Opération et systèmes de décision Faculté des Sciences de lAdministration MQT-21919 Probabilités et statistique Tests dhypothèses Chapitre 9.

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1 Opération et systèmes de décision Faculté des Sciences de lAdministration MQT-21919 Probabilités et statistique Tests dhypothèses Chapitre 9

2 Lectures Volume obligatoire: Chapitre 9 (sauf la valeur p) Volume recommandé: Statistique en gestion et économie, pages 276 à 287 et 296 à 314

3 Estimation : On suppose inconnu le paramètre de la population et on cherche à lestimer au moyen dune statistique définie à partir dun échantillon aléatoire. Test dhypothèses : On suppose au départ que lon a une certaine connaissance de la valeur du paramètre et on essaie den vérifier la véracité. Cette valeur constitue lhypothèse de base. La différence entre une estimation et un test dhypothèses

4 *Hypothèse statistique : Cest un énoncé (une affirmation) concernant les caractéristiques (valeurs des paramètres, forme de la distribution des observations) dune population *Test dhypothèses : Cest une démarche qui a pour but de fournir une règle de décision permettant, sur la base des résultats déchantillon, de faire un choix entre deux hypothèses statistiques. DéfinitionsDéfinitions

5 Test dhypothèses Deux types dhypothèses statistiques : –Paramétrique: Une hypothèse est dite paramétrique sil sagit dun énoncé quantitatif concernant un paramètre de la ou des populations. –Non paramétrique: Lorsque lénoncé concerne la forme de la distribution, alors il sagit dhypothèse non paramétrique.

6 Développer les hypothèses nulle et alternative Les tests dhypothèses permettent de déterminer si une affirmation au sujet de la valeur dun paramètre de la population doit être rejetée Lhypothèse nulle est une hypothèse sur la valeur dun paramètre de la population. Elle est notée H 0. Cest lhypothèse qui sera rejetée uniquement sil y a suffisamment dévidence contre elle: –H 0 : =30 30 est la valeur paramétrique hypothétique

7 Développer les hypothèses nulle et alternative Lhypothèse alternative correspond à lopposé de ce qui est établi dans lhypothèse nulle. Elle est notée H a ou H 1 ou H. Cest lhypothèse qui sera acceptée si H 0 est rejetée. Hypothèses simples: –H 0 : =30 –H a : = 20 Hypothèses composées: –H 0 : μ = 30 –H a : μ > 30 ou H a : μ < 30 ou H a : μ 30 H 0 : μ 30 ou H 0 : μ 30 H a : μ 30

8 Développer les hypothèses nulle et alternative Comment formuler les hypothèses: pas toujours évident –Habituellement, ce quon cherche à prouver correspond à lhypothèse alternative La situation actuelle, ce qu'on croit actuellement, est habituellement H 0 Le test dhypothèses est similaire à un procès criminel. On donne le bénéfice du doute à l'hypothèse nulle: –H 0 : Laccusé est innocent –H a : Laccusé est coupable

9 Développer les hypothèses nulle et alternative Tester les hypothèses de recherche –Lhypothèse de recherche correspond à lhypothèse alternative –On ne peut pas conclure que lhypothèse de recherche est vraie si les données de léchantillon ne permettent pas de rejeter lhpothèse nulle –Exemple: nouveau moteur qui fait plus de kilomètres par litre dessence, : nombre moyen de kilomètres par litre H 0 : 24 H a : >24 Nouvelle affirmation, hypothèse alternative

10 Développer les hypothèses nulle et alternative Tester la validité dune affirmation –Laffirmation dun manufacturier est habituellement formulée comme lhypothèse nulle. On cherche à vérifier si les données de léchantillon permettent de rejeter lhypothèse nulle. On accorde ainsi le bénéfice du doute au manufacturier –On conclut que laffirmation du manufacturier est fausse si les données de léchantillon permettent de refuter lhypothèse nulle –Exemple: Producteur de boisson non alcoolisée prétend que les bouteilles de 2 litres contiennent en moyenne au moins 2,028 litres H 0 : 2,028 H a : 2,028

