La Set-Theory d’Allen Forte

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1 La Set-Theory d’Allen Forte
Un cadre théorique pour l'analyse du Sacre du Printemps 6 3 9 Les principes élémentaires de la Set-Theory Equivalence et théorie de la musique La nomenclature d’Allen Forte Le contenu intervallique Relations entre ensembles L’analyse du Sacre du Printemps par Allen Forte Cadre général Quatre stratégies d’analyse Set-Theory: Commentaires Le rôle des mathématiques La théorie et l’œuvre Critères de validation

2 Les principes élémentaires de la Set Theory :
Do Majeur Do Majeur 6 Do Majeur 64 Do Majeur Accord parfait Majeur

3 Les principes élémentaires de la Set Theory :
La notion mathématique de relation d’équivalence: Soit une relation formelle (notée ~) entre éléments d’un ensemble. Exemple: Ensemble (R) : Noms correspondants aux touches du clavier d’un piano Relation: „correspond à la même touche du piano une fois ramené à une octave particulière“ On a par exemple Do#4 ~ Réb4ou encore Do#4 ~ Do#1 La relation ~ est appelée „relation d’équivalence“ si elle satisfait au trois axiomes suivants pour tout élément a, b et c de l’ensemble : a ~ a a ~ b => b ~ a a ~ b et b ~ c => a ~ c Do3 Réb4 Do#4 Mib4 Si#4 Do#1 Fax4

4 Les principes élémentaires de la Set Theory :
La notion de classe d’équivalence Lorsqu’un ensemble est muni d’une relation d’équivalence il est possible de „découper“ celui-ci en sous-ensembles réunissant les éléments liés par la relation considérée. Exemple: Dans l’exemple ci-dessus Do#4, Réb4 et Do#1 feront partie du même sous-ensemble, puisqu’ils sont liés par la relation d’équivalence. Les sous-ensembles ainsi formés seront disjoints deux à deux et forment une partition de l’ensemble R. Ces sous ensembles sont appelés les classes d’équivalence définis par ~. Il est dès lors possible de se référer à une classe d’équivalence soit en lui donnant un nom, soit en mentionnant un de ses éléments, sachant que celui-ci „représente“ la classe entière (le „délégué de classe“ pour ainsi dire). Do3 Si#4 Réb2 Do#4 Mib4 Do#1 Fax4

5 Les principes élémentaires de la Set Theory :
Pitch Classes (Classes de hauteurs) L’exemple considéré ci-dessus constitue précisément ce qu’Allen Forte nomme l’ensemble des classes de hauteurs. Chaque classe de hauteur est représentée par un entier, selon la correspondance établie ci-dessous. Pitch Class Sets (Ensembles de classes de hauteurs) Un ensemble de classes de hauteurs (ECH) est tout simplement un ensemble (non ordonné) de classes de hauteurs.

6 Les principes élémentaires de la Set Theory :
Opérations sur les ECH La transposition Transposer un ECH d’un nombre n de demi-tons consiste à transposer chacun des éléments de l’ensemble de n demi-tons (ascendants). Exemple: ( ) ( ) Transposition de trois demi-tons (tierce mineure) 3 6 9 Algèbre Modulo 12 La représentation adoptée, permet de définir la transposition dans le cadre de l’arithmétique Modulo 12. Exemples: Mod 12 = 4; Mod 12 = 7; Mod 12 = 11 etc. La transposition d’un ECH peut alors être définie de façon formelle: Tn(a1, a2, …, ak) = (a1+ n Mod 12, a2 + n Mod 12, …, ak + n Mod 12)

7 Les principes élémentaires de la Set Theory :
Opérations sur les ECH L’inversion L’inversion (autour de la classe de hauteur 0) d’un ECH consiste à inverser (ascendants devient descendant et vice versa), pour chaque élément de l’ensemble, l’intervalle entre celui-ci et 0. Exemple: 3 9 6 ( ) ( ) Inversion (autour de 0) En arithmétique modulo 12 l’inversion d’un ECH peut se définir de façon formelle: I(a1, a2, …, ak) = (- a1 Mod 12, - a2 Mod 12, …, - ak Mod 12)

