Le document Eduscol « Le nombre au cycle 2 »

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1 Le document Eduscol « Le nombre au cycle 2 »
Document éduscol « Le nombre au cycle 2 » Le document Eduscol « Le nombre au cycle 2 » Animation du 25/01/2012 diaporama de présentation du document « Le nombre …. » Lire verso doct Ce doct est le fruIt d’un gpe de travail compose de IEn, CP, Prof Uni, CPC; Maîtres de conf, PE Soutenu par le CRDP D’Orléans-Tours. ( CNDP AOÛT 2010) 1 1

2 Document éduscol « Le nombre au cycle 2 »
Sommaire du document Une introduction et 5 parties - Introduction : 50 ans de maths 1– Dialectique entre sens et techniques (12 pages)‏ 2– Apprendre le nombre (27 pages)‏ 3 – Problèmes additifs, soustractifs et multiplicatifs (23 pages)‏ 4 – Grandeurs et mesures (10 pages)‏ 5 – Aider les élèves en mathématiques (10 pages)‏ L’introduction met l’accent sur l’ Historique de l’enseignement des maths depuis 50 ans en primaire. Michel Fayol (Prof Uni) A la fin des années 50, et début 60 : le calcul et l’arithmétique enseignés du CP à la classe de fin d’études reposaient sur la parfaite maîtrise des 4 opérations. (qqfois pbs sophistiqués nécessitaient le recours à la règle de 3 ou aux proportions) . Puis vinrent les math modernes, réforme d’ampleur, s’est inspirée des recherches de psychologues (Pr Piaget) et mathématiciens (Pr Lichnerowicz). : Le postulat sur lequel reposait la réforme était que sont mis en place des S mais aussi SF . Comme les savoirs constituaient les bases de l’ensemble de l’édifice mathématique, il convenait d’entreprendre / aussi précocement que possible/ leur appropriation par les élèves, en recourant à des situations sollicitant autant que possible l’activité des élèves, pour construire leurs connaissances (d’où l’appellation de constructivisme) et non simplement à les apprendre ( au sens où ce terme traduirait une attitude passive). Au cours des 30 dernières années : les spécialistes ont constaté un certain nombre de lacunes dans les performances des élèves /et ont reconnus l’importance de la mémoire et des automatismes dans l’acquisition des savoirs et SF arithmétiques. 2 2

3 Introduction, extraits.
Jean-Louis Durpaire / Marie Mégard Document éduscol « Le nombre au cycle 2 » La liberté pédagogique induit une responsabilité. Insister sur les problèmes, un apprentissage progressif qui seul permet de construire et d’ancrer le sens des opérations. (sens de l’activité dans un contexte) La construction des « automatismes », comme des raisonnements construits avec intelligence et progressivement intériorisés. Juste 3 points essentiels dans l’intro Une RESPONSABILITE de l’enseignant : c’est d’avoir une capacité de réflexion sur ses pratiques et leurs effets, et d’avoir l’obligation de s’assurer (et de rendre compte )régulièrement des acquis des élèves. 2ème point : concerne. l’importance des PROBLEMES dans l’apprentissage des opérations d’où l’importance de varier les pbs sur une même notion pour que tout élève s’y retrouve. Importance de proposer différents pbs pour que les élèves utilisent diff procédures.: pbs standards, catégories de pbs, problèmes simples / complexes. (travailler sur l’énonce MDL – y ajouter des infos inutiles….. 3. AUTOMATISMES: disponibles en mémoire immédiate, ils donnent les moyens d’une réflexion poussée et réfléchie (même chez les adultes) dans le domaine numérique: IL FAUT UNE mémorisation parfaite des tables d’addition et de multiplication + pratique quotidienne du calcul mental ce qui permet d’acquérir une grande habileté dans la résolution de pbs Les enseignants doivent s’appuyer sur des progressions pensées avec des objectifs bien identifiés 3 3

4 Recherche. Origines des difficultés des élèves :
Document éduscol « Le nombre au cycle 2 » Recherche. Michel Fayol Origines des difficultés des élèves : Nom des nombres et transcodage dix-sept = 17 Numération de position et usage du zéro 20010  210 Mémorisation insuffisante des tables Compréhension des énoncés verbaux. De nombreux élèves éprouvent des difficultés à apprendre les noms des nombres (pas de REPRESENTATIONS MENTALES DES NOMBRES et donc pas de LIEN entre « image mentale » et la « représentation concrète » de la quantité 17. et dans le transcodage DIX- SEPT = 17 (passage de l’oral aux chiffres arabes) ( ) -difficulté dans l’alignement des chiffres et dans la bonne position dans les nombres complexes: ex pour 210 -difficulté à mémoriser les tables (d’où difficulté dans les résolutions de pbs) -difficulté à comprendre les énoncés de pbs (MDL) (mais sont en mesure de résoudre ces pbs lorsque les données leur sont présentées de manière non verbale) (sous forme de dessins, tableaux, graphiques, objets à manipuler, d’où l’intérêt d’utiliser des jeux mathématiques pour les élèves en difficulté) 4 4

