Physique MIAS2 Physique Ondulatoire I Oscillateurs Harmoniques simples

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1 Physique MIAS2 Physique Ondulatoire I Oscillateurs Harmoniques simples II Oscillateurs harmoniques couplés III Phénomènes de propagation IV Ondes sonores V Ondes lumineuses VI Interférences et Diffraction

2 I Oscillateurs Harmoniques simples
I.1 Généralité : Quelques exemples d’oscillateurs a l m Pendule simple oscillant dans un plan Petites oscillations : Masse glissante sans frottements x M K Circuit LC C L

3 Caractéristiques communes à tous ces systèmes
Ils obéissent tous à la même équation du type : C’est une équation d’oscillateur harmonique à un degré de liberté (équation différentielle du 2nd ordre à coeff. csts) Oscillations : compétition entre élasticité et inertie (oscillateur mécanique) Définitions Oscillateur libre : Oscillateur est placé hors équilibre et abandonné c-à-d à t > 0, on ne fournit pas d’énergie à l’oscillateur. Oscillateur à la fréquence propre Oscillateur forcé : On impose la fréquence d’oscillations à l’aide d’un système extérieure qui fournit d’énergie à l’oscillateur.

4 I.2 Oscillateurs libres non amorti (sans pertes)
K M x Hypothèses R Pas de frottements Masse du ressort négligeable Oscillations le long de Ox F x(t) x0 P I.2.1 Equation du mouvement Solution Bilan des forces

5  Mouvement harmonique (sinusoïdal)
0 = pulsation 0 = 2..f0  f0 = fréquence A = Amplitude des oscillations  = Phase à l’origine des temps I.2.2 Energie de l’oscillateur libre non amorti Echange entre deux forme d’énergie : Energie cinétique de la masse M Energie potentielle stockée dans le ressort Calcul de Ep Calcul de Ec Si on néglige les pertes Etotale = Ec +Ep = Constante Système conservatif

6 I.3 Oscillateurs libres amortis
I.2.1 Equation du mouvement Solution

7 I.4 Oscillateurs harmoniques à 1 degré liberté forcé
On va donc exciter le système par une force extérieure dans le cas d’un système mécanique. Pour le cas électrique on intercalera un générateur de tension ou de courant. I.4.1 Equation du mouvement Amortissement () Force extérieure K M x Solution mathématique = Solution générale + solution particulière Cette solution est la superposition du mouvement libre (déjà étudié) et d’un terme d’oscillation forcé. Pour avoir le régime forcé il faut donc attendre que le régime propre d’oscillations soit amorti.

8 Degré d’amortissement :

9 II Oscillateurs Harmoniques couplés
II.1 Un cas simple à 2 degrés de libertés y x M1 M2 K Oscillations longitudinales : si on l’écarte de sa position d’équilibre suivant x’x Oscillations transversales : si on l’écarte de sa position d’équilibre suivant y’y ou z’z

10 II.1.1 Oscillations longitudinales
y x x1 x2 a0 K M1 M2 En appliquant la RFD aux deux masses M1 et M2 : ou

11 Le système différentiel obtenu (2) est un système couplé car les variables x1 et x2 apparaissent dans les 2 équations. On peut obtenir des équations indépendantes, en posant le changement de variable : Donc le système (2) devient: Les solutions du système (3) sont :

12 Une autre solution aurait pu être :
Les constantes A1, B1, A2 et B2 (ou A1, 1, A2 et 2) sont déterminées à l’aide des conditions initiales. On abandonne généralement le système dans une position quelconque et sans vitesse.

13 Le mouvement des deux masses est uniquement décrit par la pulsation 1
Si par exemple on écarte de la même grandeur les masses M1 et M2 on obtient : Le mouvement des deux masses est uniquement décrit par la pulsation 1 Dans le cas opposé, on écarte les masses M1 et M2 de quantité opposées à t=0 . On excite dans ce cas uniquement la pulsation 2

14 Représentation graphique des 2 solutions :
Mode 1: Mode 2: Ces deux cas particuliers représentent une base permettant de décrire toutes les oscillations possibles du système. On les appelle les modes normaux. Les pulsations sont appelées pulsations propres. II.1.2 Oscillations transversales On suppose qu’il n’y aura pas de mouvement suivant l’axe x’x, donc des mouvements purement transversaux. Ceci peut être obtenue facilement en faisant un trou dans chaque masse et en mettant un axe pour empécher le déplacement horizontal.

