Réalisé par : Sébastien Lachance MATHS 3 E SECONDAIRE FONCTIONS polynomiales.

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1 Réalisé par : Sébastien Lachance MATHS 3 E SECONDAIRE FONCTIONS polynomiales

2  DEGRÉ 1 MATHS 3 E SECONDAIRE - FONCTIONS polynomiales - f(x) = ax + b A) Forme générale a : Taux de variation (ou pente) b : Ordonnée à l’origine (ou valeur initiale)

3 f(x) = ax + b a : Taux de variation (ou pente) b : Ordonnée à l’origine (ou valeur initiale) Exemples f(x) = 4x + 10 f(x) = -3x – 50 f(x) = x f(x) = 22 f(x) = 1x + 0 f(x) = 0x + 22

4 C’est la mesure de la variation de la fonction. B) Taux de variation (a) a = y 2 – y 1 x 2 – x 1 =  y  x x

5 Exemple #1 Temps (heures) 0 140 120 100 80 60 40 20 0 1 2345678910 Salaire ($) Salaire d’une secrétaire médicale  Choisir 2 points ( 2, 40 ) ( 4, 80 ) (x 1, y 1 ) = (2, 40) (x 2, y 2 ) = (4, 80)  Remplacer dans la formule a = x 2 – x 1 =  x x y 2 – y 1  y a = 4 – 2 80 – 40 = 2 40 = 20

6 Exemple #2 xy 0 5 1 9 213 3 17 421 525  Choisir 2 points (x 1, y 1 ) = (1, 9) (x 2, y 2 ) = (4, 21)  Remplacer dans la formule a = x 2 – x 1 =  x x y 2 – y 1  y a = 4 – 1 21 – 9 = 3 12 = 4

7 Exemple #3  Choisir 2 points (x 1, y 1 ) = (2, 40) (x 2, y 2 ) = (6, 20)  Remplacer dans la formule a = x 2 – x 1 =  x x y 2 – y 1  y a = 6 – 2 20 – 40 = 4 -20 = -5 y 1234567 10 20 30 40 50 60 x 0

8 C’est l’endroit où la courbe croise l’axe des y (ordonnée). C) Ordonnée à l’origine (b) Donc c’est la valeur de f(0), c’est-à-dire la valeur de f(x) quand x vaut 0. 1 234-4-3-2 -55

9 Dans un GRAPHIQUE b : ordonnée à l’origine = 3 1 234-4-3-2 -55 x y 1 2 3 510152025 0 1 000 2 000 3 000 4 000 Remplissage d’une piscine Litres Minutes b : ordonnée à l’origine = 2 000 L C’est la première donnée, donc la valeur initiale.

10 Dans une TABLE DE VALEURS C’est la valeur de f(0). … x f(x) … … … -3 -7 -2 -4 0 2 1 5 2 8 3 11 b : ordonnée à l’origine = 2 … x f(x) … … … -3 9 -2 -4 1 0 0 1 1 2 4 3 9 b : ordonnée à l’origine = 0

11 Dans une SITUATION Pierre est laveur de fenêtres. Il gagne un salaire de base de 20 $ plus 0,50 $ par fenêtre lavée. C’est la valeur initiale, au départ de la situation. b : ordonnée à l’origine = 20 $

12 D) Règle : f(x) = ax + b  Trouver a (taux de variation)  Trouver b (ordonnée à l’origine) a = x 2 – x 1 =  x x y 2 – y 1  y Remplacer un point (x, y) ainsi le paramètre a dans la règle. Isoler le paramètre b dans la règle.  Écrire la règle (en remplaçant a et b)

13 Exemple # 1 x f(x) 3 27 5 37 10 62 14 82  x x  y y a = 37 – 27 5 – 3 a = 5  Trouver a a = 10 2  Trouver b f(x) = a x + b f(x) = 5 x + b 27 = 5(3) + b 27 = 15 + b 12 = b  Règle f(x) = 5 x + 12 27 – 15 = 15 – 15 + b

14 Exemple # 2 0 y 1234567 10 20 30 40 50 60 x ( 2, 30 ) ( 6, 40 )  x x  y y a = 40 – 30 6 – 2 a = 2,5  Trouver a a = 10 4  Trouver b f(x) = a x + b f(x) = 2,5 x + b 30 = 2,5(2) + b 30 = 5 + b 25 = b  Règle f(x) = 2,5 x + 25 30 – 5 = 30 – 5 + b

15 E) Variations directes et partielles Dans une fonction de variation DIRECTE, la droite passe par l’origine (0, 0) du plan cartésien. 0 140 120 100 80 60 40 20 0 1 2345678910 Exemple

16 E) Variations directes et partielles Donc l’ordonnée à l’origine (b) est nulle. b = 0 La règle devient : f(x) = ax + 0 f(x) = ax Dans une fonction de variation DIRECTE, la droite passe par l’origine (0, 0) du plan cartésien.