5 Le passage au symbolique Ils ont le même nombre d’objets.
Recherche. Le passage au symbolique Lien sur le site Le symbolique, c’est la représentation de l’abstrait (4 poules) par du concret (représenté par différents symboliques) Construction du concept de nombre » 1/ Qu’est ce qu’un nombre La notion de nbre entier n’est pas facile à définir. (bulles) Le concept de base est le concept de nombre entier. Ce concept a été introduit comme outil pour résoudre les problèmes. Le nombre entier permet d’indiquer une quantité (aspect cardinal du nombre) . Ce sont 3 ensembles différents par leur contenu mais identique par la quantité (poule maison voitures) Le nombre entier a aussi un aspect ordinal (lundi est le 1er..) / Ces ensembles que l’on peut mettre en correspondance terme à terme ont quelque chose d’abstrait en commun : Ils ont le même nombre d’objets. 5 5

6 Recherche. Une première difficulté : le passage au symbolique
Document éduscol « Le nombre au cycle 2 » Recherche. Une première difficulté : le passage au symbolique La mise en correspondance des quantités avec des systèmes de symboles, qu’il s’agisse de la suite orale des noms de nombres, des configurations de doigts, des abaques ou des chiffres arabes pose problème à tous les enfants. Les activités de dénombrement sont primordiales 4 représenté par 4 maisons ou 4 poules ou 4 voitures. Suite orale : dix-huit (18)/Sept, huit, neuf Configurations de doigts : Les abaques /nom donné à tout instrument mécanique ( plan) facilitant le calcul Activités de dénombrement :combien il voit de poules, de maisons. Combien il y en a ? (Vol d’oiseaux : difficile à dénombrer) (dénombrement) 6 6

7 Recherche. Une deuxième difficulté
Document éduscol « Le nombre au cycle 2 » Recherche. Une deuxième difficulté - Le passage des transformations aux opérations. La capacité de compréhension des élèves est surestimée : Paul a 3 billes et je lui en donne 4  = 7 « le fait de transcrire = 7 n’assure en rien que l’addition est acquise. » Page 10 Le fait que les enfants perçoivent et comprennent très précocement et facilement les effets des transformations affectant la quantité (il voit la transformation de 3 tasses à 10 tasses, voit qu’il y en a plus sans comprendre qu’on en a ajouter 7) (3 cubes : l’adulte en retire 1, le bébé voit qu’il en reste 2 sans comprendre le mécanisme de soustraction) laisse souvent penser à tort qu’il maîtrise ou au moins comprenne les opérations. Le passage des transformations (il voit ce qui s’est passé) aux opérations (ne voit pas l’opération)‏ L’écrire au tableau ne suffit pas pour que l’élève comprenne (manipulation) Paul a 3 billes et je lui en donne 4 3 + 4 = 7 (Dans l’état actuel des connaissances) il est vraisemblable que la compréhension des opérations requiert (exige) de nombreuses rencontres avec des situations diverses mobilisant chacune des opérations. D’où l’importance de varier les situations. ( si évaluations diagnostiques insuffisantes) 7 7

8 Document éduscol « Le nombre au cycle 2 »
De tels énoncés sont souvent mal compris. Jean avait des billes. Il en a perdu 18 à la récréation. Il lui en reste 27. Combien en avait-il avant de commencer à jouer ? L’accès aux opérations permettant d’utiliser l’addition pour traiter un retrait est lent. Multiplier les situations avec des exples différents. = 45 billes d’origine Concept d’acquisition lente qui demande de nombreuses rencontres avec des situations diverses. (attente du déclic) 8 8

9 Jean-Luc Brégeon La soustraction Paradoxalement, la difficulté principale de la véritable compréhension du sens de la soustraction provient du fait que son sens premier est naturel, accessible très tôt et très prégnant : quand on enlève, on soustrait. La prégnance de ce premier sens rend plus difficile l’acceptation que la soustraction recouvre d’autres sens qui vont être indispensables pour maîtriser cette opération à la fin du cycle 2 puis au cycle 3. « Naturel » : dès lors qu’il peut se représenter mentalement le chiffre ok mais besoin d’avoir recours à l’opération pour des nombres plus grands (32 – 12) . La soustraction n’est pas possible sans l’opération. Prégnant (imprégner) 9

10 La soustraction A. ACCÉDER AUX DIFFÉRENTS SENS DE LA SOUSTRACTION
Jean-Luc Brégeon La soustraction A.  ACCÉDER AUX DIFFÉRENTS SENS DE LA SOUSTRACTION 1. Le sens « enlever ». 2. Le sens « pour aller à ». 3. Le sens écart. B. OPÉRER LE LIEN ENTRE LES TROIS SENS C. CALCULER AVEC LA SOUSTRACTION 1. Le problème de l’écriture soustractive. 2. Le calcul réfléchi. 3. Une approche de la technique opératoire de la soustraction. 4. Une démarche dans la résolution des problèmes de soustraction. 1. Une lecture mathématique de l’énoncé 2. Une traduction numérique des relations mises en évidence 3. Une mise en œuvre du calcul. 4. Un retour à la situation initiale.  A. ACCEDER AUX SENS 1. Le sens « enlever ».            2. Le sens « pour aller à ».         . 3. Le sens écart.                                                 B. OPERER LE LIEN ENTRE LES DEUX SENS             C. CALCULER AVEC LA SOUSTRACTION              La possibilité d’effectuer correctement des calculs soustractifs, en calcul mental et réfléchi, passe par le recours à ces différents sens selon la situation présentée et la qualité des nombres en présence.  C’est cette capacité d’utiliser différents points d’entrée qui sera la preuve de la performance des élèves.  1. Le problème de l’écriture soustractive.          2. Le calcul réfléchi.  3. Une approche de la technique opératoire de la soustraction.         4. Une démarche dans la résolution des problèmes de soustraction. 10