8 Les principes élémentaires de la Set Theory :
Opérations sur les ECH Transformations et représentations sur l’“horloge des classes de hauteurs“ 3 6 9 9 3 9 3 T3 I 6 6 (11 3 6) (2 6 9) (3 6 10)

9 Les principes élémentaires de la Set Theory :
Classes d’ECH L’ensemble des transformations (12 transpositions, l’inversion et toutes les combinaisons entre celles-ci) permettent de définir une relation d’équivalence sur l’ensemble des ECH. Deux ensembles sont considérés comme liés par la relation d’équivalence (ils sont dit „équivalents“), si l’un est l’image de l’autre par une des transformations. Comme pour les classes de hauteurs il est donc possible de définir des classes de classes de hauteurs. Ainsi, il ne reste plus que 220 classes distinctes (220 „types d’harmonies“ dans le sens où aucun élément d’une classe donnée ne peut aboutir à un élément d’une autre classe via les transformations définies). Comment les identifier?

10 Les principes élémentaires de la Set Theory :
Classes d’intervalles Nous avons déjà indirectement abordé (avec la transposition) la notion d’intervalle Comme pour les hauteurs, les intervalles sont également regroupés en classes d’équivalences.

11 Les principes élémentaires de la Set Theory :
Contenu intervallique Le contenu intervallique répertorie toutes les classes d’intervalles contenues dans un ECH ainsi que leurs fréquences d’apparition. Il est possible de répertorier ces données dans le vecteur intervallique. [ ] ic 1 ic 2 ic 3 ic 4 ic 5 ic 6 Un point important : Tous les ECH réunis dans une même classe possèdent le même vecteur intervallique.

12 Les principes élémentaires de la Set Theory :
Résumons ( ) ( ) ( ) ( ) Ensembles [ ] [ ] [ ] [ ] Classes 5-20 7-20 6-z19 6-z44 intervallique Contenu [ ] [ ] [ ] [ ]

13 Les principes élémentaires de la Set Theory :
Un exemple A T2 D B I °T11 C

14 Les principes élémentaires de la Set Theory :
Les relations Complément „littéral“ Inclusion „littérale“ Ensembles Complément Inclusion Relation K et Kh Similarité Rp Classes intervallique Contenu Relation z Relation R0, R1 et R2

15 Les principes élémentaires de la Set Theory :
Relations entre ensembles : complément et inclusion „littérale“ Le complément d’un ensemble de classes de hauteurs H est formé par toutes les notes qui ne sont pas dans H. En général, le complément d’un ech contenant n éléments contient 12 - n éléments. Un ensemble H est inclus dans un ensemble J si tous les éléments de H sont également dans J. (Le nombre d’éléments de H est donc inférieur ou égal au nombre d’éléments de J). L’inclusion est dite „stricte“ quand H n’est pas égal à J. (Le nombre d’éléments de H est donc strictement inférieur au nombre d’éléments de J).

16 Les principes élémentaires de la Set Theory :
Relations entre classes d’ensembles : complément et inclusion Une classe d’ECH J est le complémentaire de la classe d’ECH H si la relation d’inclusion est vrais au moins entre deux ech de la classe de J et de la classe H respectivement. Une classe d’ECH J est en relation d’inclusion avec une classe d’ECH H si au moins un ech de la classe de J est inclus dans un ech de la classe H. Forme Primaire de H Forme Primaire de J Classe de l’ECH H Classe de l’ECH J

17 Les principes élémentaires de la Set Theory :
Relations entre classes d’ensembles : les complexes K et Kh Si un ECH H est élément du complexe K d’un ECH A alors: H est en relation d’inclusion avec A ou avec son complémentaire ( A ), H K(A)  H  A ou H  A Si un ECH H est élément du complexe Kh d’un ECH A alors: H est en relation d’inclusion avec A et avec son complémentaire ( A ), H Kh(A)  H  A et H  A

18 Les principes élémentaires de la Set Theory :
Relations entre classes d’ensembles : similarité Rp Deux ECH contenant le même nombre d’éléments k sont similaires Rp s’il existe un ECH contenant k - 1 éléments en relation d’inclusion avec ces deux ensembles.