11 Développer les hypothèses nulle et alternative Tests dhypothèses dans un contexte de prise de décision –Un décideur peut avoir à choisir entre deux actions, lune associée à lhypothèse nulle et lautre à lhypothèse alternative –Par exemple, sur la base dun échantillon de pièces, un inspecteur de contrôle de qualité doit décider sil accepte ou refuse un lot de pièces qui vient dêre livré –Supposons que les critères de qualité dune pièce particulière correspondent à une longueur moyenne de 2 pouces. Si la longueur moyenne est supérieure ou inférieure à 2 pouces, les pièces poseront problème dans le processus dassemblage. Dans ce cas, on peut formuler: –H 0 : =2 (On donne le bénéfice du doute au manufacturier) –H a : 2

12 Quelle conclusion tirer? Rejeter H 0 ? Ou ne pas rejeter H 0 ? On rejette H 0 si la statistique estimée à partir de léchantillon est éloignée de la valeur du paramètre supposée dans H 0 (valeur hypothétique). On rejette H 0 lorsque l'écart entre la valeur hypothétique du paramètre et la valeur de la statitstique est grand, ce qui signifie que l'écart n'est pas uniquement dû au hasard de léchantillonnage. Règle de décision

13 Erreurs de 1 ère et 2 ème espèce Les hypothèses nulle et alternative sont des affirmations contraires au sujet dun paramètre de la population Soit lhypothèse nulle est vraie, soit lhypothèse alternative est vraie, mais pas les deux Puisque les tests dhypothèses sont basés sur des données déchantillon, nous devons admettre la possibilité derreurs

14 Dans notre processus de décision concernant le rejet ou non de H 0, 4 situations peuvent se présenter : Possibilités d'erreurs H 0 vraie H 0 fausse États de H 0 Décisions Bonne décision E 1 = erreur de type I ou erreur de type E 2 = erreur de type II ou erreur de type Ne pas rejeter H 0 Rejeter H 0

15 Probabilités d'erreurs H 0 vraie H 0 fausse États de H 0 Décisions 1- puissance du test P(d'une bonne décision)= 1- P(E 1 ) = seuil ou niveau de signification P(E 2 ) = Ne pas rejeter H 0 Rejeter H 0

16 Erreurs (risques) de 1 ère et 2 ème espèce Lerreur de 1 re espèce (type I) est de rejeter H 0 si H 0 est vraie Lerreur de 2 e espèce (type II) est de ne pas rejeter H 0 si H 0 est fausse Bien quil ne soit pas possible déliminer la possibilité de commettre des erreurs dans les tests dhypothèses, nous pouvons déterminer la probabilté de leur occurrence Le risque correspond à la probabilité de commettre une erreur de type I La probabilité maximale de commettre une erreur de la première espèce est le seuil de signification du test –En pratique, la personne qui effectue le test détermine ce seuil, généralement fixé à 0,05 ou 0,01 avant deffectuer le test

17 Erreurs (risques) de 1 ère et 2 ème espèce Le risque correspond à la probabilité de commettre une erreur de seconde espèce En général, on ne peut pas contrôler la probabilité

18 Exemple : Soit X une variable aléatoire normale de moyenne et décart type = 5. On sintéresse aux deux hypothèses : H 0 : = 22 H a : = 25. En se basant sur la moyenne dun échantillon aléatoire de taille n = 25, tiré de cette population, on applique la règle de décision suivante: Ne pas rejeter H 0 si 24 et rejeter H 0 si > 24. Calculer les risques et (erreurs de Type I et II). Risques derreurs et règle de sélection

19 Solution

20 Exemple: Metro EMS Une compagnie de service ambulancier dessert la grande région de Québec. Elle opère 20 unités médicales mobiles. Son objectif de service est de répondre aux appels durgence en un temps moyen de 12 minutes ou moins. Le directeur des services médicaux veut formuler un test dhypothèses basé sur un échantillon de temps de réponse aux urgences afin de vérifier si lobjectif de temps de service moyen de 12 minutes est atteint ou non.

21 Exemple: Metro EMS Formulation de test dhypothèses Hypothèses Conclusion et Action H 0 : Le service durgence rencontre son objectif, donc aucun changement est nécessaire H a : Le service durgence ne rencontre pas son objectif, donc il faut sajuster où = le temps moyen de réponse pour la population des appels durgence

22 Exemple: Metro EMS Condition réelle de la population H 0 vraie H a vraie Décision ( ) ( ) Ne pas rejeter H 0 Conclusion Erreur (Conclure correcte 2 ème espèce Rejeter H 0 Erreur Conclusion (Conclure 1 ère espèce correcte

23 Zones de rejet (régions critiques) La région critique dun test est lensemble des valeurs possibles de la statistique provenant de léchantillon aléatoire qui entraînent le rejet de H 0 au niveau de signification. La région critique est définie à partir dune valeur critique On calcule une statistique à partir de léchantillon et on la compare avec la valeur critique afin de vérifier si la statistique calculée à partir de léchantillon se trouve dans la région critique. Si oui, on rejettera H 0.

