Introduction à la logique

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1 Introduction à la logique

2 Introduction aux fonctions logiques
Systèmes binaires Deux états fondamentaux et distincts; Vrai/Faux, Marche/Arrêt, Oui/Non. Par convention: Un état est représenté par « 0 »; L’autre est représenté par « 1 ».

3 La logique Booléenne En 1847, George Boole invente une algèbre pour traiter les variables binaires. Il écrira « The Mathematical Analysis of Logic », Cambridge, Il définit 3 opérateurs de base, ainsi qu’une foule de règles et de postulats.

4 Types de représentation
Les fonctions logiques peuvent être représentées de plusieurs façons: Équations logiques Tables de vérités Logigrammes Diagrammes échelle (Ladder) Ces représentations seront introduites avec les fonctions de base...

5 Fonctions logiques de base : - NON - ET - OU

6 Fonction logique NON En anglais: NOT Représentation: F = A ou F = /A

7 Fonction logique ET En anglais: AND Représentation: F = A * B

8 Fonction logique OU En anglais: OR Représentation: F = A + B

9 Autres fonctions logiques : - NAND - NOR - EXOR - ID (EXNOR) - ...
Portes universelles Autres fonctions logiques : - NAND - NOR - EXOR - ID (EXNOR)

10 Fonction logique NON-ET
En anglais: NAND Représentation: F = A * B

11 Fonction logique NON-OU
En anglais: NOR Représentation: F = A + B Table de vérité Entrée Sortie B A F 1 A 1 F 1 B 1 1 Symbole graphique

12 Portes universelles Grâce aux fonctions NAND et NOR, il est possible de générer toutes les fonctions booléennes. Ex. Avec NOR NON /(A+A) = /A ET /(/A +/B) = //A * //B = A*B OU /(/(A +B)) = A +B A B A + B

13 Portes universelles Grâce aux fonctions NAND et NOR, il est possible de générer toutes les fonctions booléennes. B A

14 Fonction OU-EXCLUSIF En anglais: EXOR Représentation: F = A  B
/B*A+B*/A /B*A B*/A

15 Fonction NON OU-EXCLUSIF
En anglais: EXNOR Représentation: F = A  B /B*/A+B*A /B*/A B*A

16 Fonctions de 2 variables
Il existe 16 fonctions logiques possibles ayant 2 variables.

17 Fonctions de 2 variables
F7=/(AB) F0 = 0 F1 = /A./B F3 = /A F5= /B F2 = /A.B F6=AB F4 = A./B

18 Réalisations des fonctions logiques : - circuit électrique - relais (automatisme) - logigramme (carte de contrôle, circuit intégré,...)

19 Fonction logique NON Interrupteur normalement fermé

20 Fonction logique ET Utilise deux interrupteurs normalement ouvert en séries.

21 Fonction logique OU Utilise deux interrupteurs normalement ouvert en parallèles.

22 Fonction logique NON-ET
Utilise deux interrupteurs normalement fermés en parallèles.

23 Fonction logique NON-OU
Utilise deux interrupteurs normalement fermés en série.

24 Fonction OU-EXCLUSIF Utilise deux interrupteurs à deux contacts

25 Fonction NON OU-EXCLUSIF
Utilise deux interrupteurs à deux contacts

26 Exercice (1) Il est possible de représenter une fonction logique en utilisant cette approche. Ex. F = AB + /C V C F A B

27 Exercice (2) F = (AB + /A./B)(BC+/CD) V A F B D C

28 Réalisations des fonctions logiques : - circuit électrique - relais (automatisme) - logigramme (carte de contrôle, circuit intégré,...)

29 Fonctions logiques utilisant des relais
En automatisation, on utilise les relais pour réaliser des fonctions logiques. Le relais est une composante électromécanique. A A A A A

30 Fonction logique NON Relais avec un contact normalement fermé

31 Fonction logique ET Utilise 2 relais avec des contacts N.O. en séries.

32 Fonction logique OU Utilise 2 relais avec des contacts N.O. en parallèles.

33 Fonction logique NON-ET
Utilise 2 relais avec des contacts N.F. en séries.

34 Fonction logique NON-OU
Utilise 2 relais avec des contacts N.F. en parallèles.

35 Fonction OU-EXCLUSIF Lampe = K  L = /K.L + K./L

36 Fonction NON OU-EXCLUSIF
Lampe = M  N = M.N + /M./N

37 Réalisation : exercice
Réaliser (avec des circuits électriques et relais) : - F = ab + c - F = (ab + /a/b)(bc + /cd) - F = (a + b +c)(/a + b/c + c)