11 Le sens « enlever » Céline a 28 images. Elle donne 3 images à sa sœur.
Jean-Luc Brégeon Le sens « enlever » Céline a 28 images. Elle donne 3 images à sa sœur. Combien lui en reste-t-il ? La situation matérielle induit la réflexion, le raisonnement : jeu de 7 familles, jeux de cartes (partition: les rois, les dames…), groupements par 7, … P 11 Connaissances et procédures pour réussir les traitements de base (opérations): mobilisation d’un minima d’attention et de mémoire, pour plus de disponibilité pour les tâches plus complexes Il faut arriver à une automatisation chez les élèves afin de pouvoir réserver leur capacité de calcul à effectuer des tâches complexes. (exple : 9 et 8 = 17). Afin de réserver l’attention aux activités qui ne peuvent être automatisées (compréhension des énoncés, raisonnement, etc ;..) et par la mémorisation de connaissances telles que les tables (il faut connaître les tables !) La pratique des situations de résolution si elle est fréquente et progressive induit une mémorisation partielle de ces tables. (Parallèle en MDL, lorsque les pbs de déchiffrage et de compréhension ont été évacués (lecture magistrale par ex) on peut être disponible pour les tâches de conjugaison, de grammaire) Le par cœur n’est pas pertinent pour tous les élèves, mais pour un grand nombre. Brégeon: Prof de maths de l’université d’Auvergne 1. Le sens « enlever ».            Comme nous l’avons vu, ce sens est rapidement compris des élèves, et permet d’introduire facilement de signe -. On le trouve, par exemple, dans un problème du type : Céline a 28 images. Elle donne 3 images à sa soeur. Combien lui en reste-t-il ?            En effet, pour obtenir le résultat, l’élève peut dessiner des images et en barrer 3 ou bien, s’il effectue un réel calcul, décompter (27, 26, 25). Il y est d’autant plus invité qu’on trouve dans l’énoncé la présence du mot inducteur « donne ». Du point de vue du calcul, ce sens est particulièrement adapté lorsqu’on enlève peu (par exemple 28 – 3 ; on enlève 3 en décomptant unité par unité) ou bien lorsqu’on enlève des multiples de 10, de 100 ; etc., c’est-à-dire lorsqu’on enlève un nombre entier de dizaines, de centaines, etc. Mais il faut avoir conscience qu’il ne recouvre pas toutes les situations soustractives et c’est ce que les élèves ont du mal à admettre. 11

12 Jean-Luc Brégeon Le sens « pour aller à » Stéphanie avait 42 images. Sa maman lui donne des images. Stéphanie a maintenant 60 images. Combien d’images lui a donné sa maman ? 2. Le sens « pour aller à ».             Observons ce qu’un élève a fait pour résoudre le problème suivant : Stéphanie avait 42 images. Sa maman lui donne des images. Stéphanie a maintenant 60 images. Combien d’images lui a donné sa maman ?            La perception de l’élève est manifestement de compléter 42 pour obtenir 60, c’est-à-dire d’aller de 42 à 60.            Le sens « pour aller à » est bien adapté à la compréhension des problèmes arithmétiques nécessitant de chercher ce qu’on a ajouté ou de chercher une partie connaissant le tout et l’autre partie.            Du point de vue du calcul, ce sens facilite la recherche du résultat d’une soustraction dans le cas où on enlève beaucoup (par exemple, pour calculer 41 – 38, il est plus simple de procéder par surcomptage : 39, 40, 41 ; 41 – 38 = 3)                                                              12

13 Le sens « pour aller à » de 12 pour aller à 20 8 Jean-Luc Brégeon 13
La représentation de la droite numérique est une visualisation intéressante de ce sens :             Il en résulte la possibilité de réaliser des calculs en faisant des « bonds » sur la droite numérique : de 12 à 20               8                                                            de 20 à 25             5                       = 13      de 12 à 25            13              En particulier, le passage par la dizaine supérieure est ainsi mieux explicité.              Une manière de traduire le complément est « l’addition à trou ». L’utilisation d’une telle écriture est délicate pour certains enfants, dans la mesure où elle rompt avec la représentation traditionnelle d’une opération (on opère sur deux nombres et on obtient un résultat) et avec la disposition opératoire : le résultat se trouve à droite (pour l’opération en ligne) ou en dessous (pour l’opération posée). Aussi,  on peut faire précéder l’addition à trou d’une autre disposition plus conforme à la représentation habituelle. C’est celle qui a déjà été décrite plus haut : de 12 à 20           8 13

