CINEMATIQUE DU POINT OBJECTIFS : -Décrire les principales grandeurs cinématiques (position,vitesse,accélération). - Définir la trajectoire dun point dun.

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1 CINEMATIQUE DU POINT OBJECTIFS : -Décrire les principales grandeurs cinématiques (position,vitesse,accélération). - Définir la trajectoire dun point dun solide ou le mouvement du solide. -Exprimer une loi qui permette dexprimer la position, la vitesse et laccélération dun solide en mouvement de translation rectiligne.

2 I- CARACTERISTIQUES DU POINT DUN SOLIDE : 1- Sa position : cest la distance s parcourue sur la trajectoire depuis lorigine s = f(t)

3 On appelle trajectoire du point (M) dun solide (S) lensemble des positions occupées successivement par ce point au cours de son déplacement par rapport à un référentiel donné. Notation : T M S/R = trajectoire du point M appartenant à S, par rapport au repère R. T M S/R 2- Sa trajectoire :

4 Mouvement de S/R Trajectoire T M S/R Translation rectiligneDroite (point, axe) Translation circulaireCercle (centre, rayon) Rotation à axe fixeCercle (centre, rayon) HélicoïdalHélice (pas) Plan sur planCourbe quelconque dans le plan Sa trajectoire en fonction du mouvement :

5 cest le rapport de la distance s parcourue par la variation de temps t correspondante V moyenne = s / t unités : [m/s] =[m]/[s] Exemple : un sprinter parcourt le 100 m en 10s. Sa vitesse moyenne est de … 3- Sa vitesse moyenne:

6 cest la dérivée de la position par rapport au temps. V = s (t) unités : [m/s] 4- Sa vitesse instantanée:

7 - laccélération tangentielle : cest la dérivée (variation) de la vitesse par rapport au temps a t =V (t) unités : [m/s 2 ] - laccélération normale : elle dépend du changement de direction du point M. a n =V 2 /r unités : [m/s 2 ] 5 - Son accélération : elle soppose à linertie

8 II- MOUVEMENT RECTILIGNE UNIFORME: MRU 2.1. Définition : CONDITIONS INITIALESCONDITIONS PARTICULIERES t 0 = 0 s : instant initial t : instant particulier du mouvement x 0 : le déplacement initial x : le déplacement à linstant t v = constante : la vitesse a = 0 m/s 2 : l accélération tangentielle - La trajectoire du point du solide est une droite (a n = 0) - Son accélération tangentielle est nulle (a t =0) donc sa vitesse est constante au cours du temps (v=constante). 2.2 Conditions aux limites du mouvement :

9 a = 0 v = constante x = v.t + x 0 Nota : Pour écrire ces équations, il suffit de remplacer v et x 0 par les valeurs trouvées. 2.3. Équations du mouvement ou horaires: 2.4. Graphes du mouvement: Graphe des abscisses Graphe des vitesses Graphe des accélérations

10 III- MOUVEMENT RECTILIGNE UNIFORMEMENT VARIE : MRUV 3.1. Définition : CONDITIONS INITIALESCONDITIONS PARTICULIERES t 0 = 0 s : instant initial t : instant particulier du mouvement x 0 : le déplacement initial x : le déplacement à linstant t v 0 : la vitesse initiale v : la vitesse à linstant t a = constante : l accélération tangentielle - La trajectoire du point du solide est une droite (a n = 0) - Son accélération tangentielle est constante (a t =constante). 3.2 Conditions aux limites du mouvement :

11 Nota : Pour écrire ces équations, il suffit de remplacer a, v et x 0 par les valeurs trouvées. 3.3. Équations du mouvement ou horaires: 3.4. Graphes du mouvement: a = constante v = a.t + v 0 x = ½.a.t 2 + v 0.t + x 0 Graphe des abscisses Graphe des vitesses Graphe des accélérations

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15 Départ arrêté, un dragster parcourt le 400m en 10 s Déterminer les équations du mouvement et sa vitesse finale Réponses : MRUV Conditions Initiales Conditions Finales t 0 =0st=10s X 0 =0mX=400m V 0 =0m/sV= a = x = ½.a.t 2 + v 0.t + x 0 400 = ½.a.10 2 + 0.t + 0 => a = 8 m/s 2 V = a.t + v 0 V = 8.10 + 0 => V = 80 m/s = 288 km/h 8 m/s 2 80 m/s Exercice 1:

16 Équations du mouvement : pour 0 <t < 10s Il sagit de donner les fonctions x(t), v(t) et a(t) en remplaçant x 0, v 0 et a par leur valeur) v = 8.tm/s a = 8m/s 2 x = 4.t 2 m Exercice 1: suite

17 Une Mercedes coupé sport passe de 0 à 100km/h en 10s Déterminer les équations du mouvement et la distance de la phase daccélération Réponses : MRUV avec v=(100/3,6)m/s à t=10s v = a.t + v 0 27,8 = a.10 + 0 => a = 2,78 m/s 2 CICF t 0 =0st=10s X 0 =0mX= V 0 =0m/sV=27,8m/s a = 2,78 m/s 2 x = ½.a.t 2 + v 0.t + x 0 x = ½.2,78.10 2 + 0.t + 0 => x = 139 m 139 m Exercice 2: Exercice 2:

18 x = 1,39.t 2 m v = 2,78.tm/s a = 2,78m/s 2 Équations du mouvement : pour 0 <t < 10s Il sagit de donner les fonctions x(t), v(t) et a(t) en remplaçant x 0, v 0 et a par leur valeur) Exercice 2: suite

19 Une Mercedes coupé sport roule sur 300m à 100km/h sur une voie rapide Déterminer les équations du mouvement et sa durée Réponses : MRU avec v=(100/3,6)m/s à x=300m Équations du mouvement : CICF t 0 =0st= X 0 =0mX=300m V 0 =27,8m/sV=27,8m/s a = 0m/s 2 x = v.t + x 0 300=27,8.t+0 => t = 10,8 s 10,8 s Exercice 3: pour 0 <t < 10,8s x = 27,8.t m v = 27,8 m/s a = 0 m/s 2

20 Une Mercedes coupé sport roule à 100km/h puis sarrête sur 100 m Déterminer les équations du mouvement et sa durée Réponses : MRUV avec v 0 =(100/3,6)= 27,8 m/s et x=100m CICF t 0 =0st= X 0 =0mX=100m V 0 =27,8m/sV= 0 m/s a = v = a.t + v 0 0 = a.t + 27,8 (1) x=½.a.t 2 +v 0.t+x 0 100 =½.a.t 2 + 27,8.t + 0 (2) Exercice 4:

21 v = -3,86.t + 27, 8m/s a = -3,86 m/s 2 Équations du mouvement : pour 0 <t < 7,2s Résolution : (1) =>a.t = - 27,8 Ds (2) =>100=½.(-27,8 ).t + (27,8).t t = 200 / 27,8 = 7,2 s Ds (1) =>a = - 27,8 / 7,2 = -3,86 m/s 2 x = -1,93.t 2 + 27, 8.tm ( Valeurs à indiquer dans le tableau des conditions limites du mouvement ) Exercice 4: suite

22 a = (v 2 – v 0 2 ) / [2(x-x 0 )] Afin de déterminer laccélération sans connaître la durée du mouvement, on utilisera la formule : Application à lexercice précédent : a = [0 2 – (27,8) 2 ] / [2(100 - 0)] a = - 27,8 2 / 200 a = - 3,86m/s 2 formule utile v = a. t + v 0 0 = -3,86. t + 27,8 t = -27,8 / -3,86 = 7,2 s

23 Tracer les graphes associés aux trois phases de mouvement de la Mercedes Graphe des abscisses Graphe des vitesses Graphe des accélérations Exercice 5:

24 Le chariot dune machine de découpage laser atteint la vitesse de 10 cm/s en 2 secondes. Le chariot évolue à vitesse constante pendant 8 secondes. Il sarrête ensuite en lespace de 12,5 cm. Hypothèse : les accélérations et décélérations sont supposées constantes. 1/ Déterminer la durée totale de lopération de découpage ainsi que la distance parcourue. 2/ Tracer les graphes du mouvement du chariot. Pour cela, évaluer, pour les trois phases de mouvement, les conditions aux limites ainsi que les équations horaires. Exercice 6: (travail en autonomie)