38 L ’ALGEBRE DE BOOLE Un ensemble E possède une structure d'algèbre de Boole s'il est muni de deux lois de composition interne associatives et commutatives notées + et * : les lois + et * sont distributives l'une par rapport à l'autre et admettent un élément neutre (0 et 1 respectivement); tout élément de E est idempotent pour chaque loi : x + x = x et x • x = x Tout élément x de E possède un unique élément, dit complémenté de x, généralement noté généralement /x , vérifiant la loi du tiers exclu : x + /x = 1 et le principe de contradiction x * /x = 0. Dans cette algèbre, on peut écrire : /x = 1 - x.

39 L’algèbre Booléenne : lois fond.
+ et * sont deux lois de composition interne : Fermeture: Si A et B sont des variables Booléennes, alors A+B, A*B sont aussi des variables Booléennes. Commutativité A + B = B + A A * B = B * A

40 L’algèbre Booléenne : lois fond.
Associativité A + (B + C) = (A + B) + C A * (B * C) = (A * B) * C Distributivité ET sur OU: A(B + C) = AB + AC OU sur ET: A+(B*C) = (A+B)*(A+C)  2+(3*2)  (2*3) + (2*2)

41 L’algèbre Booléenne Idempotence Complémentarité A + A = A A * A = A

42 L’algèbre Booléenne Identités remarquables
1 + A = et * A = A 0 + A = A et * A = 0 Distributivité interne (très utile pour la simplification algébrique des fonctions booléennes). A + (B + C) = (A + B) + (A + C) A * (B * C) = (A * B) * (A * C)

43 L’algèbre Booléenne Théorème de De Morgan (A + B) = A * B et

44 L’algèbre Booléenne : théorèmes
    Le complément d’une expression quelconque s’obtient en complémentant les variables et en permutant les opérateurs ET et OU.

45 Simplification Méthode algébrique :
Appliquer les principes de l’algèbre de Boole. Méthodes graphiques : Karnaugh Mahoney Méthodes programmables : Utilisation des algorithmes de simplification algébrique.

46 Règles de simplification
Règle 1 : On peut simplifier une fonction logique en regroupant des termes à l’aide des théorèmes. ABC + AB/C + A/BCD = = AB(C + /C) + A/BCD = AB + A/BCD = A(B + /BCD) Distributivité + / * = A[(B +/B) (B+CD)] = A[(B+CD)] Règle 2 : On peut ajouter un terme déjà existant à une expression logique. ABC + /ABC + A/BC + AB/C = = [ABC + /ABC] + [ABC + A/BC] + [ABC + AB/C] = BC + AC + AB

47 L’algèbre Booléenne : simplification
X = X/Y + XY = (X+ Y)(X + /Y) X = X + XY = X(X+Y) X + /XY= X + Y X(/X +Y) = XY XY + /XZ + YZ = XY + /XZ (X+Y)(/X+Z)(Y+Z) = (X+Y)(/X+Z) XY + X/YZ = XY +XZ (X + Y)(X + /Y + Z) = (X+Y)(X+Z) …/...

48 L’algèbre Booléenne : expression avec des fonctions NAND et NOR
Re-écrire l ’expression de la fonction Z en n ’utilisant : - que des portes NOR, et puis - que des portes NAND (après simplification). Z = (x + /y + z)(x + /z) (/x + /y)

49 Représentations d’une fonction logique
Table de vérité Equation logique

50 Table de vérité vs logigrammes
Pour une table de vérité donnée, nous pouvons trouver l’équation logique et le logigramme (ou diagramme échelle) correspondant Il faut utiliser l’algèbre de Boole pour simplifier.

51 Table de vérité vs logigrammes
Construction d’une table de vérité N variables N+1 colonnes 2^N lignes Chaque ligne est représentative d’une combinaison des variables parmi les 2^N possibles (N colonnes).

52 Table de vérité vs logigrammes
Exercice. Soit un local ayant trois portes identifiées a, b et c. À proximité de chacune de ces portes nous trouvons un interrupteur à bascule que les gens manipuleront lorsqu’ils entreront ou sortiront. Ces interrupteurs commandent une ampoule qui éclaire le local. Ainsi, une personne qui entre par la porte “ a ” manipulera l’interrupteur “ a ” pour allumer l’ampoule et cette même personne sortant par la porte “ b ” manipulera l’interrupteur “ b ” pour éteindre l’ampoule. Lors de l’inauguration du local, a = 0, b = 0, c = 0, et l’ampoule L est éteinte (L = 0).