14 Jean-Luc Brégeon Le sens « écart » Antoine a 13 images et Lucas a 28 images. Qui a le plus d’images ? Combien en a-t-il en plus ? Il ne faut pas réduire le sens « écart » au sens « pour aller à ».  La caractéristique particulière de ce sens « écart », par rapport aux précédents, est sa commutativité : l’écart entre A et B est aussi l’écart entre B et A 3. Le sens écart.            L’écart entre deux nombres A et B (on suppose A inférieur à B) est le nombre qu’il faut ajouter à A  pour obtenir B ainsi que le nombre qu’il faut enlever à B pour obtenir A.            Ce sens est présent dans les problèmes de comparaison : Antoine a 13 images et Lucas a 28 images. Qui a le plus d’images ? Combien en a- t-il en plus ?            Il faut bien prendre conscience que rien, dans cet énoncé n’invite à la soustraction 28 – 13 et que fournir une telle écriture manifeste déjà une réelle expertise. Pour y accéder, il faut d’abord transformer le problème en une situation d’égalisation : combien faut-il donner d’images à Antoine pour qu’il en ait autant que Lucas ?, ce qui conduit à un glissement vers le sens « pour aller à ».            Du point de vue du calcul, on observe que les deux sens « pour aller à » et écart sont assez proches, dans la mesure où le calcul de l’écart entre A et B (A<B) conduit généralement à aller de A à B. Cependant, le déplacement sur la droite numérique dans le sens « négatif » (de B vers A) est envisageable.            Une propriété importante, mais d’une compréhension délicate, est que l’écart entre deux nombres ne varie pas si on ajoute ou on enlève la même quantité à ces deux nombres. Ainsi, l’écart entre 52 et 87 est égal à l’écart entre 50 et 85, ce qui est plus simple à calculer.            En conclusion, il ne faudrait pas réduire le sens écart au sens « pour aller à ».  La caractéristique particulière de ce sens écart, par rapport aux précédents, est sa commutativité : l’écart entre A et B est aussi l’écart entre B et A.  14

15 Jean-Luc Brégeon Opérer les liens Rendre conscients ces sens différents et savoir quel lien les relie : s’obliger à proposer différents types de problèmes… Le sens écart a des rapports étroits avec le sens « pour aller à » : la liaison s’opère aisément. Par contre, le lien qui existe entre « A moins B » et «  de  A pour aller à B » est un objet de savoir qui doit avoir été découvert et expérimenté par les élèves puis utilisé dans les différents contextes de calcul. Importance des affichages de typologies construites collectivement et les illustrant Constat CPC Davantage d’affichages de techniques opératoires et calcul que sur le sens des situations problèmes, donc l’élève sait et maîtrise des techniques mais ne sa pas identifier quel choix faire (page 13) à développer en étroite relation; B. OPERER LE LIEN ENTRE LES DEUX SENS           Une bonne maîtrise du sens de la soustraction et la capacité à effectuer des calculs dans des situations diverses nécessitent non seulement la confrontation avec les différents sens présentés en A mais aussi la possibilité de les relier entre eux et de passer facilement de l’un à l’autre.           Nous avons vu que le sens écart a des rapports étroits avec le sens « pour aller à » de telle sorte que la liaison s’opère aisément.  Par contre, rien ne permet de voir spontanément le lien qui existe entre « A moins B » (envisagé comme étant la quantité A à laquelle on a enlevé la quantité B) et «  de  A pour aller à B » (complément de A à B). Ce fait est un objet de savoir qui doit avoir été découvert et expérimenté par les élèves puis utilisé dans les différents contextes de calcul. 15

16 Calculer avec la soustraction
Jean-Luc Brégeon Calculer avec la soustraction L’écriture soustractive Stéphanie avait 122 images. Sa maman lui donne des images. Maintenant, Stéphanie a 167 images. Combien d’images lui a donné sa maman ? C. CALCULER AVEC LA SOUSTRACTION              La possibilité d’effectuer correctement des calculs soustractifs, en calcul mental et réfléchi, passe par le recours à ces différents sens selon la situation présentée et la qualité des nombres en présence.  C’est cette capacité d’utiliser différents points d’entrée qui sera la preuve de la performance des élèves.  1. Le problème de l’écriture soustractive.            Pour un adulte averti, l’écriture A-B (167 – 122) va de soi : elle indique un nombre qui est le résultat de la soustraction de B à A (de 122 à 167). Il en résulte immédiatement que B – A ( ) n’est pas égal à A – B (167 – 122) , autrement dit que la soustraction n’est pas commutative. Cette évidence est mise à mal (n’est plus évidente du tout) lorsqu’un élève écrit, pour résoudre le problème suivant : Stéphanie avait 122 images. Sa maman lui donne des images. Maintenant, Stéphanie a 167 images.            C’est oublier trop vite que l’addition, opération concurrente de la soustraction, est commutative et généralement plus familière aux élèves. Il ne faut pas oublier non plus que l’un des sens de la soustraction, le sens écart, relève de la commutativité : l’écart entre A et B est égal à l’écart entre B et A. (écart identique) (réussite car pas de retenue / EXPLE : 119 – 167)             Encore une fois, c’est à travers une confrontation de situations diverses que l’élève comprendra mieux le caractère non commutatif de l’écriture A – 16

17 Calculer avec la soustraction
Jean-Luc Brégeon Calculer avec la soustraction Le calcul réfléchi 37 – 4 = 37 – 33 = Calcul mental: champ particulièrement riche : effets du calcul mental sur les performances des élèves en résolution de pbs 2. Le calcul réfléchi.            Selon la nature des nombres en présence, le calcul soustractif à effectuer sera facilité selon qu’on fait appel à un sens ou à l’autre. Prenons deux exemples particulièrement importants dans le domaine du calcul mental : ·         37 – 4.  Il s’agit d’enlever 4 à 37. Le fait qu’on « enlève peu » conduit à obtenir le résultat par décomptage ( 36, 35, 34, 33) ·         37 – 33. Dans ce cas, il s’agit d’enlever 33 à 37 (on enlève « beaucoup »). Le résultat sera plus facilement obtenu si on perçoit cette soustraction comme l’action d’aller de 33 à 37, ce qui conduit à un surcomptage (34, 35, 36, 37 ; résultat : 4)            D’une manière générale, dans les différents calculs écrits et mentaux, l’élève doit être conduit à passer facilement de  l’addition à trou à l’écriture soustractive habituelle et réciproquement. 17