24 Zones de rejet (régions critiques) /2 Régions de rejet Valeur(s) z critiques H 0 : 0 ou H 0 : = 0 H 1 : < 0 H 0 : 0 ou H 0 : = 0 H 1 : > 0 H 0 : 0 H 1 : 0 Test unilatéral inférieur Test unilatéral supérieur Test bilatéral

25 Région critique Pour les tests d'hypothèses sur une moyenne par exemple, il existe deux façons de se situer par rapport à la région critique: –On compare la statistique à la valeur z critique z test par la statistique z) –On calcule une valeur critique et on rejette lhypothèse nulle selon le type de région critique et la position de par rapport à ( Test par la méthode des valeurs critiques)

26 Tests unilatéraux concernant la moyenne dune population: cas des grands échantillons(n > 30) Hypothèses H 0 : ou H 0 : H a : Statistique de test z connu inconnu Règle de rejet (de décision) au seuil de signification Rejeter H 0 si z > z z est la valeur z critique: valeur comparée à la statistique de test z pour déterminer si H 0 doit être rejetée au seuil de signification

27 Tests unilatéraux concernant la moyenne dune population: cas des grands échantillons(n > 30) Hypothèses H 0 : ou H 0 : H a : Statistique de test z connu inconnu Règle de rejet (de décision) au seuil de signification Rejeter H 0 si z < -z -z est la valeur z critique: valeur comparée à la statistique de test pour déterminer si H 0 doit être rejetée au seuil de signification

28 Tests bilatéraux concernant la moyenne dune population: cas des grands échantillons(n > 30) HypothèsesH 0 : H a : Statistique de test connu inconnu Règle de rejet (de décision) Rejeter H 0 si |z| > z

29 Tests sur la moyenne: Calcul des valeurs critiques cas des grands échantillons(n > 30) Test bilatéral : Test unilatéral à droite : Test unilatéral à gauche : H 0 : 0 ou H 0 : = 0 H 1 : < 0 H 0 : 0 ou H 0 : = 0 H 1 : > 0 H 0 : 0 H 1 : 0 Si inconnu, utiliser s

30 Exemple: Metro EMS- test par la statistique z Soit n = 40, = 13,25 minutes, s = 3,2 minutes (Lécart-type de léchantillon s peut être utilisé pour estimer lécart-type de la population.) Puisque 2,47 > 1,645, on rejette H 0. Conclusion: Nous sommes confiants à 95% que Metro EMS ne rencontre pas son objectif de réponse de 12 minutes; le service devrait donc être amélioré

31 Exemple: Dentifrice Brille La chaîne de production du dentifrice Brille est conçue pour remplir les tubes de dentifrice de poids moyen de 6 onces. Les données disponibles ont montré que lécart-type est 0,2 onces. Régulièrement, on choisit 30 tubes au hasard pour vérifier si le processus de remplissage fonctionne adéquatement. Si léchantillon ne supporte pas lhypothèse que la moyenne de remplissage pour la population est de 6 onces, le procédé est arrêté et ajusté.

32 Exemple: Dentifrice Brille Un test dhypothèse sur la moyenne de la population peut aider à déterminer si le procédé de remplissage fonctionne tel que planifié. Hypothèses H 0 : H a : Règle de rejet (de décision) En supposant un niveau de signification de 0,05: Rejeter H 0 si |z| > 1,96

33 Exemple: Dentifrice Brille Supposons quun échantillon de 30 tubes de dentifrice fournisse une moyenne échantillonnale de 6,1 onces. Puisque n = 30, = 6,1 onces, s = 0,2 onces Puisque 2,74 > 1,96, on rejette H 0. Conclusion: On est confiant à 95% que le poids de remplissage moyen des tubes de dentifrice nest pas 6 onces. Ajuster le mécanisme de remplissage Supposons quun échantillon de 30 tubes de dentifrice fournisse une moyenne échantillonnale de 6,1 onces. Puisque n = 30, = 6,1 onces, s = 0,2 onces Puisque 2,74 > 1,96, on rejette H 0. Conclusion: On est confiant à 95% que le poids de remplissage moyen des tubes de dentifrice nest pas 6 onces. Ajuster le mécanisme de remplissage