53 Formes canoniques des équations booléennes
1° forme : Somme de produits. F=ABC + B 2° forme : Produit des sommes. F = (A+B)(A+C) 3° forme : n’utilise que des NAND F = ABC * ABC * ABC * ABC 4° forme : n’utilise que des NOR F = (A+B+C)+(A+B+C) Ex. Mettre sous la forme 3 l’expression F=ABC+ ABC + ABC + ABC Ex. Mettre sous la forme 4 l’expression F=(A+B+C) (A+B+C) (A+B+C) (A+B+C)

54 Table de vérité  Eq. logique
Trouver l’équation de S. ()

55 Exemple Solution: On construit l’équation de S en écrivant tous les termes donnant S=1. Ainsi, S = 1: si C=0 et B=1 et A=0; ou si C=0 et B=1 et A=1; ou si C=1 et B=0 et A=1; ou si C=1 et B=1 et A=0.

56 Exemple On peut donc écrire: On peut simplifier:
30/03/2017 On peut donc écrire: S = /C.B./A + /C.B.A + C./B.A + C.B./A On peut simplifier: S = /C.B + B./A + C./B.A Autre solution possible: S = /C.B + C.(AB)

57 Si nous utilisions des relais...
S = /C.B + B./A + C./B.A = B.(/C + /A) + C./B.A

58 La simplification des équations
La simplification est essentielle. Il faut avoir le circuit le plus simple que possible... La simplification peut être un processus long si le système est complexe. Heureusement, il existe des techniques simples pour simplifier.

59 Méthodes de simplification
Il est possible d ’obtenir directement une équation sous sa forme simplifiée en utilisant une méthode de simplification graphique. Méthodes de simplification graphique: Tables de Karnaugh Table de Mahoney

60 Principes de base Représentation de la table de vérité sous forme graphique. Nombre de cases = nombre de lignes de la table de vérité. Multiple de 2n (1, 2, 4, 8, 16, ...), n = Nombre d ’entrées Principe de simplification : Deux termes se simplifient s’ils ne diffèrent que par le fait qu’une variable est présente dans un terme et son inverse dans l’autre terme. A/B + AB = A On cherche à mettre en évidence les simplifications possibles (les termes adjacents).

61 Exemple (Karnaugh) 1 1 1 1 1 BA C
Deux termes adjacents par définition mais non adjacents sur la table de vérité. Entrées Sortie C B A S BA C 1 00 01 11 10 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 TABLE DE KARNAUGH 1 1 1 1 TABLE DE VÉRITÉ Deux termes adjacents par définition et adjacents sur la table de vérité.

62 Principes de base (suite)
À partir de la table, on simplifie en groupant des 1 adjacents. La taille d’un groupe est un multiple de 2k (1, 2, 4, 8, ...). Le groupe est soit rectangulaire ou carré. Former les plus gands groupes possibles (Termes plus simples). Un 1 peut faire partie de plusieurs groupes.

63 Exemples de table de Karnaugh
Avec n = 2: Entrées B et A 4 cases A B 1 00 01 10 11 1

64 Exemples de table de Karnaugh
Avec n = 3: Entrées C, B et A 8 cases BA C 00 01 11 10 000 001 011 010 1 100 101 111 110

65 Exemples de table de Karnaugh
Avec n = 4: Entrées D, C, B et A 16 cases  BA  DC 00 01 11 10 0000 0001 0011 0010 00 Codage ! 0100 0101 0111 0110 01 1100 1101 1111 1110 11 1000 1001 1011 1010 10

66 Rappel : Codes binaires
Changer valeur Code binaire naturel Code binaire réfléchi Symétrie

67 1 1 1 1 Exemple (Karnaugh) BA C Rappel: S = /C.B + B./A + C./B.A
00 01 11 10 1 C /C.B.A+/C.B./A = /C.B 1 1 1 1 C./B.A /C.B./A+C.B./A=B./A

68 Principes de base (suite)
Les 1 des bords extrêmes sont adjacents. La table se referme sur elle même. BA DC 00 01 11 10 /C./A 1 1 1 00 1 /D.C./B.A 01 /C.B 11 1 1 1 10