18 Calculer avec la soustraction
Jean-Luc Brégeon Calculer avec la soustraction Une démarche dans la résolution des problèmes de soustraction. Julien a fait un bouquet de 94 fleurs. Parmi ces fleurs, il y a 32 fleurs rouges et les autres sont jaunes.  Combien y a-t-il de fleurs jaunes ? Une lecture mathématique de l’énoncé Une traduction numérique des relations mises en évidence Une mise en œuvre du calcul. Un retour à la situation initiale. 4. Une démarche dans la résolution des problèmes de soustraction.            Voyons, pour finir comment doit être conçue la résolution d’un problème arithmétique soustractif. Prenons l’exemple suivant : Julien a fait un bouquet de 94 fleurs. Parmi ces fleurs, il y a 32 fleurs rouges et les autres sont jaunes.  Combien y a-t-il de fleurs jaunes ?            Plusieurs étapes doivent être dégagées : 1. Une lecture mathématique de l’énoncé, afin de comprendre les relations numériques présentes : il faut ajouter les fleurs jaunes aux fleurs rouges pour obtenir les fleurs du bouquet. 2. Une traduction numérique des relations mises en évidence : 32 + ? = 94             La traduction  orale de cette écriture peut être : aller de 32 à 94. La traduction numérique qui en résulte est 3. Une mise en œuvre du calcul.            Pour un élève de CE1, cela pourra passer par une activité de calcul réfléchi (comment aller de 32 à 94 ?) ou par l’effectuation d’une addition à trou, comme cela a été montré précédemment. 4. Un retour à la situation initiale.           Il ne faut pas oublier la nécessité de donner une réponse appropriée à la question posée, ce qui implique de reprendre les termes de cette question et de choisir correctement l’unité de la réponse : Il y a 62 fleurs jaunes. 18

19 Document éduscol « Le nombre au cycle 2 »
Résumé Importance à accorder aux situations de résolution de problèmes et à la conceptualisation des notions arithmétiques. Développer l’apprentissage des procédures : échanges, variétés et jusqu’à l’automatisation de certaines. Le calcul mental est un des vecteurs à privilégier pour cet apprentissage. Echanges sur les procédures utilisées par les élèves (explicitation) Acceptation des diverses procédures. 19 19

20 Document éduscol « Le nombre au cycle 2 » Quelques éléments relevés
Alternance de séances courtes (10 min) et longues (30 min) en calcul mental. - Activités pour le passage à la dizaine. - Un livret dédié à l’écriture des nombres dès le CP. Page 18: Séances courtes: effectuer mentalement des calculs donnés oralement ou écrits au tableau puis cachés. Les élèves donnent ou écrivent la réponse; validation ou correction magistrale si besoin But: entraîner les élèves au calcul, exemples variés, accroitre leurs performances (rapidité, mémorisation, maîtrise des techniques) Séance plus longue: explicitation et comparaison de différentes procédures mobilisées par les élèves: erronées comme justes. Permettre de hiérarchiser les connaissances des élèves et des données intervenants dans les calculs. Rôle du maître: montrer l’économie de certaines procédures, les propriétés des nombres en jeu + =capitaliser l’exploration effectuée lors des séances brèves; moins de calculs sont à faire: priorité aux procédures énoncées et rappel de procédures connues mais non utilisées Page : Un exemple donné: 3 séries d’activités sur le calcul mental: les tables d’addition→jeu de cartes (bataille, mariage..)) recherche de la somme, de la différence(8+7=?), recherche de l’un des termes (7+?=15), recherche des deux termes de la somme ou de la différence (?+?= 17), recherche de compléments: compléter à 10: les cinq paires de nombres non nuls dont la somme est égale à 10 sont à connaître très tôt , usage des doigts, constellations etc jouer avec les formules , les consignes: complète 3 pour faire 10; Combien manque-t-il à 3 pour faire 10; que faut-il ajouter à 3 pour faire 10; 3 pour aller à 10, 3→10,3+?= 10; 10-3=?... Compléter à la dizaine supérieure Compléter à 100 ou à la centaine supérieure Trouver le complément quand il s’agit de 10 ou d’un multiple de 10, voire de 100 ( ex: 32→42 , 48→78, 25→325) Autres: ajouter 10, soustraire 10…ajouter 100 trouver le plus rapidement possible le résultat d’une opération en ligne Décomposer un nombre en nombre entier de centaines, dizaines et unités 34= = exprimer un nombre en faisant intervenir la dizaine supérieure compléter des égalités : 37+18=47+? utiliser la décomposition décimale du second terme =130+? =140+? DES PASSAGES INCONTOURNABLES: situations d’échange pour travailler l’écriture chiffrée du nombre, les situations de groupements, les situations amenant à repenser les groupements par rapport aux échanges, les situations abordant le point de vue algorithmique (dans les 2 systèmes e numération), les situations d’exploration des règles de la numération orale et de mise en relation avec la numération de position (chiffrée) Haque page est consacrée à un nombre Page 22: construire un dictionnaire de nombres chaque page est consacrée à un nombre, l’élève y inscrit différentes écritures ou représentations du nombre 20 20