34 Étapes dun test dhypothèses 1.Déterminez les hypothèses nulle et alternative appropriées à létude 2.Sélectionnez la statistique de test qui sera utilisée pour décider du rejet ou du non rejet de lhypothèse nulle 3.Spécifiez le seuil de signification du test 4.Utilisez pour définir la règle de rejet qui indique les valeurs de la statistique de test qui conduiront au rejet de H 0 5.Collectez les données déchantillon et calculez la valeur de la statistique de test

35 Étapes dun test dhypothèses 6a- Comparez la statistique z avec z (ou z si le test est bilatéral) OU 6b- Comparer avec la valeur critique (ou avec et si le test est bilatéral) (Test par valeur critique) 7- Appliquer la règle de décision pour déterminer si H 0 doit être rejetée

36 Tests sur la moyenne dune population: cas de petits échantillons (n < 30) Statistique de test inconnu Cette statistique de test t suit une distribution du t avec (n - 1) degrés de liberté, en supposant que la population suit une loi normale et que est inconnu. (Dans le cas où connu, on utilise la statistique z) Règle de rejet Unilatéral Bilatéral H a : > Rejeter H 0 si t > t H a : < Rejeter H 0 si t < -t H a : Rejeter H 0 si |t| > t

37 Tests sur la moyenne dune population (n < 30) Calcul des valeurs critiques, inconnu Test bilatéral : Test unilatéral à droite : Test unilatéral à gauche : Si on suppose que la population suit une loi normale et σ est inconnu

38 Note Pour un petit échantillon, connu, et une population qui suit une loi normale, on utilise les mêmes approches que pour les grands échantillons

39 Tests concernant la proportion dune population Grand échantillon: (np > 5 et n(1 - p) > 5) Statistique de test Règle de rejet Unilatéral Bilatéral H a : p > p Rejeter H 0 si z > z H a : p < p Rejeter H 0 si z < -z H a : p p Rejeter H 0 si |z| > z

40 Calcul des valeurs critiques pour les tests sur les proportions

41 Exemple : Le boucher M. Simon affirme qu'il vend en moyenne 86 kg de bœuf par jour. Un employé de la boucherie pense que son patron exagère et veut démontrer que la boucherie vend moins de bœuf que le patron le prétend. Pour un échantillon de 20 jours choisis au hasard, on trouve qu'on y a vendu en moyenne 81 kg de bœuf par jour. En supposant que les ventes quotidiennes de bœuf obéissent à une loi normale décart type 10 kg et en utilisant un seuil de signification = 0,05, doit-on rejeter l'affirmation du patron ? Test dhypothèses paramétriques usuels

42 Solution H 0 : =86 H 1 : <86 On calcule la statistique: On compare cette statistique avec la valeur critique -z 0,05 =-1,64 Puisque -2,23 est plus petite que -1,64, on rejette l'hypothèse nulle et l'affirmation que le patron vend 86 kg de boeuf par jour

43 Approche par intervalle de confiance pour un test d'hypothèses bilatéral - exemple moyenne Construire un intervalle de confiance pour au seuil de confiance. Si l'intervalle de confiance contient la valeur hypothétique 0, on ne rejette pas H 0 au seuil de signification

44 Exemple: Dentifrice Brille L'intervalle de confiance pour à 95% est: ou 6,0284 to 6,1716 puisque la valeur hypothétique de, 0 = 6, n'est pas dans cet intervalle, on rejette H 0 : = 6 au seuil de signifcation =5%

45 Test sur une variance ou un écart type dune population On calcule la statistique du Khi-deux On compare cette statistique à 2 (n-1)d.l. ou 2 1- (n-1)d.l. Règles de décision Test unilatéral à droite: Test unilatéral à gauche: H 0 : 2 = 0 2 ou H 0 : 2 0 2 H a : 2 < 0 2 On rejette H 0 si 2 < 2 1- (n-1) H 0 : 2 = 0 2 ou H 0 : 2 0 2 H a : 2 0 2 On rejette H 0 si 2 2 (n-1)