15 y x y1 y2 a T0 M1 M2 Lorsque le système est à l’équilibre les ressorts ont tous la même tension : Comme précédemment nous allons écrire la RFD pour les deux masses. y1 y2 a l1 l2 T2 T1   

16 On peut facilement écrire T1 et T2 :
On obtient donc : Cette équation différentielle n’est pas linéaire. - termes en puissance de y1 et y2 - les coefficients ne sont pas constant (cos et cos). Pour revenir au cas linéaire nous allons faire l’approximation des petites oscillations, c’est-à-dire que l’angle  est petit ou encore que la longueur l du ressort lors du mouvement est très voisine de a. On obtiendrait de la même façon :

17 Le système final est : Les solutions sont 

18 Représentation graphique des 2 solutions :
Mode 1 : Mode 2 : En regardant de plus près le système on aurait pu trouver directement les deux modes normaux du système oscillant. Exercice : déterminer les modes normaux d’un système à 3 masses pour des mouvements purement transversaux ou longitudinaux.

19 II.1.3 Recherche générale des modes propres
y x x1 x2 a0 K M1 M2 Reprenons l’exemple des oscillations longitudinales (II.1.1). Pour chercher les modes propres, on substitue les solutions suivantes dans les équations du mouvement (2.a). On utilise généralement la notation complexe pour la simplicité. On obtient un système de Kramer qui admet deux solutions :  (représente la position d’équilibre et donc sans intérêt)  le déterminant du système est nul.

20 Il faut donc annuler le déterminant :
On a donc retrouvé les deux pulsations propres. Pour  = 1, le système se réduit à et les abscisses x1 et x2 sont d’amplitude égales et varient en phase. Pour  = 2, le système se réduit à et là elles sont de même amplitudes mais en opposition de phase.

21 II.1.3 Oscillations forcées
Dans les deux cas précédents (II.1.1 et II.1.2), nous avons étudié le régime d’oscillations libres. Aucune force extérieur n’est appliquée sur le système Ici nous allons donc nous intéresser aux oscillations forcées. Prenons l’exemple des oscillations longitudinales et supposons que l’on applique une force F(t)=F0cost x sur M1. Le système différentiel s’écrit alors : La solution de ce système est obtenue en superposant la solution de l’équation homogène et une solution particulière. L’équation homogène est l’équation ne faisant apparaître que des termes où les variables d’espaces sont présentes, donc la solution homogène a déjà été déterminée au paragraphe II.1.1. Il faut juste déterminer une solution particulière.

22 Généralement on prend comme fonction d’essai une fonction semblable à F(t) ou encore :
Donc on va choisir pour fonction d’essai : Pour simplifier les calculs, on va utiliser la notation complexe : La force excitatrice s’écrit :

23 Le système (5) devient : avec Finalement : Pour

24 Pour Les amplitudes deviennent infinies pour les pulsations propres Fréquences ou pulsations de résonance

25 II.2 Passage à la limite : Système continu
II.2.1 Mouvements longitudinaux : Cas de N oscillateurs non-amortis x xn-1 K Mn-1 Mn Mn+1 xn+1 xn Intéressons nous au mouvement de la masse Mn RFD

26 Supposons maintenant que les différentes masses sont soumises à de faibles oscillations, c’est-à-dire que le mouvement de chaque masse est petit. La distance entre les différentes masses est pratiquement constante et égale à celle au repos a0. On peut donc poser : L’équation différentielle devient a0 étant petit on peut utiliser un développement limité pour exprimer

27 Finalement : Cette équation est dite d’Alembert ou équation de propagation. On peut voir que le terme est homogène à une vitesse. En posant , on peut écrire l’équation de propagation unidimensionnelle de la grandeur u(x,t) à la vitesse c . Exercice : montrer que est homogène a une vitesse.

28 II.2.1 Mouvements transversaux : Cas d’une corde vibrante
Prenons comme exemple une corde faiblement extensible de longueur l et de masse linéique . Elle est tendue par une force appliquée à son extrémité droite. y y(x,t) équilibre F Pour déterminer l’équation du mouvement des différents points de la corde au voisinage de l’équilibre. On négligera le poids de la corde devant . On se limite à des petits mouvements transversaux.

29 Considérons un élément infinitésimal de la corde :
y x A B -T(x,t) T(x+dx,t) x+dx y(x+dx,t) y(x,t) (x,t) Le point d’abscisse x (A) subit l’action de la partie gauche  de la corde : Le point d’abscisse x+dx (B) subit l’action de la partie droite de la corde : RFD

30 Equation d’Alembert ou de propagation
En projetant sur les axes on a : (6.a) montre que T est indépendant de x : Donc la valeur de la tension est calculée en se plaçant à l’extrémité droite de la corde : On sait que Equation d’Alembert ou de propagation Excercice : Montrer que est homogène à une vitesse.