25 - Phase 1 : MRUV CICF t 0 =0st=2s X 0 =0mX= V 0 =0m/sV=0,10m/s a = V = a.t + V 0 =>0.10 = a. 2 + 0 =>a = 0,05 m/s 2 v = 0,05.t m/s a = 0,05 m/s 2 Équations du mouvement de la phase 1 : 0 <t < 2s Distance parcourue phase 1 : x =½.a.t 2 +v 0.t+x 0 =>x = ½. 0,05. 2 2 => x = 0,10 m 0,05m/s 2 x = 0,025.t 2 m 0,10 m Corrigé Exercice 6:

26 Phase 2 : MRU CICF t 0 =0st=8s X 0 =0mX= V=V 0 =0,10m/s a = 0 m/s 2 X = V t + X 0 =>X = 0,10. 8 + 0 =>X = 0,8 m v = 0,10 m/s a = 0 m/s 2 Équations du mouvement de la phase 2 : 0 <t < 8s x = 0,10.t m 0,8 m Corrigé Exercice 6:

27 Phase 3 : MRUV a=(v 2 – v 0 2 ) / [2(x-x 0 )] => a = -0,10 2 / [2. 0,125] => a = - 0,04 m/s 2 v = -0,04t+ 0,10m/s a = -0,04 m/s 2 Équations du mouvement de la phase 3 : 0 <t < 2,5s CICF t 0 =0st= X 0 =0mX=0,125m V 0 =0,10m/sV=0m/s a = Durée de larrêt : V = a t + V 0 0 = -0,04. t + 0,10 => t = 2,5 s - 0,04 m/s 2 x = -0,02.t 2 + 0,10tm 2,5 s Corrigé Exercice 6:

28 - Durée totale de lopération : t = 2 + 8 + 2,5 = 12,5 s - Distance totale parcourue : x = 0,10 + 0,8 + 0,125 = 1,025 m Corrigé Exercice 6:

29 Graphe des abscisses Graphe des vitesses Graphe des accélérations Corrigé Exercice 6:

30 Un canon tire un obus verticalement. On supposera que lobus nest soumis quà laccélération de la pesanteur (g=9,81 m/s 2 ). Conditions initiales du mouvement : v 0 = 400m/s, y 0 = 0. 1) Quelle altitude atteint lobus ? 2) Au bout de combien de temps touchera-t-il le sol ? 3) A quelle vitesse initiale aurait-il fallu tirer pour atteindre une altitude de 50 km ? Exercice 7: (travail en autonomie)

31 1 - MRUV CICF t 0 =0st= Y 0 =0mY= V 0 =400m/sV=0m/s a = -9.81 m/s 2 1/ calcul de laltitude atteinte : a = (v 2 – v 0 2 ) / [2(y-y 0 )] -9,81 = (0 2 – 400 2 ) / [2(Y – 0)] Y = -400 2 / 2. (-9,81) => Y = 8 155 m durée mouvement ascensionnel : V = a. t + V 0 => 0 = -9,81.t + 400 => t = 40,77 s 8 155 m 40,77 s Corrigé Exercice 7:

32 2 / durée jusquau contact avec le sol : t = 2 x 40,77 (aller retour) t = 81,54 s 3 / vitesse initiale pour atteindre 50 km : a = (v 2 – v 0 2 ) / [2. (y-y 0 )] -9,81 = (0 2 – V 0 2 ) / [2. (50 000 - 0)] -V 0 2 = -9,81 x 100 000 V 0 = 990 m/s = 3564 km/h Corrigé Exercice 7: (suite)

33 18 m 27 m 81 m La position dun solide animé dun mouvement de translation rectiligne est définie en mètres, en fonction du temps en secondes, par la relation x = 3.t 2. A quelle position se trouvera-t-il après 3 secondes du départ ? Exercice QCM 8:

34 uniforme uniformément accéléré uniformément décéléré La position dun solide est définie par la relation : x = 20 + 2.t Son mouvement est donc : Exercice QCM 9:

35 3 m/s 2 6 m/s 2 9 m/s 2 Un véhicule roule à 20 km/h. Il accélère et après 6 secondes atteint la vitesse de 84,8 km/h. Calculer alors son accélération. Exercice QCM 10:

36 x = 72.t – 2 t 2 x = 20.t – 2 t 2 x = 14,4.t – 5 t 2 Un véhicule roule à 72 km/h et sarrête en 5 secondes. Quelle équation définie sa position en fonction du temps ? Exercice QCM 11:

37 20 m/s 2 4 km/h 72 km/h La vitesse dun solide est définie en fonction du temps par léquation v = 20 – 4.t Quelle est la vitesse du solide au début du mouvement ? Exercice QCM 12:

38 80 s 16 s 5 s La vitesse dun solide est définie en fonction du temps par léquation v = 20 – 4.t Quel est le temps mis pour obtenir larrêt du solide ? Exercice QCM 13:

39 x = 20.t – 2 t 2 x = – 2 t 2 x = – 4 t La vitesse dun solide est définie en fonction du temps par léquation v = 20 – 4.t Quelle est léquation définissant la position du solide ? On commence à mesurer la longueur parcourue au début du mouvement : x 0 = 0 m Exercice QCM 14:

40 1 m/s 2 2 m/s 2 4 m/s 2 On donne, ci-dessous, le graphe des vitesses dun solide animé dun mouvement de translation. Quelle est la valeur de son accélération ? V (m/s) t (s) 2 926 Exercice QCM 15:

41 2 s 3 s 4 s On donne, ci-dessous, le graphe des vitesses dun solide animé dun mouvement de translation. Combien de temps dure le mouvement uniforme ? V (m/s) t (s) 2 926 Exercice QCM 16:

42 v = 2 – (2/3).t v = 9 + (2/3).t v = -3.t On donne, ci-dessous, le graphe des vitesses dun solide animé dun mouvement de translation. Quelle est léquation de la vitesse dans la 3 ème phase ? V (m/s) t (s) 2 926 Exercice QCM 17:

43 Quelle est la vitesse mini du véhicule afin déviter le contact entre la voiture et le peintre cascadeur 4,29 m 4 m 1,32 m Pour cela, écrire les équations horaires de la voiture et celles du cascadeur. Exercice 18: cascade de film

44 18 m 27 m 81 m La position dun solide animé dun mouvement de translation rectiligne est définie en mètres, en fonction du temps en secondes, par la relation x = 3.t 2. A quelle position se trouvera-t-il après 3 secondes du départ ? x = 3. t 2 = 3. 3 2 = 27m Corrigé Exercice QCM 8:

45 uniforme uniformément accéléré uniformément décéléré La position dun solide est définie par la relation : x = 20 + 2. t Corrigé Exercice QCM 9: soitx = x 0 + v 0.t + ½. a. t 2 doncx 0 = 20m ; v 0 = 2m/s ; a = 0m/s 2 Son mouvement est donc :

46 3 m/s 2 6 m/s 2 9 m/s 2 Un véhicule roule à 20 km/h. Il accélère et après 6 secondes atteint la vitesse de 84,8 km/h. Calculer alors son accélération. Corrigé Exercice QCM 10: Données : V 0 = 20km/h ; V = 84,8 km/h et t = 6s. Calcul de son accélération : v = a t + v 0 => a =(v – v 0 ) / t =>a =(64,8/3,6) / 6 = 3m/s 2 CICF t 0 =0st=6s X0=X0=X= V 0 =5.5m/sV=23.5m/s a = 3m/s 2

47 x = 72.t – 2 t 2 x = 20.t – 2 t 2 x = 14,4.t – 5 t 2 Un véhicule roule à 72 km/h et sarrête en 5 secondes. Quelle équation définie sa position en fonction du temps ? Corrigé Exercice QCM 11: Données :V 0 =72km/h=20m/s ;V = 0 km/h et t = 5s. Calcul de son accélération : v = a t + v 0 => a =(v – v 0 ) / t =>a =(-20) / 5 = -4m/s 2 Équation : x = x 0 + v 0.t + ½.a.t 2 = 0 + 20.t + ½.(-4).t 2 CICF t 0 =0st=5s X 0 =0mX= V 0 =20m/sV=0m/s a = -4m/s 2

