables. x 2 4 6 8 S S S S

10 Exemple 4.1.4 Sachant qu’une population croît de façon exponentielle, trouver le modèle décrivant la population d’une petite ville à l’aide des relevés du tableau ci-contre où la population P est en milliers d’habitants. P(n) = P0 (1,0775)n = 15,0 ´ (1,0775)n P(n+p) P(n) n P À l’aide du modèle, estimer la population en l’an 2030. REMARQUE 1960 1965 1970 1976 1980 5 10 15 20 15,0 16,0 17,5 18,8 20,3 – 1,07 1,09 1,08 On peut exprimer le modèle exponentiel de telle sorte que la variable indépendante soit le nombre d’années. Pour ce faire, on doit déterminer une base a telle que : En l’an 2030, il y aura 14 périodes de cinq ans d’écoulées depuis On cherche donc la valeur de P pour n = 14. Cela donne : Calculons les rapports. Les relevés ayant été faits aux cinq ans, on considérera comme variable indépendante le nombre n de périodes de cinq années écoulées depuis La variable dépendante est la population P en milliers d’habitants. a5 = 1,0775 Dans ce problème, on n’a pas à faire d’hypothèse sur le lien entre les variables car on indique dans la question que ce lien est exponentiel. En résolvant cette équation, on trouve : P(8) = 15,0 ´ (1,0775)14 = 42,651... a = (1,0775)1/5 = 1,01504 On peut donc estimer la population de l’an 2030 à environ habitants. Le modèle est alors : La valeur moyenne des rapports est 1,0775. En utilisant cette valeur comme base du modèle exponentiel, la description algébrique est : P(t) = 15,0 ´ (1 + 0,0775)t/5 = 15,0 ´ (1,01504)t où t est le temps en années. P(n) = P0 (1,0775)n = 15,0 ´ (1,0775)n S S S S

11 Exemple 4.1.5 Calcul de la valeur initiale
Certaines bactéries triplent tous les cinq jours. Avec combien de bactéries devrait-on ensemencer une culture si on désire compter 12 ´ 106 bactéries dans 20 jours? La variable indépendante est t, le nombre de jours écoulés depuis le début de l’expérience et la variable dépendante est N, le nombre de bactéries. N(t) = N0 3t/5 On doit calculer N0 pour que N = N0 3t/5 = 12 ´ 106 lorsque t = 20. On doit calculer N0 pour que N = N0 3t/5 = 12 ´ 106 lorsque t = 20. En posant t = 20 dans le modèle, on a : Le phénomène est caractérisé par une croissance exprimée par un taux dont le numérateur n’a pas d’unités. On peut décrire le lien entre les variables par un modèle de la forme : N0 320/5 = 12 ´ 106, d’où N0 34 = 12 ´ 106 N(t) = N0 bt En isolant N0 dans cette équation, on obtient : On sait que b = 31/5, donc que N(t) = N0(31/5)t. On peut également écrire cette relation sous la forme : 12 ´ 106 34 N0 = = N(t) = N0 3t/5 Il faudrait ensemencer environ 1,5 ´ 105 bactéries pour en obtenir 12 millions en 20 jours. où t est le temps exprimé en jours. S

12 Exemple 4.1.6 Calcul du taux S S
À quel taux capitalisé annuellement faut-il placer un montant de 4 500  $ pour accumuler un montant de 9 000 $ en 8 ans? C(n) = 4 500(1 + i)8 La variable indépendante est i, le taux d’intérêt et la variable dépendante est C, le capital accumulé. On cherche le taux i pour lequel C = 9 000. On cherche donc i tel que : 4 500(1 + i)8 = 9 000 Le phénomène est caractérisé par une croissance exprimée par un pourcentage par unité de temps. On peut donc décrire le lien entre les variables par un modèle de la forme : D’où : (1 + i)8 = 2 En extrayant la racine huitième, 1 + i = ± 1,0905 C(i) = C0(1 + i)8 Puisque i est un taux d’intérêt, la valeur négative est à rejeter et on a 1 + i = 1,0905, d’où i = 0,0905. Puisque C0 = 4 500, on a : C(n) = 4 500(1 + i)8 Pour doubler le capital en 8 ans, il faut le placer à un taux de 9,05 % capitalisé annuellement. où n est le temps exprimé en année. S S

13 Équation d’Arrhenius On connaît souvent la forme générale du modèle décrivant la relation entre deux variables. Pour adapter cette forme générale à un cas particulier, il faut utiliser les données du problème et déterminer la valeur de certains paramètres. On peut alors utiliser le modèle pour traduire la question, effectuer les calculs et répondre à la question posée. L’équation d’Arrhenius décrit la relation entre la constante de vitesse k d’une réaction chimique et la température. Cette équation s’écrit : k = Ae–Ea/RT où k est la constante de vitesse (L/mol·s), A, est une constante, Ea, l’énergie d’activation (J/mol), R, la constante molaire des gaz (R = 8,315 J/K·mol) et T, la température en degré kelvins (K).

14 Exemple 4.1.7 S S L’énergie d’activation de la réaction
2NO2(g) ® 2NO2 (g) + O2(g) est de 111 kJ/mol. À une température de 300 K, sa constante de vitesse est de 1,0 ´ 10–10 L/mol·s. k = 2,1´ 109 e–111000/8,315T Déterminer l’équation d’Arrhenius pour cette réaction chimique. On doit déterminer la valeur de A dans l’équation d’Arrhenius, sachant que :k = 1,0 ´ 10–10 L/mol·s, Ea = 111 kJ/mol et T = 300 K. Quelle est la constante de vitesse à 273 K? En isolant A dans la forme générale de l’équation d’Arrhenius, on a : On cherche la constante de vitesse k à une température T = 273 K. A = k e–Ea/RT 1,0 ´ 10–10 e–111000/8,315´300 En substituant la valeur de T, on trouve : = = 2,1´ 109 , d’où A = La relation entre la constante de vitesse de cette réaction et la température en kelvin est : k = 2,1´ 109 e–111000/8,315´273 = 1,2 ´10–12 k = 2,1´ 109 e–111000/8,315T À 273 K, la constante de vitesse est de 1,2 ´ 10–12 L/mol·s. S S

15 Conclusion Lorsque la variation de la variable dépendante peut s’exprimer en pourcentage (sans unité) par unité de la variable indépendante, on peut établir un modèle exponentiel pour décrire le lien entre les variables Lorsqu’on veut modéliser des données expérimentales à pas constant : L’existence d’un lien exponentiel pour des données à pas constant est confirmée si le rapport : f(x + p) f(x) = bp est constant Lorsque l’on sait que le lien entre les variables est exponentiel, on peut substituer des données pour déterminer la valeur des paramètres dans un cas particulier.

16 Lecture Mathématiques pour la chimie et la biologie, section 4.1, p. 91 à 100. Exercices Mathématiques pour la chimie et la biologie, section 4.2, p. 101 et 102.