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1 La géométrie au C2 Beatrice.venard@ac-lyon.fr
ac-lyon.fr/etab/divers/preste69/spip ou en tapant Preste sur un moteur de recherche

2 Plan de l’animation Les maths, à quoi cela sert ?
La géométrie, de quoi parle-t-on ? Ce que disent les programmes du cycle 2 Ancrer la géométrie dans la réalité et la lier aux autres disciplines Mettre en œuvre des situations de communication Mettre en œuvre des situations de recherche La place des jeux

3 Les maths, à quoi cela sert ?
A votre avis, pourquoi fait-on des maths à l’école ?

4 Extrait du socle commun
Les principaux éléments de mathématiques et la culture scientifique Donner aux élèves la culture scientifique nécessaire à une représentation cohérente du monde et à la compréhension de leur environnement quotidien. En maternelle, maths dans la partie « découverte du monde » C’est encore vrai ensuite

5 Extrait du socle commun
Les principaux éléments de mathématiques et la culture scientifique Des approches concrètes et pratiques des mathématiques et des sciences, faisant notamment appel à l'habileté manuelle aident les élèves à comprendre les notions abstraites. Les sens donnent du sens

6 Extrait du socle commun
Dans chacun des domaines que sont le calcul, la géométrie et la gestion des données, les mathématiques fournissent des outils pour agir, choisir et décider dans la vie quotidienne. Elles développent la pensée logique, les capacités d’abstraction et de vision dans l’espace. Montrer l’utilité des maths en situations concrètes Avoir conscience que cette discipline contribue au développement d’une certaine forme d’intelligence

7 Extrait du socle commun
La maîtrise des principaux éléments de mathématiques s’acquiert et s’exerce essentiellement par la résolution de problèmes, notamment à partir de situations proches de la réalité.

8 Extrait des programmes 2008
L’apprentissage des mathématiques développe : l’imagination, la rigueur et la précision, ainsi que le goût du raisonnement. Imagination : anticiper Rigueur et précision : en géométrie Goût du raisonnement :

9 Enseigner les mathématiques
préparer, conduire, analyser des situations pour agir seul ou à plusieurs : expérimenter, chercher des débats scientifiques organisés pour : raisonner, comprendre des activités individualisées pour : automatiser, s'entraîner

10 La Géométrie De quoi parle-t-on ?

11 La géométrie géo : la terre metrikos : mesure
Rien que dans le terme on voit qu’il y a un lien avec la mesure. Ce ne sont pas deux domaines cloisonnés.

12 À L’ÉCOLE PRIMAIRE, LA GÉOMÉTRIE RENVOIE À DEUX CHAMPS DE CONNAISSANCES
les connaissances spatiales qui permettent à chacun de contrôler ses rapports à l’espace environnant; les connaissances géométriques qui permettent de résoudre des problèmes portant sur des objets situés dans l’espace physique ou dans l’espace graphique.

13 espace géométrie repérage orientation relations et propriétés solides
figures planes Structuration de l’espace : pour contrôler les rapports usuels avec l’espace. Prendre, mémoriser, exploiter (communiquer) des informations pour se déplacer, reconnaître, construire des objets. Ce champ ne relève pas que des mathématiques ( gym, hist-géo) Repérage dans l’espace se situer, situer quelque chose : devant, derrière, à côté, à gauche, à gauche de , …. Orientation : Je me dirige vers ,… les points de vue « d’où on a pris la photo ? Le champ de la géométrie pure constitue un savoir mathématique élaboré au cours de l’histoire . Les compétences géométriques (volontairement limitées au cycle 2) permettent de résoudre des problèmes portant sur des objets de l’espace physique ou graphique. Il est nécessaire d’avoir de solides compétences dans le domaine spatial pour tirer profit d’un enseignement visant à la connaissance des concepts géométriques Bien respecter ordre solides → figures planes. Partir du réel vers le représenté. Relations et propriétés : alignement, perpendiculaire , parallèle, symétrie, homothétie (agrandissement , réduction), axe, centre La figure plane n’existe pas dans le réel : un carré n’a pas d’épaisseur. Rien dans le monde n’a pas d’épaisseur. Souvent plus facile de traiter de la figure plane sur du papier. Cela doit se construire dans la confrontation de l’un à l’autre, la figure plane permettant d’éclairer et de décrire le volume. compétences et savoirs : pluri-disciplinaire compétences et savoirs : mathématiques