48 20 m/s 2 4 km/h 72 km/h La vitesse dun solide est définie en fonction du temps par léquation v = 20 – 4.t Quelle est la vitesse du solide au début du mouvement ? Corrigé Exercice QCM 12: CICF t 0 =0st= X0=X0=X= V 0 =20m/sV= a = -4 m/s 2 soitv = v 0 + a.t doncv 0 = 20m/s = 72km/h ; a = -4m/s 2

49 80 s 16 s 5 s La vitesse dun solide est définie en fonction du temps par léquation v = 20 – 4.t Quel est le temps mis pour obtenir larrêt du solide ? Corrigé Exercice QCM 13: CICF t 0 =0s t= 5 s X0=X0=X= V 0 =20m/sV=0m/s a = -4 m/s 2 Soit larrêt effectif lorsque v = 0 donc0 = 20 – 4 t =>t = 5s

50 x = 20.t – 2 t 2 x = – 2 t 2 x = – 4 t La vitesse dun solide est définie en fonction du temps par léquation v = 20 – 4.t Quelle est léquation définissant la position du solide ? On commence à mesurer la longueur parcourue au début du mouvement : x 0 = 0 m Corrigé Exercice QCM 14: CICF t 0 =0st= X 0 =0mX= V 0 =20m/sV= a = -4 m/s 2 soit v = v 0 + a.t donc v 0 = 20m/s ; a = -4m/s 2 Équation : x = x 0 + v 0.t + ½.a.t 2 = 0 + 20.t + ½.(-4).t 2

51 1 m/s 2 2 m/s 2 4 m/s 2 On donne, ci-dessous, le graphe des vitesses dun solide animé dun mouvement de translation. Quelle est la valeur de son accélération ? V (m/s) t (s) 2 926 Corrigé Exercice QCM 15: v = a. t + v 0 a =(v – v 0 ) / t = 2 / 2 = 1 m/s 2 CICF t 0 =0st=2s X 0 =0mX= V 0 =0m/sV=2m/s a = 1 m/s 2

52 2 s 3 s 4 s On donne, ci-dessous, le graphe des vitesses dun solide animé dun mouvement de translation. Combien de temps dure le mouvement uniforme ? V (m/s) t (s) 2 926 Corrigé Exercice QCM 16: CICF t 0 =0st=4s X 0 =0mX= V 0 =2m/s a = 0 m/s 2

53 v = 2 – (2/3).t v = 9 + (2/3).t v = -3.t On donne, ci-dessous, le graphe des vitesses dun solide animé dun mouvement de translation. Quelle est léquation de la vitesse dans la 3 ème phase ? V (m/s) t (s) 2 926 Corrigé Exercice QCM 17: v-v 0 = -2m/s t F -t i = 3s a =(v – v 0 ) / t = -2/3 m/s 2 CICF t 0 =0st=3s X 0 =0mX= V 0 =2m/sV=0m/s a = -2/3 m/s 2

54 Équations horaires du peintre : MRUV Corrigé Exercice 18: cascade de film CICF t 0 =0st= Y 0 =0mY=2,68m V 0 =0m/sV= a = 9,81 m/s 2 4,29 m 4 m 1,32 m Calcul du temps pour chuter de 2,68m y = 4,905.t 2 => 2,68=4,905.t 2 => t = 0,74s 0,74s y = ½. a.t 2 +v 0.t+y 0 => y = 4,905.t 2 v = a.t+v 0 => v = 9,81.t a = constante=> a = 9,81 m/s 2

55 Équations horaires de la voiture : MRU Corrigé Exercice 18: cascade de film CICF t 0 =0st= x 0 =0mx=4,29m V 0 =V = a = 0 m/s 2 4,29 m 4 m 1,32 m Calcul de la vitesse nécessaire pour passer de 4,29m en 0,74s : 0,74s x = ½. a.t 2 +v 0.t+x 0 => x = v.t v = constante=> v = ? a = 0=> a = 0 m/s 2 x = v.t => 4,29 = v.0,74 => v = 5,8m/s = 20,87km/h

56 TD dapprofondissement Exercice n°1 : On donne le graphe des vitesses suivant. V t (s) 20 15 5 Déterminer les équations horaires pour chaque phase (m/s) 0 25