Comment la définir, surtout quand elle est variable !

Présentation au sujet: "Comment la définir, surtout quand elle est variable !"— Transcription de la présentation:

1 Comment la définir, surtout quand elle est variable !
La vitesse Comment la définir, surtout quand elle est variable !

2 Définition : le nombre v est la valeur de la vitesse.
Suivons un point circulant sur une droite à vitesse constante Instant zéro Point mobile M à au l’instant t xM Sens du mouvement Point mobile M à au l’instant zéro xMo Distance = xMo – xM Une horloge Graduation 1 Graduation 0 Temps Distance t xM – xMo 1 v Par définition, la vitesse est constante si le temps et la distance sont proportionnels. D’où le tableau de proportion ci-contre Définition : le nombre v est la valeur de la vitesse. Ce tableau nous donne trois équations xM – xMo v = t t = xM – xMo v xM – xMo = v t (égalité des produits croisés) Règle : le diviseur est sur la même diagonale que la valeurs à calculer Conclusion : la distance s’obtient en multipliant la vitesse par le temps.

3 Faisons une remarque géométrique :
La multiplication v t est l’aire d’un rectangle de hauteur v et de longueur t Aire = xM – xMo v t Temps Vitesse

4 avec le langage des mathématiques.
Posons-nous cette question : Si on remplace le dessus du rectangle par une ligne continue : Vitesse Aire = xM – xMo v t Temps Vitesse Aire = xM – xMo ? v As-t-on encore t Temps Aujourd’hui, tout le monde pense que oui. Et c’est ainsi qu’on peut estimer une distance sachant la vitesse quand elle est variable avec le langage des mathématiques.

5 Les deux trapèzes sont égaux
Cas particulier : supposons que la vitesse augmente proportionnellement au temps Temps Vitesse acquise t v – vo 1 a Cette hypothèse nous donne le tableau ci-contre Définition : le nombre vo est la valeur de la vitesse initiale. Ce tableau nous donne l’équation Faisons un peu de géométrie. Quelle est la formule de l’aire d’un trapèze ? v – vo = a t (égalité des produits croisés) Cette formule nous donne la géométrie ci-dessous v vo v Les deux trapèzes sont égaux v t Temps Vitesse 1 vo Aire = xM – xMo vo t L’aire du trapèze est donc égale à la moitié de celle du rectangle (v + vo) t 2 Aire = xM – xMo = = 1

6 Définition : le nombre vo est la valeur de la vitesse initiale.
Cas particulier : supposons que la vitesse augmente proportionnellement au temps Temps Vitesse acquise t v – vo 1 a Cette hypothèse nous donne le tableau ci-contre Définition : le nombre vo est la valeur de la vitesse initiale. Ce tableau nous donne l’équation v – vo = a t (égalité des produits croisés) Conclusion : la distance s’obtient en multipliant la vitesse par le temps puis en divisant le résultat par deux. Cas particulier : la vitesse initiale est nulle : v = a t v t Temps Vitesse 1 vo Aire = xM – xMo v t Temps Vitesse Aire = xM – xMo a 1 v t 2 Aire = xM – xMo = L’aire du trapèze est égale à la moitié de celle du rectangle L’aire du triangle est égale à la moitié de celle du rectangle

7 Et dans l’espace ?

8 Au lieu de suivre UN mouvement le long d’un axe, on en suit TROIS
Soient un repère de l’espace et une horloge zP Cote = xP – xM P 1 M xM yM zM O 1 yP Ordonnée = yP – yM Abscisse = xP – xM xP Au lieu de suivre UN mouvement le long d’un axe, on en suit TROIS Au lieu d’écrire UNE équation on en écrit TROIS

9 zP xM yM zM yP xP Soient un repère de l’espace et une horloge
Cote = xP – xM P 1 M xM yM zM O 1 yP Ordonnée = yP – yM Abscisse = xP – xM xP