14 Une situation problème…

15 deux géométries : empirique et théorique
L'objectif principal est de permettre aux élèves de passer progressivement : d'une géométrie où les objets et leurs propriétés sont contrôlés par la perception « JE VOIS » à une géométrie où ils le sont par explicitation de propriétés et recours à des instruments. « JE SAIS »

16 de l'objet réel au concept
deux géométries : empirique et théorique de je vois à je sais On passe progressivement de la géométrie des sens à une géométrie du savoir « Les sens donnent du sens » du dessin à la figure de l'objet réel au concept

17 Le paradoxe de Wedge

18 Comment résoudre ce paradoxe perceptif ??
d'une géométrie à l'autre : du type empirique au type théorique Mais attention à l’imperfection de nos sens !!!! Nous sommes ici "victimes" de notre perception, d'une certaine intuition, l’ambiguïté ne sera levée que par le recours à l'expérience, bref à l ’utilisation de connaissances mathématiques géométriques. De manière perceptive on pense que l’on a à faire à un triangle rectangle. Il y a une angle droit (repère orthonormé) => ce n’est pas un triangle, c’est au moins un quadrilatère. Deux côtés suivent les axes orthonormés, donc le problème est sur « l’hypoténuse ». Il faut rechercher une « cassure » témoin d’un autre sommet. 2 procédures possibles : - par traçage - par calcul Comment résoudre ce paradoxe perceptif ??

19 Ce « plan d’eau » est-il réellement plan ?
De la même façon, un plan d’eau donne l’illusion du plan Et si on regardait un fil tendu donnant l’illusion d’un segment au microscope, certainement qu’il ne serait pas droit

20 Ce que disent les programmes

21 Place du cycle 2 dans la progression à l’école primaire
Les apprentissages se déroulent de manière continue de la petite section de maternelle jusqu’au CM2. Un vocabulaire précis doit être progressivement mis en place. Le principe est de partir du réel (et donc d’objets matériels) puis d’abstraire peu à peu. La primauté est donnée à la géométrie dans l’espace. Il n’y a pas de démonstration bien entendu, mais un début d’apprentissage du raisonnement, notamment dans les activités de reproduction de figures.

22 PROGRESSION DE LA GÉOMÉTRIE À L’ÉCOLE
C1 et C2 Priorité à l’espace : rôle de la perception Est vrai ce qui est "vu" comme tel Boîte à outils “géométrique” : l’œil Fin C2 et C3 Géométrie : propriétés contrôlées à l’aide d’instruments Sont vraies les propriétés contrôlées à l’aide d'instruments Boîte à outils géométrique : instruments (règle, équerre...)

23 Exemple du carré CE1 : rechercher un carré parmi des « presque carrés » L’œil ne suffit plus ! CP : reconnaissance perceptive du carré Nécessité de recourir aux propriétés des carrés Autre activité qui permet de dépasser la perception : reproduire sur une feuille blanche un carré découpé dans du carton sans que côtés soit parallèles au bord de la feuille et sans utiliser le carton comme gabarit… vérifier avec le carré en carton !!! Cela risque de n’être pas superposable d’où débat sur propriétés des carrés…

24 Programme 2008 du cycle 2 2 - Géométrie
Les élèves enrichissent leurs connaissances en matière d’orientation et de repérage. Ils apprennent à reconnaître et à décrire des figures planes et des solides. Ils utilisent des instruments et des techniques pour reproduire ou tracer des figures planes. Ils utilisent un vocabulaire spécifique.

25 Compétences attendues en fin de GS et en fin de cycle 2
Bleu : domaine de l’espace Rouge : géométrie plus théorique Percevoir et reconnaître quelques relations et propriétés géométriques : alignement, angle droit, axe de symétrie, égalité de longueurs Résoudre un problème géométrique

26 Compétences attendues en fin de GS et en fin de cycle 2
Bleu : domaine de l’espace Rouge : géométrie plus théorique

27 Progression pour le CP et le CE1
Attention, ce tableau donne peu d’importance au repérage mais c’est un des 4 compétences en géométrie en fin de cycle 2

28 Progression pour le CP et le CE1
Rappel fin GS : dessiner rond, carré, rectangle (à main levée : important) Nouveauté CP : triangle et CE1 : triangle rectangle mais le rond a disparu Peu de diifé

29 Structuration de l'ensemble des concepts : aspects notionnels en cycle 2
Objets : carré, rectangle, triangle, triangle rectangle cube, pavé point, côté, face, arête, sommet Relations : alignement, angle droit, symétrie axiale, égalité de longueurs Segments – droites : mots employés mais non clairement défini La différence entre les 2 n’est pas abordée

30 Définition de verbes d’actions utilisés en géométrie
R E P R O D U I R E : Reproduire un objet, c'est en faire une copie, à l'identique, cet objet étant visible un certain moment . DE C R I R E : Décrire un objet, oralement ou par écrit, c’est élaborer des messages en utilisant un vocabulaire géométrique permettant à l’interlocuteur d’identifier l’objet, le reproduire, le représenter. Reproduire : objet visible (mais pas nécessairement pendant tout le temps de l’activité) […]. La reproduction peut être réalisée à l’échelle 1 ou à une autre échelle, réalisée avec le même matériel ou non.