46 Test sur une variance ou un écart type dune population On calcule la statistique du Khi-deux: On compare cette statistique à 2 1- (n-1) d.l. et à 2 (n-1) d.l. Règle de décision Test bilatéral H 0 : 2 = 0 2 H a : 2 0 2 On rejette H 0 si 2 > 2 ou 2 < 2 1-

47 = 0,05 ; n = 25 s 2 = 38,44 À 24 degrés de liberté, et pour =0,05: 2 1- 12,40 et 2 39,36 Statistique du test: Décision: Ne pas rejeter H 0 car 14,42 se trouve entre 12,40 et 39,36 Il ny a pas dévidence que la vraie variance soit différente de 64 Exemple H 0 : H 1 : 0 12,4 39,36

48 Test sur une variance ou un écart type dune population (valeur critique) Les valeurs critiques sont : Test unilatéral à droite: Test unilatéral à gauche: H 0 : 2 = 0 2 ou H 0 : 2 0 2 H a : 2 0 2 On rejette H 0 si s 2 s c 2 H 0 : 2 = 0 2 ou H 0 : 2 0 2 H a : 2 < 0 2 On rejette H 0 si s 2 < s c 2

49 Test bilatéral: les valeurs critiques sont : Test sur une variance ou un écart type dune population (valeur critique) H 0 : 2 = 0 2 H a : 2 0 2 On rejette H 0 si s 2 > s c2 2 ou s 2 < s c1 2

50 Avant le règlement de leur conflit de travail, les policiers de la ville de Charlesbourg effectuaient en moyenne 20 arrestations par jour. Au cours des 10 jours qui ont suivi le règlement du conflit, on a relevé le nombre X d'arrestations quotidiennes suivantes : X = 20, 18, 25, 19, 17, 22, 16, 23, 12, 15 De ces observations, on déduit : Au niveau de signification = 0,05, y a-t-il lieu de croire que le règlement du conflit a fait diminuer de façon significative le nombre d'arrestations effectuées par les policiers de Charlesbourg ? On suppose que le nombre d'arrestations suit une loi normale. Réponse: On ne rejettera pas lhypothèse nulle H 0 : =20 car la valeur t critique quon obtient est égale à –1,04 ce qui nest pas plus petit que - t Test dhypothèses paramétriques

51 Le ministère des transports affirme que 15 % des véhicules circulant sur nos routes ne rencontrent pas les normes de sécurité du code de la route. La police procède alors à l'inspection de 600 véhicules parmi lesquels elle retrouve 94 ne rencontrant pas les normes de sécurité du code de la route. En utilisant un niveau de signification = 0,05, peut-on accepter l'affirmation du ministère des transports ? Réponse: On ne rejettera pas lhypothèse nulle H 0 :p=0,15 car la valeur z critique quon obtient est égale à 0,41 ce qui est plus petit que z Test dhypothèses paramétriques

52 Exemple Dans le cadre d'un processus de fabrication, à toutes les heures un technicien tire un échantillon aléatoire de 5 pièces produites par une machine et détermine le nombre D de pièces défectueuses dans cet échantillon. Dans les 120 derniers contrôles effectués, on a obtenu les résultats suivants : D 012345 Fréquence3646251210 a) Pour = 0,05, peut-on affirmer que le quart des pièces produites par cette machine sont défectueuses ? b)Si, en réalité, cette machine produit 20 % de pièces défectueuses, quelle est la probabilité que les 120 derniers contrôles effectués nous aient amenés à rejeter l'hypothèse selon laquelle le quart des pièces produites par cette machine sont défectueuses ? Comment appelle-t-on cette probabilité ? c)À l'aide d'un intervalle de confiance au niveau de 95 %, estimer la vraie proportion de pièces défectueuses produites par cette machine, sur la base des résultats des 120 derniers contrôles. (sol travail 7)

53 Exemple Une machine automatique est utilisée pour effectuer le remplissage dun certain contenant. La machine est ajustée pour assurer que le poids moyen du contenant soit de 450 grammes. Un échantillon de 25 contenants donne une moyenne de 438 grammes et un écart type de 15 grammes. Devrait-on arrêter la production, à un seuil de signification 5 % ? Si la machine est en réalité ajustée à 440 grammes, quelle est la probabilité de ne pas détecter ce changement avec un échantillonnage de 25 contenants (supposons ici = 10 et = 0,05) ? (solrevi-final)