69 Exemple (Mahoney) A A B 1 C 1 5 4 2 3 7 6 B A B 2 3

70 Exemples de table de Mahoney
Avec n = 3: Entrées C, B et A 8 cases

71 Exemples de table de Mahoney
Avec n = 4: Entrées D, C, B et A 16 cases

72 Exemples de table de Mahoney
Avec n = 5: Entrées E, D, C, B et A 32 cases

73 Exemples de table de Mahoney
Avec n = 6:

74 Exemple (Mahoney) C B A 1 1 1 1 TABLE DE VÉRITÉ TABLE DE MAHONEY

75 1 1 1 1 Exemple (Mahoney) A B C Rappel: S = /C.B + B./A + C./B.A
1 1 1 1 /C.B.A+/C.B./A = /C.B /C.B./A+C.B./A=B./A

76 Exercices 1 : Passer de la table de vérité au tableau de Karnaugh. Simplifier. 2 : Passer du tableau de Karnaugh à la table de vérité. Simplifier. 3 : Donner l’expression. Minimiser l’expression. 4 : Donner l’expression. Minimiser l’expression.

77 Exercices 5 : Simplifier.

78 Exercices 5 : Simplifier. /a . b . d /a . b /b . /d c /b . c
S = /a . b . d + /b . /d + c S = /a . b + /b . c a . /b . /c /a . b /b . d /a . d /c . d S = /a . d + /c . d = d . (/a . /c) S = a . /b . /c + /a . b + /b . d = /a . b + /b . (a . /b + d )

79 Exercices 6 : Simplifier. a b c a b c

80 Exercices 1 : Concevoir un circuit capable d’additionner deux bits, capable de générer leur somme S et leur report R. 2 : Concevoir un circuit de commande d’un afficheur 7 segments pour l’affichage des nombres 0, 1, 2, …, 9. (des états indifférents) e3 : le poids le plus important e0 : le poids le plus faible

81 Les états indifférents (don’t care)
Ils sont représentés par des X En sortie, ils correspondent à des combinaisons d’entrées pour lesquelles la sortie n’a pas été définie. Ex.: Un réservoir ne peut être à la fois vide et plein.

82 Contrôle de niveau d’un réservoir
Capteur de niveau haut h = 1 : plein Capteur de niveau bas b = 0 : vide Sélecteur de pompe s = 0 : Pompe 1 s = 1 : Pompe 2

83 Contrôle de niveau ... Si réservoir plein: Aucune pompe en marche;
Si réservoir vide: Les 2 pompes en marche; Si réservoir ni vide, ni plein: Faire fonctionner la pompe sélectionnée par le sélecteur « s ».

84 Contrôle de niveau ... Table de vérité: 1 1 1 0 0 1 X X 0 0
Réservoir vide Réservoir à 1/2 X X Réservoir plein et vide ?!? Réservoir plein

85 Contrôle de niveau ... Tables de Karnaugh: 1 1 1 X X 1 1 1 X X P1 = /b
X X Tables de Karnaugh: P1 = /b + /h./s 1 1 1 X X P2 = /b + /h.s 1 1 1 X X

86 Contrôle de niveau ... Diagramme échelle: Seul risque:
- si le capteur b est en panne (b=0) alors que le réservoir est plein... Les deux pompes seront en marche !!!

87 Contrôle de niveau ... Si on considère les X comme des 0. 1 1 1 1 1 1
P2 = /b./h + /h.s 1 1 1 P1 = /b./h + /h./s

88 Contrôle de niveau ... Diagramme échelle (sécuritaire):

89 Conclusion de l’exemple
Les « X » peuvent êtres utilisés dans des groupes de 1 pour en augmenter la taille. Cela implique des équations plus simples; Du point de vue sécurité, il peut s ’avérer nécessaire de considérer les « X » comme des « 0 ».

90 Les états indifférents (don’t care)
En entrée, ils permettent d’écrire les tables de vérité sous forme plus compacte.

91 Logique combinatoire v.s. Logique séquentielle
Les premières méthodes d’automatisation pour les systèmes séquentiels.

92 La logique combinatoire et les automatismes
La logique combinatoire peut être utilisée pour étudier les automatismes simples. L’exemple qui suit montre la marche à suivre...