31 Définition de verbes d’actions utilisés en géométrie
R E P R E S E N T E R : Représenter un objet ou une situation spatiale, c’est l’évoquer à l’aide de procédés graphiques conventionnels (dessin à main levée, codage...) pour en permettre une restitution proche de l'objet initial. C O N S T R U I R E : Construire un objet c’est le produire à partir d'un texte descriptif ou prescriptif, à partir d'un schéma, d’un codage, d'une photo

32 Quelles activités sur la base d’un jeu : les Kaplas
R E P R O D U I R E DE C R I R E R E P R E S E N T E R C O N S T R U I R E

33 Un exemple d’activités géométriques autour d’assemblages de kaplas
REPRODUIRE Chaque élève dispose d’un assemblage de kaplas qu’il doit reproduire DECRIRE Jeu de Kim, jeu de la carte d’identité, jeu du portrait … Jeu de Kim : plusieurs assemblages sont présentés aux élèves. Puis un assemblage est retiré. Les élèves doivent alors décrire l’assemblage disparu. Le meneur confirme ou infirme les propositions. - Jeu de la carte d’identité : chaque élève (ou groupe) dispose d’un assemblage et doit rédiger sa carte d’identité sous la forme « il a … » ou « il n’a pas… ». - Jeu du portrait : un élève choisit mentalement un assemblage parmi plusieurs. Les autres lui posent des questions pour l’identifier. Il ne répond que par « oui » ou « non ». - Jeu en situation de communication : un élève dispose d'un assemblage de cubes que son partenaire ne voit pas. Ce dernier doit construire ou représenter l'assemblage que lui décrit son partenaire.

34 Un exemple d’activités géométriques autour d’assemblages de cubes
REPRESENTER Chaque élève dispose d’un assemblage de cubes qu’il doit représenter sur une feuille afin de le faire reconnaître. (dessin , photo…) CONSTRUIRE en respectant une contrainte (le plus d’assemblages avec 4 kaplas) En suivant un programme de construction A partir d’une photo, d’un dessin … Le choix du support papier est une variable importante qui aura une incidence sur le type de représentation : ▫ tracé sur feuille quadrillée : plus facile. ▫ tracé sur papier pointé : plus facile, favorise le dessin en perspective. ▫ tracé sur feuille blanche : plus difficile et favorisant les empreintes et les contours. Les élèves doivent associer un assemblage à sa représentation : ▫ associer des empreintes à un assemblage. ▫ associer une photo à un assemblage. - Construire en respectant une contrainte : ▫ nombre de cubes fixé, ▫ espace du support limité, ▫ dimensions. - Construire en suivant un programme de construction : ▫ consignes orales, ▫ consignes écrites, ▫ images séquentielles. - Construire à partir d’une représentation : ▫ photo, ▫ dessin à main levée, ▫ dessin sur papier (papier pointé, feuille blanche ou quadrillée), ▫ empreintes, ▫ fiche technique, ▫ codage. - Construire à partir de plusieurs représentations : ▫ photos : nombre de points de vue choisis.

35 Ancrer la géométrie dans la réalité et lier aux autres disciplines

36 Ancrer la géométrie dans la réalité

37 Ancrer la géométrie dans la réalité

38 Géométrie et découverte du monde
Les élèves découvrent et commencent à élaborer des représentations simples de l’espace familier : la classe, l’école, le quartier, le village, la ville.

39 Géométrie et EPS : course d’orientation
Retrouver quelques balises dans un milieu connu

40 Géométrie et EPS : course d’orientation
Chaque balise sur le plan correspond à une photo prise par l’enseignant sur ce lieu. But : rechercher chaque balise et sa photo associée

41 Géométrie et arts visuels

42 Géométrie et lecture Cet exercice n’est pas classé comme exercice de géométrie mais comme exercice de discrimination visuelle Les enfants qui ont de la difficulté en lecture ont souvent aussi de la difficulté à se situer dans l’espace et dans le temps .