21 b) Faire comprendre qu’un nombre a plusieurs représentations et qu’il faut savoir passer d’une représentation à une autre

22 Ce qui sera poursuivi au cycle 2 :
Et au cycle 3 :

23 Document éduscol « Le nombre au cycle 2 » Quelques éléments relevés
Page 23 : Exemple à méditer sur la complexité de notre système oral. 2 469 peut se représenter : 2x x10² + 6x x100 MAIS est dit : Deux mille quatre cent soixante-neuf 2X 10X10X10= 2000 4 X 10X10= 400 6 X 10 = 60 9X10= 90 2 469 Quelle carte(s) faut-il changer pour écrire avec des mots le prédécesseur n-1 de ce nombre ? N +10 ? N +100 ? n ? 2 324 DEUX MILLE TROIS CENT VINGT TROIS DEUX MILLE TROIS CENT TRENTE QUATRE DEUX MILLE QUATRE CENT VINGT QUATRE TROIS MILLE TROIS CENT VINGT QUATRE X + X + X ? + ? X ? 23 23

24 Document éduscol « Le nombre au cycle 2 » Quelques éléments relevés
conséquences ordinal / cardinal sur les mesures : un tableau SM Page 78 Mesurer, c’est dénombrer : compter, calculer. 24 24

25 Difficultés rencontrées
Mesurage d’une grandeur discrète Mesurage d’une grandeur continue Contexte d'usage des nombres Difficultés rencontrées Comptage d’objets (ex : des billes) : on compte Longueur (ex : un segment) : on mesure Les « uns » se voient : chaque bille. Les « uns » ne se voient pas : un segment de 5 cm Liées à la ( non) perception des cinq unités (centimètres)‏ Syl 25 25

26 Difficultés rencontrées
Mesurage d’une grandeur discrète Mesurage d’une grandeur continue Contexte d'usage des nombres Difficultés rencontrées Comptage d’objets (ex : des billes) : on compte Longueur (ex : un segment) : on mesure Les « uns » sont des entiers, ils ne fusionnent pas. Les « uns » fusionnent (sans chevauchement, sans espacement). Liées au matériel : les bandes de papier représentant les unités peuvent se chevaucher lors des manipulations des élèves. SM 26 26

27 Difficultés rencontrées
Mesurage d’une grandeur discrète Mesurage d’une grandeur continue Contexte d'usage des nombres Difficultés rencontrées Comptage d’objets (ex : des billes) : on compte Longueur (ex : un segment) : on mesure Le « un » est associé au pointage. Le « un » est associé à un intervalle. Erreur d’élève qui compte les graduations au lieu des intervalles. SM 27 27

28 Difficultés rencontrées
Mesurage d’une grandeur discrète Mesurage d’une grandeur continue Contexte d'usage des nombres Difficultés rencontrées Comptage d’objets (ex : des billes) : on compte Longueur (ex : un segment) : on mesure On commence à compter par 1. On mesure, on repère à partir de 0. Nombreuses erreurs de ce type. SM 28 28

29 Difficultés rencontrées
Mesurage d’une grandeur discrète Mesurage d’une grandeur continue Contexte d'usage des nombres Difficultés rencontrées Comptage d’objets (ex : des billes) : on compte Longueur (ex : un segment) : on mesure On trouve toujours un nombre entier. Le nombre n’est pas toujours entier : tolérance, incertitude de la mesure, mesure d’une grandeur continue. Difficulté à donner une mesure approchée, non exacte. En fait, on obtient un encadrement de la mesure de la grandeur. SM 29 29

30 Difficultés rencontrées
Mesurage d’une grandeur discrète Mesurage d’une grandeur continue Contexte d'usage des nombres Difficultés rencontrées Comptage d’objets (ex : des billes) : on compte Longueur (ex : un segment) : on mesure Accord entre le cardinal et l’ordinal Le cardinal est en « retard » sur l’ordinal. le nombre de graduations est supérieur de 1 à celui des intervalles : sur une règle graduée en cm, la graduation notée « douze » désigne l’entrée dans le treizième centimètre. SM 30 30

31 Difficultés rencontrées
Mesurage d’une grandeur discrète Mesurage d’une grandeur continue Contexte d'usage des nombres Difficultés rencontrées Comptage d’objets (ex : des billes) : on compte Longueur (ex : un segment) : on mesure Il n’y a rien entre deux nombres. Sur les instruments de mesure, rien n’apparaît entre 2 graduations-nombres. Pourtant, il y a une infinité de longueurs de segments dont la mesure est comprise entre deux nombres. 31 31

32 Difficultés rencontrées
Mesurage d’une grandeur discrète Mesurage d’une grandeur continue Contexte d'usage des nombres Difficultés rencontrées Comptage d’objets (ex : des billes) : on compte Longueur (ex : un segment) : on mesure Les unités ne se coupent pas. Les unités peuvent se couper en sous-multiples ou en fractions. Changement d’unités. Conversions. SM 32 32

33 Document éduscol « Le nombre au cycle 2 » Quelques éléments relevés
Page 80 : importance des ordres de grandeur. Exemple : 33 33

34 Eléments sur la soustraction
Roland Charnay Eléments sur la soustraction D’après les travaux de Roland Charnay sur les programmes 2008 Des apprentissages supplémentaires introduits notamment au CE1 C’est pour la soustraction qu’on trouve les modifications les plus importantes, sous la forme d’exigences jusque-là attendues au CE2. 34 34