93 Etapes de la démarche Dénombrer tous les états possibles.
1 Dénombrer tous les états possibles. Établir un diagramme des phases. Établir un diagramme des transitions. Construire la table de vérité du système. Trouver les équations logiques des actionneurs. 2 3

94 Plateau tournant Cycle de fonctionnement: poussée sur bouton m;
déverrouillage de W; avance du vérin V, avec rotation du plateau; verrouillage de W; retrait de V, le plateau restant immobile.

95 Plateau tournant La méthode utilisée repose sur le fait qu'en logique combinatoire, une combinaison d'entrées donne une seule combinaison de sorties.

96 Plateau tournant Au départ, aucun capteur n'est actionné, et les deux vérins sont au repos. Donc: m = 0 et a = 0 et b = 0: W = V = 0. m a b W V

97  Plateau tournant Puis, en appuyant sur m, le vérin W est déplacé.
Donc:  m = 1 et a = 0 et b = 0 W = 1 et V = 0 m a b W V 1

98 Plateau tournant Dès que le capteur a est actionné, le vérin V provoque la rotation du plateau. a = 1 et b = 0 et ce pour m = 1 ou m=0 (m=X) ? W = 1 et V = 1. m a b W V 1 X

99 Plateau tournant Si le capteur b = 1, le vérin W verrouille le plateau. b = 1 et a = 1 , m = X W = 0 et V = 1. m a b W V 1 X

100 Plateau tournant Lorsque le capteur a n'est plus actionné, le vérin V reprend sa position initiale. a = 0 et b = 1 , m = X V = 0 et W = 0 m a b W V 1 X

101 Plateau tournant Table de vérité m a b W V 1 X 1 1 1
1 X 1 1 1 5 lignes représentant 8 états.

102 Diagramme des phases     
b W V 1 X La méthode utilisée repose sur le fait qu'en logique combinatoire, une combinaison d'entrées donne une seule combinaison de sorties.     

103 Diagramme des transitions
W,V Démarche : -chemin principal -assurer combinatoire -chemins supp. (var. en X) 3 110 m a b 7 111 V 8 101 3 110 W,V 2 100 W 4 010 W,V 5 011 V 000 1 6 001 m a b

104 Diagramme des transitions
Tjrs 1 combinaison de sorties pour 1 combinaison d’entrées. 000 1 2 100 3 110 4 010 5 011 6 001 W W,V V 7 111 8 101 2 lignes confondues de la table de érité m a b

105 Plateau tournant Tables de Mahoney W = m./b + a./b = /b.(m+a) 1 2 3 4
000 1 2 100 3 110 4 010 5 011 6 001 W W,V V 7 111 8 101 Tables de Mahoney W = m./b + a./b = /b.(m+a)

106 Plateau tournant Tables de Mahoney V = a 1 2 3 4 5 6 7 8 000 100 110
010 5 011 6 001 W W,V V 7 111 8 101 Tables de Mahoney V = a

107 Plateau tournant - Réalisation

108 Méthode de Huffman Exemple où la résolution combinatoire devient impossible. Marche (m) et Arrêt (a) d ’un Moteur (C) : Mise en Marche : Si (a = 0 ET m = 1 ) Alors (C = 1) Moteur en marche : Si (a = 0 ET m = 0 ) Alors (C = 1) Mise à l’arrêt : Si (a = 1 ET m = 0) Alors (C = 0) Arret : Si (a = 0 ET m = 0 ) Alors (C = 0) Huffman

109 Etapes de la démarche Dénombrer tous les états possibles.
1 Dénombrer tous les états possibles. Établir un diagramme des phases. Établir un diagramme des transitions. Construire la table primitive des états. Construire la table réduite des états. Définir des variables secondaires. Trouver les équations logiques des actionneurs et des variables secondaires. 2 3 4

110 Dénombrer tous les états possibles. Établir un diagramme des phases.

111 Dénombrer tous les états possibles. Établir un diagramme de transitions.

112 Construire la table primitive des états
Code binaire réfléchi  Etat indiff. Etat stable (1 par ligne) X 4 2 Etat transitoire (montre l ’évolution possible d ’un état stable vers un autre) 3 5 C 2 1 4 5 2 10 C 1 5 3 00 11 00 ma 4 01

113 Construire la table réduite des états
Le regroupement de lignes de la matrice primitive doit obéir aux règles suivantes : ·Les niveaux logiques de la ou des sorties doivent être les mêmes sur les lignes à regrouper. ·Les états sur chacune des lignes à regrouper doivent être les mêmes ou correspondre à un X. .Les états sont fusionnés selon la règle :  > 3 > X

114 Construire la table réduite des états
Deux sorties différentes pour les mêmes entrées. Introduction d ’une variable secondaire.