17 E) Variations directes et partielles Dans une fonction de variation PARTIELLE, la droite ne passe pas par l’origine (0, 0) du plan cartésien. Exemple 0 y 1234567 10 20 30 40 50 60 x

18 E) Variations directes et partielles Donc l’ordonnée à l’origine (b) a une valeur. b  0 La règle reste : f(x) = ax + b Dans une fonction de variation PARTIELLE, la droite ne passe pas par l’origine (0, 0) du plan cartésien.

19  DEGRÉ 0 (fonction constante) MATHS 3 E SECONDAIRE - FONCTIONS polynomiales - Dans une fonction CONSTANTE, le taux de variation est nul (a = 0). 0 140 120 100 80 60 40 20 0 1 2345678910 Donc : f(x) = ax + b f(x) = 0x + b f(x) = b Règle générale : f(x) = b

20 Exemple Le tarif d’entrée au cinéma, pour un adulte, est de 8,00 $. Voici le graphique représentant cette situation. Peu importe l’âge, le tarif est toujours de 8,00 $. La courbe est une ligne droite horizontale parallèle à l’axe des abscisses. La règle est : f(x) = 8 On s’intéresse à la relation entre le coût ($) et l’âge. Tarif d’entrée au cinéma Âge Tarif ($) 202530 35404550 5560 2 10 4 6 8 12

21 Exemple Tarif d’entrée au cinéma Âge Tarif ($) 202530 35404550 5560 2 10 4 6 8 12 La table de valeurs est : Âge Coût ($) 20 8 25 8 30 8 35 8 … 8 Le taux de variation est nul : 0  x x  y y a = 8 – 8 50 – 30 a = 0 a = 0 20 Donc la règle est : f(x) = ax + b f(x) = 0x + 8 f(x) = 8

22 Exercice Dans la fonction suivante, détermine : x y 1 1 l’ordonnée à l’origine :-3 le taux de variation : 0 la règle :f(x) = -3 Comment appelle-t-on cette fonction ? Fonction constante ou Fonction de variation nulle.

23  Fonction INVERSEMENT PROPORTIONNELLE MATHS 3 E SECONDAIRE - FONCTIONS polynomiales - f(x) = x a Règle générale :

24 Exemple f(x) = x 100 1 5 20 10 25 4 50 2 x f(x) 100 1 Table de valeurs : 1020304050607080901000 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 Graphique :

25 Situation 2 500 5 200 10 100 25 40 x : le nombre d’ouvriers f(x) : le temps (h) Un entrepreneur veut construire une maison. Il désire évaluer le temps que prendrait la tâche en fonction du nombre d’ouvriers. Il considère que la construction à effectuer demande 1 000 heures de travail. Cette situation correspond-elle à une fonction inversement proportionnelle ? x. f(x) = a 2 X 500 = 1 000 5 X 200 = 1 000 10 X 100 = 1 000 25 X 40 = 1 000 C’est bien une fonction inversement proportionnelle. f(x) = x a Dans une table de valeurs, on obtient toujours une constante (a) lorsqu’on multiplie les x avec y.

26  NUAGE de points MATHS 3 E SECONDAIRE - FONCTIONS polynomiales - Sert à modéliser une situation. Développement dans le monde 0 Mortalité infantile (%) 4 2 6 10 8 14 12 16 20 18 20 40 60 80 100 Espérance de vie (années)

27 Certains nuages de points ne révèlent rien de particulier. D’autres, au contraire, sont très significatifs.

28 Parfois, les modèles ressemblent à des fonctions connues. Modélisable par une fonction linéaire. Modélisable par une fonction inversement proportionnelle. Modélisable par une fonction constante. y x y x y x

29 Construire un nuage de points 11 12 13 14 15 16 13 142 123 142 140 160 148 140 155 172 160 157 155 165 167 180 161 ÂgeTaille (cm) 1011121314151617 120 130 140 150 160 170 180 Âge Taille (cm) 2 2 Ici, le nuage de points est assez dispersé; le lien entre les variables est donc faible et non significatif.