10 (vx + vxo) t (vy + vyo) t (vz + vzo) t
Soient un repère de l’espace et une horloge Suivons un point circulant sur une droite à vitesse constante zP Temps Distance t xM – xMo 1 vx Temps Distance t yM – yMo 1 vy Temps Distance t zM – zMo 1 vz Cote = xP – xM P En abscisse En ordonnée En cote 1 M xM yM zM xM – xMo = vx t yM – yMo = vy t zM – zMo = vz t Chaque tableau nous donne une équation : O 1 vx – v xo = ax t Supposons que la vitesse augmente proportionnellement au temps yP vy – v yo = ay t Ordonnée = yP – yM vz – v zo = az t Abscisse = xP – xM xM – xMo = 1 2 (vx + vxo) t yM – yMo (vy + vyo) t zM – zMo (vz + vzo) t xP Alors nous pouvons démontrer trois lois de posoition au lieu d’une

11 (vx + vxo) t (vy + vyo) t (vz + vzo) t zP xM yM zM yP = 1 2 xP
Soient un repère de l’espace et une horloge zP Cote = xP – xM P 1 M xM yM zM xM – xMo = vx t yM – yMo = vy t zM – zMo = vz t O 1 vx – v xo = ax t vy – v yo = ay t vz – v zo = az t yP Ordonnée = yP – yM Abscisse = xP – xM xM – xMo = 1 2 (vx + vxo) t yM – yMo (vy + vyo) t zM – zMo (vz + vzo) t xP

12 Quand un corps trace la flèche vitesse
zP Soit un mouvement quelconque Cote = xP – xM P Imaginons qu’à cet instant la vitesse cesse brusquement de varier Une seconde plus tard, le corps est ici et suivons alors le corps pendant une seconde 1 M xM yM zM O 1 yP Ordonnée = yP – yM Avec t = 1 seconde Abscisse = xP – xM Une seconde xP xM – xMo = vx yM – yMo = vy zM – zMo = vz xM – xMo = vx t yM – yMo = vy t zM – zMo = vz t Rappelons les lois du mouvement à vitesse constante : ces formules montrent que le corps trace lui-même la flèche vitesse.

13 ces formules montrent que le corps trace lui-même la flèche vitesse.
Le calcul du carré de la longueur de cette flèche donne MMo2 = (xM – xMo)2 + (yM – yMo )2 + (yM – yMo )2 d’où la fomule du carré de la vitesse v 2 = vx2 + vy2 + vz2 xM – xMo = vx yM – yMo = vy zM – zMo = vz ces formules montrent que le corps trace lui-même la flèche vitesse.

14 Unité de la vitesse Partons d’une de nos équations
xM – xMo = v t (égalité des produits croisés) Remarque : on peut faire cette démonstration aussi bien en abscisse qu’en ordonnée ou en cote Et réécrivons-la avec les unités (xM – xMo ) m = v u t s Les unités se traitent en algèbre comme les nombres : Permutons les multiplications (xM – xMo ) m = v t u s Remplaçons v t par (x - xMo) : (xM – xMo ) m = (xM – xMo ) u s Simplifions m = u s Multiplions par s-1 m s-1 = u s s-1 Utilisons les propriétés des puissances m s-1 = u L’unité de la vitesse est le m s-1 ou m / s Remarque : ces écritures sont longues et pas toujours utiles ! On pourrait tout de suite substituer les valeurs de la formule de départ ... ... par les unités ... donc d’écrire seulement m s-1 = u. xM – xMo = v t puis m = u s , m s-1 = u s s-1 et

15 Unité de la vitesse Idée de départ :
vu la règle de multiplication des puissances xn x p = xn + p , vu la convenstion de la puissance zéro x0 = 1, 1 et vu la définition de l’inverse d’un nombre x = 1 x les mathématiciens anciens ont voulu définir les puissances opposées xn x – n = xn – n d’où xn x – n = x0 = 1 d’où, en divisant des deux côtés par x n 1 xn x – n = . Multiplions par s-1 m s-1 = u s s-1 Utilisons les propriétés des puissances m s-1 = u L’unité de la vitesse est le m s-1 ou m / s Quelles propriétés ? ... donc d’écrire seulement m s-1 = u. xM – xMo = v t puis m = u s , m s-1 = u s s-1 et