115 Construire la table réduite des états
x Introduction d ’une variable secondaire.

116 Trouver les équations : pour C
Pour remplir la table d'une sortie, il faut mettre dans chaque case la valeur de la sortie pour l'état stable correspondant au numéro d'état de la case correspondante de la matrice contractée. x m a x 1 C = (m+x)a 1 1

117 Trouver les équations : pour x
Pour remplir la table d’une variable secondaire, il faut mettre dans chaque case la valeur de la variable secondaire pour l’état stable correspondant au numéro d’état de la case correspondante de la matrice contractée. x m a x 1 x = (m+x) a 1 1

118 Exercice : Plateau tournant (huffmann)
Aucune contrainte pour l’opérateur.

119 Méthodes intuitives (fondées sur la méthode de Huffman)
Dans certains automatismes les variables secondaires sont les sorties du système.

120 Exemple Un moteur qui peut tourner vers la gauche (contacteur « G ») ou vers la droite (contacteur « D »). Ce moteur est commandé par trois boutons : « m » et « n » qui sont verrouillés mécaniquement (donc impossibles à actionner en même temps) et qui correspondent respectivement à une rotation à gauche et une rotation à droite; « a » qui est le bouton d’arrêt (prioritaire si appuyé en même temps que « m » et « n »).

121 États ayant les mêmes entrées
Exemple Gauche et droite en même temps (arrêt prioritaire) États ayant les mêmes entrées

122 Exemple Il faut deux variables intermédiaires pour distinguer ces trois états. Ils se différencient grâce à leur sortie. Les Sorties seront les variables intermédiaires. Choisissons : x = G et y = D

123 Matrice réduite des états
n a G D x y 1 X 4 8 5 7 2 6 4 8 5 2 1 X X 3 4 5 7 2 1

124 Equations de x x = (m/a + x/n/a) /y
Sécurité (pas de demande de rotation G et D) x = m/a x = x/n/a

125 Equations de y y = (n/a + y/m/a) /x
Sécurité (pas de demande de rotation G et D) y = n/a y = y/m/a

126 Étude simplifiée des automatismes à cycles géométriques

127 Distributeur de caissettes
Suite à l’appui sur le poussoir « m »: Extension du vérin H pour pousser la caissette sur le tapis Extension du vérin V pour soulever la caissette 2 pendant la rétraction du vérin H. Rétraction du vérin H Rétraction du vérin V

128 Au départ, capteurs b et d actionnés et deux vérins sont au repos.

129 En appuyant sur “m”, extension du vérin H.

130 - b = 0. - Arrivée de H en fin de course, extension de V

131 - d = 0. Arrivée de V en fin de course, rentrée de H

132 - a = 0. - Arrivée de H en fin de course, rentrée de V

133 - c = 0. - Fin du cycle Autres cas impossibles car Vérins entrés et sortis en même temps.

134 Distributeur de caissettes
H = m.d + /b.d+/ca = d(m+/b)+/ca

135 Distributeur de caissettes
V = a + /b.c

136 Un capteur actif (associé au vérin qui ne bouge pas)
Cycle géométrique Sortie actionnée Cycle carré. Deux capteurs actifs Un capteur actif (associé au vérin qui ne bouge pas) b V a,c c c b H,V a H d d d m b a

137 Cycle géométrique H = (m+/b).d + a./c V = a+c./b
Mise en équation directement du graphique ci-contre.

138 Système de perçage Cycle en L.

139 Système de perçage Variable x: X = a + X./b H = X + /h V = X.c
X=1 sur M-N-O; X=0 sur O-N-M. X = a + X./b H = X + /h V = X.c

140 Système de transfert Cycle complexe:

141 Système de transfert Variables X,Y,Z: X = 1 et Y = 0 et Z = 0
Sur M-N X = 1 et Y = 1 et Z = 0 Sur N-M X = 1 et Y = 1 et Z = 1 Sur M-O X = 0 et Y = 1 et Z = 1 Sur O-M X = 0 et Y = 0 et Z = 1 Sur M-P X = 0 et Y = 0 et Z = 0 Sur P-M

142 Système de transfert X = c./Z + X.(/c + Y) Y = a + Y./b Z = b + Z./e
W = Z.c V = V.X.(/Y./Z+Y.Z)

143 Machine à remplir et à boucher
Identifier des cycles géométriques