19 Les principes élémentaires de la Set Theory :
Relations entre classes d’ensembles : similarité entre contenus intervalliques Relations Z Deux ECH distincts sont en relation z si leur contenu intervallique est identique. (les deux ensembles sont distincts dans le sens où ils n’appartiennent pas à la même classe d’ECH. Il auront cependant le même nombre d’éléments). Exemples: [ ] R [ ] R [ ] R2 5-z18 [ ] Relations R0, R1 et R2 Deux ECH distincts contenant le même nombre d’éléments sont en relation R0 si leurs vecteurs intervalliques respectifs diffèrent à chacune de leur entrée. Ils sont en relation R1 si leurs vecteurs intervalliques respectifs diffèrent seulement à deux entrées et que les valeurs y figurant sont inversées. Enfin, ils sont en relation R2 si leurs vecteurs intervalliques respectifs diffèrent seulement à deux entrées mais que les valeurs y figurant ne sont pas inversées.

20 L’analyse du Sacre du Printemps par Allen Forte
Cadre Général L’analyse d’Allen Forte ne prétend pas expliciter tous les aspects du Sacre du Printemps: La présente étude considère en détails les aspects „harmoniques“ généraux du Sacre du Printemps, c’est à dire non seulement les accords ou configurations verticales, mais également les ensembles de classes de hauteurs formant des configurations mélodiques, combinaisons de lignes horizontales et segments de formes variées (Forte p. 23). Quatre „stratégies“ d’analyse „Statistique“ des accords présents dans l’œuvre Spécificité des éléments harmoniques aux points de transitions Réduction d’un passage à une harmonie „première“ („Nexus“) Recherche d’éléments communs à l’ensemble de l’œuvre et commentaires généraux.

21 L’analyse du Sacre du Printemps par Allen Forte
„Statistique“ des harmonies présentes dans l’œuvre

22 L’analyse du Sacre du Printemps par Allen Forte
Spécificité des élements harmoniques aux points de transitions

23 L’analyse du Sacre du Printemps par Allen Forte
Spécificité des élements harmoniques aux points de transitions L’unité du Sacre du Printemps n’est pas tant due à des configurations répétées de façon littérales, quoi que de telles configurations sont présentes, ou par des relations thématiques de type traditionnel, qu’à une unité harmonique sous jacente, formée par des ECH considérés indépendamment des attributs de leurs apparitions particulières (Forte p. 23).

24 L’analyse du Sacre du Printemps par Allen Forte
Réduction d’un passage à une harmonie „première“ („Nexus“) 6-z45 6-27 6-30 6-z42  K (5-31) 7-16 5-31 7-32  Kh (6-27)

25 L’analyse du Sacre du Printemps par Allen Forte
Recherche d’éléments communs à l’ensemble de l’œuvre 3 6 9 3 6 9 3 6 9 7-16 7-31 7-32 3 6 9 3 6 9 3 6 9 5-16 5-31 5-32

26 L’analyse du Sacre du Printemps par Allen Forte
Recherche d’éléments communs à l’ensemble de l’œuvre 3 6 9 3 6 9 3 6 9 3 6 9 8-28 8-23 8-18 8-16 Du fait du nombre important d’ harmonies présentes dans le Sacre du Printemps il est important de sélectionner les harmonies principales avec beaucoup de soin et avec un certain degré de flexibilité. Un shéma de complexes d’ensemble contenant quasiment tous les ensembles est utile mais requiert une interprétation intelligente (Forte p. 132).

27 Set Theory : commentaires
Le rôle des mathématiques Basculement de la musique vers une représentation formelle Ou arrêter le processus de condensation d’information ? La théorie et l’œuvre Les figures remarquables sont-elles dues à la théorie ou à l’œuvre étudiée ? A supposer qu’elles sont dues à l’œuvre étudiée, que nous disent-elles ? Quels critères de validation? Perception inconsciente de structures ? L’argument „statistique“ Reconstitution de la genèse de l’œuvre ?

28 Il est possible de conclure que l’harmonie finale, 4-18, était le but initial et préétabli de la progression (Forte p. 26).

29 5-16 5-31 5-32 7-16 7-31 7-32   6-z42 6-27 6-z28 5-31 