35 Eléments sur la soustraction
Roland Charnay Eléments sur la soustraction Ce qui impose : Bonne maîtrise des résultats soustractifs.  Travail simultané de l’addition et de la soustraction dès le début de l’entrée en numération au CP 35 35

36 Document éduscol « Le nombre au cycle 2 » Exemples sur la soustraction
Compter le nombre de doigts levés  compter le nombre de doigts baissés. Le prédécesseur et le suivant. Dire et écrire les nombres à l'endroit, à l'envers. 36 36

37 Exemples sur la soustraction
Roland Charnay Exemples sur la soustraction Comprendre le lien entre sur-comptage et différence (ou écart). Jeu de dé(s) dans lequel on "avance" ou on "recule« de x cases. Surcomptage : … Les petits chevaux Jeu de l’oie 37 37

38 Exemples sur la soustraction
Roland Charnay Exemples sur la soustraction Jeu « le compte est bon » Utiliser le calendrier pour trouver "combien de jours..." (lien ordinal / cardinal)‏ 38 38

39 Exemples sur la soustraction
Roland Charnay Exemples sur la soustraction Faire des collections (classes d'équivalence) des différentes écritures d'un même nombre (additives et soustractives)‏ A l'intérieur de ces classes, repérer : - les décompositions "spéciales" : avec 5, 10, - les doubles - les nombres consécutifs 39 39

40 Mise en place d’une technique
Dominique Pernoux Mise en place d’une technique 1- Méthode par « cassage » 40 40

41 Exemple de soustraction avec retenue
« Méthode par cassage » (L’objectif de cette présentation est uniquement de rappeler à l’enseignant ce qu’on fait quand on pose une soustraction)‏j Jean a 62 € : Jean doit donner 38 € à Paul. - Combien restera-t-il d’argent à Jean ? ? Obj de cette présentation : uniquement rappeler au M ce qu’on fait quand on pose une soustraction 41

42 - Jean va faire de la monnaie. Jean a 62 € : 6 2 3 8
- Jean doit donner 38 € à Paul. Combien restera-t-il d’argent à Jean ? 5 1 Différentes procédures utilisées par les élèves pour comprendre un énoncé (schéma) 42

43

44 - Argent de Jean : 5 6 2 Jean donne 38 € à Paul : 3 8 2 4
5 1 - Jean donne 38 € à Paul : Argent de Jean à la fin : D. Pernoux 44

45 Mise en place d’une technique
Dominique Pernoux Mise en place d’une technique 2- Méthode « traditionnelle » 45 45

46 Exemple de soustraction avec retenue « Méthode traditionnelle »
(L’objectif de cette présentation est uniquement de rappeler à l’enseignant ce qu’on fait quand on pose une soustraction)‏ Jean a 62 € : - Paul a 38 € : ? Quelle est la différence entre les deux sommes d’argent ? 46

47 - Sa grand- mère donne 10€ à Jean Jean a 62 € : 6 2 3 8 ?
- ? Paul a 38 € : 1 1 Sa grand- mère donne 10€ à Paul Jean et Paul ont chacun 10€ de plus. La différence n’a pas changé. La différence n’a pas changé 47

48 - 6 2 3 8 Paul a 38 € : Jean a 62 € : 2 4 La différence vaut : 24 € 1
- Paul a 38 € : 1 Jean a 62 € : 2 4 La différence vaut : 24 € D. Pernoux 48

49 Mise en place d’une technique
Dominique Pernoux Mise en place d’une technique 3- Méthode par « complément » 49 49

50 Georges a 38 € : Combien lui manque-t-il d’argent pour acheter un lecteur mp3 coûtant 62 € ? 1°) On peut résoudre le problème en utilisant une « addition à trous » : 3 8 + ? ? 6 2 + ? ? 50

51 1 4 3 8 + 6 2 Je cherche si on peut ajouter quelque chose à 8 pour arriver à 2. 2 ? 4 ? Ce n’est pas possible. Je pense à l’addition avec retenue. Je cherche si on peut ajouter quelque chose à 8 pour arriver à 12. Je trouve qu’il faut ajouter 4 pour arriver à 12. Je cherche si on peut ajouter quelque chose à 4 pour arriver à 6. Je trouve qu’il faut ajouter 2 pour arriver à 6. Il manque donc 24 € à Georges pour pouvoir acheter le lecteur mp3 à 62 €. 51

52 Vérification : + Somme d’argent qui manque à Georges. 52

53 2°) Ce problème peut aussi être résolu en posant une soustraction :
3 8 + ? ? 6 2 Argent de Georges 6 2 - 3 8 ? ? Prix du lecteur mp3 est remplacé par Ce qui manque à Georges Argent de Georges Prix du lecteur mp3 Ce qui manque à Georges 53

54 6 2 - 3 8 4 1 2 ? 4 ? Je cherche si on peut ajouter quelque chose à 8 pour arriver à 2. Ce n’est pas possible. Je pense à la possibilité d’une retenue. Je cherche si on peut ajouter quelque chose à 4 pour arriver à 6. Je cherche si on peut ajouter quelque chose à 8 pour arriver à 12. Je trouve qu’il faut ajouter 2 pour arriver à 6. Je trouve qu’il faut ajouter 4 pour arriver à 12. Il manque donc 24 € à Georges pour pouvoir acheter le lecteur mp3 à 62 €. 54 D. Pernoux