43 Mettre en œuvre des situations de communication

44 Mettre en œuvre des situations de communication
Ce n’est qu’au cycle 2 que les élèves peuvent commencer à relier l’espace réel à des représentations de cet espace (photos, maquettes, plans) Le travail sur la construction de ces relations est importante (des jeunes en lycée professionnel ne parviennent pas à lire des plans !)

45 Situation de communication : Retrouver un objet caché
Objectif : utiliser le langage spatial dans des situations de plus en plus complexes 2 élèves sortent, 1 objet caché dans l’une des boîtes, les autres doivent donner des indications pour le trouver sans montrer

46 Situation de communication : Retrouver un objet caché
2ème situation plus complexe (8 boîtes) : quel vocabulaire est induit ? Gauche - droite

47 Situation de communication : Retrouver un objet caché
Quel vocabulaire ? Dessus, dessous etc. Jeu à proposer fréquemment sur des temps courts (10 mn) en variant les situations On peut faire le même jeu sur l’espace du tableau avec différents post-il : trouver celui sur lequel une croix est dessinée au dos Fin de CP et début de CE1 : aller vers des messages écrits

48 Situation de communication : Retrouver un objet caché
Messages oraux Puis messages écrits Vers le plan : « Faire un dessin qui permette à vos camarades de trouver la boîte où est caché l’objet » Premiers dessins risquent de ne pas permettre de trouver l’objet : échange sur ce qui est nécessaire pour retrouver l’objet Ou situation inverse : l’enseignant fournit un plan (de la cour par exemple) et les enfants doivent trouver l’objet

49 De la réalité à la maquette De la maquette au plan
Plan : pas à l’échelle mais les formes connues et les positions relatives des objets doivent être respectées. Lien avec rôle social du plan (plan de maisons de parents) Utiliser la photo numérique (photographier la maquette du dessus)

50 De la réalité à la maquette De la maquette au plan

51 Situation de communication : Retrouver un objet caché
Même activité mais les boîtes sont placées sur un tapis

52 Situation de communication : Retrouver un objet caché
On complexifie en mettant les émetteurs (ceux qui décrivent la position) de l’autre côté du tapis par rapport aux récepteurs (ceux qui doivent trouver l’objet) On aborde la question des points de vue

53 Prolongement : la question des points de vue
Autre façon de traiter la question des points de vue : des objets posés sur une table et des photos prises sous différents angles

54 Prolongement : la question des points de vue

55 Mettre en œuvre des situations de recherche

56 Mettre en œuvre des situations de recherche
L'autruche n'a personne derrière elle. Le cygne voit trois animaux devant lui. Le coq n'est pas devant le cygne. Le canard suit le coq. Le hibou n'est pas le premier.

57 Mettre en œuvre des situations de recherche

58 Mettre en œuvre des situations de recherche

59 La place des jeux

60 Jeux de lotos, mémorys, …. Jeux

61 Les jeux de construction et autre matériel géométrique

62 Blockcad

63 Gogetter

64 Bibliographie Lachaussée Danièle
Géométrie à l’école -cycle 2 – CRDP Amiens 2008 Bertotto Anne, Hélavel Josiane Enseigner la géométrie : Cycle 2 – Bordas – 2003 Lamblin Ch, Fontaine F. Graphismes et géométrie, cycle 2 - Retz 1999

65 sitographie www.ien-landivisiau.ac-rennes.fr/maths/geometrie/
ou taper géométrie landivisiau marseille.fr/sisteron/spip.php?article301 ou taper géométrie sisteron orange.fr/Page% htm ou taper géométrie brégeon

66 Quelques compléments

67 Les solides Plan et espace : des apprentissages conjoints
Pour appréhender l’espace 3D d’un solide : Réaliser objets dans un matériau plein (pâte à modeler) Réaliser des patrons à partir de faces Réaliser des solides à partir de pailles

68 Du solide aux formes géométriques
+ activité : habiller la boîte Par exemple, habiller le boîte de crayons (un pavé) Pour cela, prendre empreinte de chaque face et découper chaque face 1ère

69 GEOMIROIRS • faciliter la construction du symétrique d'une forme donnée. • vérifier qu'une droite constitue bien l'axe de symétrie d'une figure. • recherche des axes de symétrie d'une figure

70 Reproduction sur quadrillage
Distinguer les niveaux de difficulté Niveau 1 : les contours suivent les lignes Niveau 2 : le segment coupe les lignes du quadrillage aux nœuds Niveau 3 : le segment coupe les lignes en d’autres points Au départ, possibilité de validation avec un calque Le recours aux points de couleur peut être utile