55 Eléments sur la soustraction (suite)‏
Roland Charnay Eléments sur la soustraction (suite)‏ Mise en place d’une technique La seule technique envisageable ? au CE1… « cassage (ou démontage) de la centaine, de la dizaine » 55 55

56 Technique opératoire POURQUOI ?
Roland Charnay Technique opératoire POURQUOI ? Par cassage, il suffit d’avoir assimilé les principes de « groupements – échanges ». La technique « classique » nécessite de connaître des propriétés de la soustraction. 56 56

57 Technique opératoire 45 – 28 = 17 43 – 25 = 463 – 47 = 812 – 62 =
Roland Charnay Technique opératoire 45 – 28 = 17 43 – 25 = 463 – 47 = 812 – 62 = 57 57

58 Roland Charnay Technique opératoire Au CP, nous faisons le choix de ne travailler que sur les principes qui permettent de calculer une différence de cette façon. L’approche, en fin d’année, s’appuie donc sur une manipulation de matériel pour mettre en œuvre la décomposition d’une dizaine lorsque la soustraction directe des unités n’est pas possible. Mais, on ne va pas jusqu’à poser l’opération. 58 58

59 Roland Charnay Technique opératoire Au CE1, la mise en place de cette technique est proposée au début du 2ème semestre en insistant sur sa compréhension. Le choix de cette technique a également pour conséquence que le travail sur l’addition posée à trous et sur le calcul réfléchi de différences avec des nombres importants peut être un peu allégé. 59 59

60 Exemple de première approche au CP
Roland Charnay Technique opératoire Exemple de première approche au CP Situation de départ : Arthur dispose de billes. l- des billes réunies en boîtes de 10 (boîtes fermées ou dessinées au tableau)‏ 2- des billes isolées (pas plus de 9 isolées). Il doit donner un certain nombre de billes à Zoé. Comment peut-il faire et combien lui en restera-t-il ? 60 60

61 Technique opératoire Exemple de première approche au CP Progression
Roland Charnay Technique opératoire Exemple de première approche au CP Progression Étape 1 Avec 36 billes… des questions posées à la classe portant sur les unités d’abord (on enlève moins de 9)‏ Étape 2 Avec 45 billes… des questions posées à la classe portant sur des nombres plus grand à enlever. 61 61

62 Technique opératoire Exemple de première approche au CE1
Roland Charnay Technique opératoire Exemple de première approche au CE1 Situation de départ Arthur dispose de cartes représentant des billes : - des cartes de 100 billes (maximum 9) - des cartes de 10 billes (maximum 9) - des cartes de 1 bille (maximum 9) Il doit donner un certain nombre de billes à Zoé. Comment peut-il faire et combien lui en restera-t-il ? Des échanges sont possibles avec le meneur de jeu. 62 62

63 Technique opératoire Exemple de première approche au CE1 Progression
Roland Charnay Technique opératoire Exemple de première approche au CE1 Progression Étape 1 : D’abord avec des nombres inférieurs à 100 (seul échange possible 1 dizaine contre 10 unités)‏ Puis avec des nombres supérieurs à 100 (échange possible 1 centaine contre 10 dizaines). Étape 2 : Formalisation par un calcul posé en colonnes avec les nombres inférieurs à 100. Étape 3 : Formalisation par un calcul posé en colonnes avec les nombres compris entre 100 et 1000 63 63

64 Technique opératoire Autre exemple : dans Euro math. (85 étapes)‏
Au CP, dès l’étape 40 : trois pistes de travail : Jeu du dé rouge et bleu (sur piste)‏ Anticipation mentale de résultats Compléter l’ardoise : additions à trous. Etape 40 : cartes et jeu du nombre cible (le compte est bon)  situations additives Etape 61 : travail des écritures additives autour de 10 (14 = 10 + …)‏ 64 64

65 Technique opératoire Toujours au CP :
La soustraction et l’addition sont présentées ensemble, en différenciant par la taille des nombres. Etape 75 : Premières additions posées Pas de tentatives de poser la soustraction au CP. 65 65

66 Technique opératoire Au CE1 : (95 étapes)‏
Etape 12 : situations de « boîte noire », variées (états ou actions à trouver)‏ Etape 14 : reprise du jeu de dés. On y trouve aussi une table d’additions où il manque une « valeur de départ ». Etape 21 : comparaison d’effectifs (parking)  écart, différence. 66 66

67 Technique opératoire Au CE1 : (95 étapes)‏
Etape 32 : « le compte est bon » : des situations permettant aussi la soustraction. Etape 38 : technique de l’addition. Du travail sur le sens des 3 opérations Pas de soustraction posée. 67 67

68 EN CONCLUSION On peut déterminer quatre étapes essentielles dans la pédagogie des mathématiques au cycle deux, dans la découverte d’une notion: - La première étape vise bien entendu à faire manipuler les élèves. - La seconde doit leur permettre de représenter la situation grâce à une schématisation personnelle, même approximative. - La troisième vise à produire une écriture mathématique associée aux manipulations et les premières représentations. - Une automatisation des procédures est indispensable, laquelle peut prendre à nouveau appui sur la manipulation et la représentation.

69 NE PAS OUBLIER… Ce qui est valable pour tous les enseignements l’est aussi pour les mathématiques: - Les enseignements pratiqués visent à faire acquérir des connaissances, des capacités et des attitudes. - Il faut se doter d’indicateurs observables de la maîtrise de la compétence qui permettent d’évaluer les élèves.